- •Р.Я. Сулейманов
- •Часть 2
- •Конспект лекций
- •Р.Я. Сулейманов
- •Часть 2
- •Конспект лекций
- •1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Задача и порядок расчета переходных процессов
- •1.3. Включение катушки на постоянное напряжение
- •1.4. Включение конденсатора на постоянное напряжение
- •1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
- •1.8. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях
- •2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •2.1. Общие вопросы
- •2.2. Переход от оригиналов к изображениям
- •2.3. Правила дифференцирования и интегрирования
- •2.5. Второй закон Кирхгофа в операторной форме
- •2.6. Операторные схемы
- •2.7. Переход от изображений к оригиналам
- •2.8. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
- •После преобразования получим
- •2.9. Передаточные функции
- •3. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •3.1 Общие вопросы
- •3.4 Решение основных уравнений
- •3.5 Постоянные интегрирования. Гиперболические функции
- •3.6 Падающие и отраженные волны
- •3.8 Неискажающая линия
- •3.9 Входное сопротивление нагруженной линии
- •3.10 Вторичные параметры линии с распределенными параметрами
- •4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
- •4.1. Общие вопросы и определения
- •4.2. Вольтамперные характеристики некоторых реальных элементов
- •4.3. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
- •4.4. Метод двух узлов
- •4.6. Аналитический расчет нелинейных цепей
- •4.7. Расчет магнитных цепей. Магнитное поле постоянных токов
- •4.8. Основные характеристики ферромагнитных материалов
- •4.9. Магнитные цепи постоянного тока. Законы магнитных цепей
- •4.10. Расчет неразветвленной магнитной цепи
- •4.11. Расчет силы притяжения электромагнита
- •4.13 Форма кривой тока и напряжения
- •4.14 Потери на вихревые токи и гистерезис
- •4.15 Катушка со стальным сердечником. Схема замещения
- •4.16 Определение намагничивающего тока
- •5. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
- •5.1. Общие вопросы
- •5.2 Краткие сведения из векторной алгебры
- •5.4 Второе уравнение Максвелла
- •5.5 Третье уравнение Максвелла
1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
R |
L |
C |
E |
i |
|
|
|
Рис. 1.7. Схема включения цепи RLC на постоянное напряжение
Рассмотрим схему (рис. 1.7). Здесь
имеется |
два |
накопителя |
энергии– |
|
индуктивность |
и |
емкость. Составим |
||
уравнение |
по |
второму |
закону |
Кирхгофа |
для послекоммутационной цепи:
|
|
|
|
|
|
|
iR + иL + иC |
|
= Е . |
|
|
|
|
|
(1.28) |
|||||||||||||
Имея в виду, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u L |
= L |
|
di |
|
|
, и |
i |
= |
C |
du c |
, |
|
di |
= C |
d 2 u c |
, |
||||||||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
dt 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
d |
2 u c |
|
+ RC |
|
du |
|
+ u c = E , |
|
(1.29) |
||||||||||||||||
|
|
dt 2 |
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2u |
+ |
|
R du |
с |
+ |
1 |
|
|
uc = |
1 |
|
E . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.30) |
||||||||||
|
|
dt |
2 |
|
L |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
LC |
|
|
|||||||||||
Это есть дифференциальное |
|
|
уравнение |
|
|
|
второго порядка относительн |
напряжения на конденсаторе с правой частью. Решение этого уравнения так же состоит из принужденной и свободной составляющей:
uc = ucпр + ucсв .
Принужденная составляющая может быть найдена из дифференциального уравнения путем приравнивая нулю производных. Таким образом, получаем
ucпр = Е.
Свободная составляющая определяется из дифференциального уравнения без правой части в виде :
u |
ссв |
= A ea1t |
+ A ea2t |
, |
(1.31) |
|
1 |
2 |
|
|
11
где А1 , А2 |
– постоянные интегрирования; |
|
||||||||||||
a1, |
a2 |
– корни характеристического уравнения. |
|
|||||||||||
Запишем характеристическое уравнение: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
a 2 |
+ |
R |
a + |
1 |
|
= 0 . |
(1.32) |
||||
|
|
|
|
|
LC |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||
Введем обозначения: d = |
|
R |
, w 2 = |
|
1 |
|
. Тогда |
|
||||||
|
2 L |
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
LC |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a 2 |
+ 2da +w02 = 0, |
(1.33) |
|||||||||
|
a1,2 = -d ± |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
d 2 -w02 |
|
|
|
|
|
Возможны три случая при нахождении корней характеристического уравнения:
1)d f w0 , тогда корни будут вещественны, отрицательны и различны;
2)d = w0 , тогда корни будут вещественны, отрицательны и одинаковы;
3)d p w0 , корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной
частью.
В первом случае будет апериодический переходный процесс, в третьем – колебательный. Второй случай характеризует граничный режим, т.е. лежит между апериодическим и колебательным процессом.
Рассмотрим апериодический процесс, при котором корни вещественные,
отрицательные и разные. Тогда
u |
с |
= u |
спр |
+ u |
ссв |
= E + A ea1t |
+ A |
ea 2t . |
(1.34) |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Постоянные интегрирования определяются с учетом начальных условий. Здесь требуется два начальных условия, так как в уравнении два неизвестных– А1 и
А2. Одно начальное условие определяется по закону коммутации и называется основным, другое – на основании первого, и называется неосновным.
Напряжение на конденсаторе перед коммутацией было равно нулю:
uc (0) = uc (0- ) = 0.
12
Ток в индуктивности равен нулю, так как цепь была разомкнута:
iL (0) = 0.
Для определения двух постоянных интегрирования нужно еще одно уравнение.
Возьмем производную от первого уравнения (1.34):
du c |
= a |
|
A e |
a t |
+ a |
|
A |
e |
a |
t |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
. |
(1.35) |
|||||
|
|||||||||||
dt |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим значение производной в первый момент времени после коммутации по зависимости тока и напряжения на конденсаторе i = C duc dt . Ток в емкости равен току в индуктивности, поэтому
duc |
|
|
|
= 0 . |
dt |
|
t =0 |
||
|
|
|||
|
|
Это и есть неосновное начальное условие.
Запишем уравнения (1.34), (1.35) для момента времени t=0 :
0 = E + A1 + A2 ,
0 =a1 A1 + A2a2 .
Решение этой системы имеет вид:
A1 |
= |
|
|
a |
2 |
E , |
(1.36) |
||
a 1 - a 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
A2 |
= - |
|
a1 |
|
E . |
(1.37) |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
a1 - a 2 |
|
Подставим полученные значения постоянных в уравнение(1.34) и после небольших преобразований получим:
|
u c = E + |
E |
a |
2 e a 1t |
- a 1 e a 2 t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1.38) |
||||
|
|
|
a 1 |
- a 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
a t |
|
|
a1 |
a |
t |
|
|||
u |
= E + E |
|
|
e |
1 |
- E |
|
|
e 2 |
. |
|
(1.39) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c |
|
a1 -a2 |
|
|
a1 |
-a2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Последнее выражение показывает, что закон изменения напряжения на конденсаторе после коммутации состоит из постоянной составляющей и двух экспоненциальных функций с постоянными времени
t 1 = |
|
1 |
|
f t 2 = |
|
1 |
|
. |
|
a 1 |
a 2 |
||||||||
|
|
|
|
Ток в емкости определяется через производную:
i |
|
= C |
du |
c |
= CE |
a a |
2 |
ea1t |
|
- a a |
2 |
ea 2t |
|
CE a a |
ea1t |
- ea2t |
|||||||||||||||
c |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. (1.40) |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
a1 - a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 a1 |
- a |
2 |
|
|||||||||||||
По теореме Виета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
= w |
2 |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i = |
|
|
E |
× |
e a1t |
- e a 2 t |
, |
|
|
|
(1.41) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
a 1 - a 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u L |
|
= |
L |
|
di |
= E |
|
a 1 ea1t - a 2 ea 2t |
. |
|
(1.42) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
a 1 |
- a |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.Построение графиков зависимостей uc = f (t);uL = f (t);i = f (t)
Определим значения функций в крайних точках. |
|
|
t = 0 |
t = ∞ |
|
i (0) = 0 |
i пр = 0 |
|
uc (0) |
= 0 |
uc пр = Е |
uL (0) |
= E |
uL пр = 0 |
14
Кривая тока в начальный момент и в конце процесса равна нулю. При этом в начале процесса производная тока не равна нулю, так как
|
|
|
|
L |
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= uL (0) = E . |
|||||
|
|
|
|
|
dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В |
середине |
процесса |
ток |
|
|
имеет максимум, совпадающий с переходом |
|||||||||||||||||
напряжения на индуктивности через нуль (t = t1). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
= 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Скорость изменения |
напряжения на конденсаторе в начале процесса равна |
||||||||||||||||||||||
нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
duc |
|
|
|
= i(0) = 0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Это |
значит, |
кривая |
изменения |
|
|
напряжения на конденсаторе имеет точку |
|||||||||||||||||
перегиба в точке перехода напряжения на индуктивности через нуль, так как в |
|||||||||||||||||||||||
этой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
= |
uL |
= C |
d 2 uc |
= 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
dt 2 |
В интервале времени доt1 ток возрастает, а индуктивность препятствует этому и напряжение на ней имеет положительное направление. После этого момента ток начинает уменьшаться и напряжение на индуктивности меняет свой знак. Отрицательный максимум напряжения совпадает с точкой перегиба кривой тока (t = t2)
duL |
|
|
|
= L |
|
d 2 i |
|
|
= 0. |
dt |
|
t =t 2 |
|
dt 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
t =t 2 |
||||
|
|
|
|
Кривые изменений тока, напряжения на емкости и индуктивности изображены на рис. 1.8 .
15
i, uL,, uc
uc
E
i
t1 |
t2 uL |
t |
Рис. 1.8. Кривые изменения токов и напряжений
Рассмотрим случай колебательного процесса. Здесь w0 f d , или
1 |
f |
R |
и R p 2 |
L |
. |
(1.43) |
LC |
2L |
|
||||
|
|
C |
|
Преобразуем выражение для корней:
a1,2 = -d ± d 2 -w02 = -d ± -1(w02 -d 2 ) = -d ± j(w02 -d 2 ) .
Введем обозначение w02 -d 2 = (w¢)2 . Тогда
a1 = -d + jw¢ a2 = -d - jw¢.
Для нахождения законов изменения при комплексно-сопряженных корнях необходимо обратиться к формулам Эйлера:
e ja =cosa+ j sina e- ja =cosa - j sina.
Из этих формул вытекает следующее: |
|
|
|
|
|||
cos a = |
e ja + e - ja |
|
, |
sin a = |
e ja - e - ja |
. |
|
|
|
||||||
|
|||||||
2 |
|
|
|
2 j |
Преобразуем выражение для тока с использованием формулы Эйлера:
16
e a 1t - e a 2 t |
|
|
e - (d + jw ¢) t |
- e - (d - j w ¢)t |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
a |
1 - a |
2 |
|
|
- d + j w ¢ + d + w ¢ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
- dt |
|
|
¢ |
|
|
|
- dt |
|
¢ |
|
|
|
- dt |
|
|
¢ |
|
¢ |
|
|
|
|
e |
e |
jw t |
|
- e |
e |
- j w t |
|
|
e |
|
e |
j w t |
- e |
- j w t |
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
× |
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 jw ¢ |
|
|
|
w ¢ |
|
|
2 j |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
e |
- dt |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin w t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w ¢
Итак
|
E |
|
e - d t |
|
¢ |
|
i = |
|
× |
|
sin w |
t . |
(1.46) |
L |
w ¢ |
Аналогичным способом можно определить другие законы изменения. Имеется всего три конструкции, которые дают формулы перехода к колебательным функциям.
|
|
ea1t - ea2t |
|
|
|
|
e |
-dt |
|
|
¢ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin w t , |
(1.47) |
||||
|
|
a1 -a 2 |
|
w ¢ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a1ea1t - a 2 ea2t |
= |
w |
0 |
|
|
e |
-dt |
|
¢ |
- b ) , |
(1.48) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a1 - a 2 |
w¢ |
|
|
|
|
|
sin(w t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 ea1t - a1ea2t |
|
|
|
w0 |
|
|
|
-dt |
|
¢ |
|
||||||||
|
= |
1 - |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
sin( w t + b ) |
(1.49) |
|||||
|
|
w |
¢ |
|
|
|
|||||||||||||
|
a1 - a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
w |
2 |
-d |
2 |
; |
||
где w = |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
b = |
arctg |
w |
¢ |
; |
|||
|
|||||||
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
17
С учетом изложенного выше, можно записать окончательно: |
|
||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
- d t |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
i = L w ¢ |
× e |
|
|
sin w t , |
|
|
(1.50) |
||||
|
|
uL = E |
w0 |
e |
-dt |
|
¢ |
|
, |
(1.51) |
|
||
|
|
w¢ |
|
|
sin(w t - b ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u c |
= E - E |
|
w 0 |
e |
- dt |
|
¢ |
. |
(1.52) |
|||
|
|
w ¢ |
|
sin( w t + b ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это |
затухающие |
|
|
синусоиды, графическое |
изображение |
которых |
|||||||
приведено на рис. 1.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
u |
|
uc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
i1 |
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9. Затухающий переходный процесс |
|
В зависимости от параметров цепей синусоиды могут быть различными
(рис. 1.10, а. б ). Такие затухающие синусоиды характеризуют с помощью декремента колебания. Декремент – отношение двух соседних максимумов кривой (см. рис. 1.9).
18