АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

Замечание. В коммутативном кольце нет смысла различать левый и правый делители нуля, так как ab ba , поэтому говорят просто о делителях нуля.

Определение. Если в кольце нет делителей нуля, тогда оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности или просто областью.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей называется полем, если любой его ненулевой элемент является обратимым в этом кольце.

Другими словами, полем называется множество K, на котором определены операции сложения и умножения, относительно которых множество K является коммутативным кольцом с единицей 1 K , причем 1 0 , где 0 K – нулевой элемент, и x K, x 0 существу-

ет x 1 K .

Теорема. В поле нет делителей нуля.

п.1.4. Кольцо и поле классов вычетов Теорема. Множество классов вычетов по любому модулю является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. Множество примитивных классов вычетов относительно их умножения является коммутативной группой.

Таким образом, Zm – кольцо классов вычетов по модулю m, Z*m – группа примитивных классов вычетов по модулю m.

Теорема. Кольцо классов вычетов по простому модулю является полем.

Пусть р – простое число, тогда Zp {0, 1,...,p 1} – поле классов вычетов по простому модулю р.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

Теорема. Класс вычетов a по модулю m является обратимым элементом в кольце классов вычетов Zm тогда и только тогда, когда класс

вычетов a является примитивным классом вычетов по данному модулю m.

Теорема. В поле классов вычетов по простому модулю линейное уравнение a x b имеет единственное решение x (a) 1 b .

Теорема. В кольце классов вычетов по произвольному модулю m ли-

нейное уравнение a x b разрешимо тогда и только тогда, когда D | b , где D D(a,m) . Если это уравнение разрешимо, то оно имеет D

решений. Если x0 – какое-нибудь решение данного уравнения, то ос-

тальные D 1 решений можно найти по формуле x x0 mD k , где число k пробегает числа 1, 2, …, D – 1.

Замечание. Уравнение a x b в кольце классов вычетов по модулю m равносильно сравнению ax b (mod m) . Поэтому последние теоре-

мы можно сформулировать на языке сравнений. Эти теоремы составляют теорию сравнений 1-й степени, смотрите следующий пункт.

п.1.5. Сравнения 1-й степени

Определение. Пусть m 1 – произвольное натуральное число, а и b – произвольные целые числа. Сравнение

ax b (mod m) ,

где х – неизвестное целое число, называется сравнением первой степени с одним неизвестным.

Замечание. Пусть r – произвольный класс вычетов по модулю m, тогда, по определению,

r {x Z | x r (mod m)} ,

т.е. это множество описывается как множество всех целых чисел х, удовлетворяющих сравнению

x r (mod m) .

Далее, так как

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

x r (mod m) m | x r x r tm ,

где t Z , то

xr (mod m) x r tm, t Z .

Вдальнейшем, именно так мы и будем записывать классы вычетов по заданному модулю.

x x0 tm, t Z из класса вычетов x x0 (mod m) также будет удов-

летворять этому сравнению:

a(x0 tm) b (mod m) .

Отсюда следует вывод, что решением сравнения является не отдельное число x0 , а класс вычетов по данному модулю x x0 (mod m) , что

позволяет ввести следующее определение.

Определение. Решением сравнения ax b (mod m) называется класс вычетов x x0 (mod m) , удовлетворяющий данному сравнению.

Теорема. Сравнение ax 1(mod m) разрешимо тогда и только тогда, когда D(a,m) 1. Если это сравнение разрешимо, то оно имеет единственное решение x x0 (mod m) .

Теорема. Если D(a,m) 1, то для любого целого числа b сравнение

x x0 (mod m) – решение сравнения ax 1(mod m) .

Теорема. Сравнение ax b (mod m) разрешимо тогда и только тогда, когда D | b , где D D(a,m) . Если сравнение разрешимо, то оно имеет точно D решений:

x x0 mD k (mod m), k 0,1,...,D 1,

где x x0 (mod mD ) – решение сравнения Da x Db (mod mD ) .

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

п.1.6. Методы решения сравнений 1-й степени

Как следует из теорем предыдущего пункта, достаточно научиться решать сравнения вида

ax 1(mod m), D(a,m) 1 .

В основном применяется один из следующих трех методов.

1-й метод. Применяется в случаях, когда модуль m является небольшим натуральным числом. По сути, это метод перебора. Так как решением сравнения является один из классов вычетов по модулю m, то выписываем стандартную полную систему вычетов по этому модулю

{0,1,...,m 1}

и последовательно подставляем в сравнение ax 1(mod m) вместо не-

известной х числа 0, 1, …, m 1 . Так как сравнение разрешимо и имеет единственное решение, то только одно из этих чисел будет удовлетворять сравнению. Таким образом, решением сравнения будет класс вычетов x x0 (mod m) , где x0 одно из чисел множества {0,1,...,m 1},

для которого сравнение ax0 1(mod m) оказывается верным.

2-й метод. Используем теорему Эйлера

a (m) 1(mod m) .

Умножим обе части сравнения ax 1(mod m) на число равное a (m) 1 : a (m) 1 ax a (m) 1 (mod m) ,

отсюда, в силу теоремы Эйлера, получаем решение сравнения: x a (m) 1 (mod m) .

Замечание. Формально решение сравнения найдено, но принято находить в классе вычетов наименьший неотрицательный вычет

a (m) 1 r (mod m), r {0,1,...,m 1},

и записывать ответ в виде x r (mod m) .

3-й метод. Используется алгоритм Евклида, с помощью которого можно найти линейное представление НОД. Исходное сравнение ax 1(mod m) равносильно уравнению

ax tm 1

с двумя неизвестными х и t. Так как D(a,m) 1, то существуют такие целые числа x x0 и t t0 , что ax0 mt0 1. Метод вычисления этих чисел описан ранее в ПЗ 1. Тогда класс вычетов x x0 (mod m) будет искомым.

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

п.2. Список задач Список №1

1.Составить таблицы сложения и умножения для классов вычетов по заданному модулю m.

2.Составить таблицу умножения для примитивных классов вычетов по заданному модулю m.

3.С помощью таблицы сложения классов вычетов по заданному модулю найти для каждого класса вычетов противоположный ему класс вычетов.

4.С помощью таблицы умножения классов вычетов по заданному модулю найти все делители нуля.

5.С помощью таблицы умножения классов вычетов по заданному модулю найти все обратимые классы вычетов, и найти обратные им классы вычетов.

6.С помощью таблицы умножения примитивных классов вычетов по заданному модулю найти для каждого примитивного класса вычетов обратный ему класс вычетов.

7.Решить линейное уравнение в кольце классов вычетов по заданному модулю.

8.Определить, разрешимо ли данное сравнение 1-й степени, и если разрешимо, то сколько решений оно имеет.

9.Решить данное сравнение 1-й степени методом перебора.

10.Решить данное сравнение 1-й степени с помощью теоремы Эйлера.

11.Решить данное сравнение 1-й степени с помощью алгоритма Евклида.

Список №2

1.Задачи на доказательство.

2.Решение простейших линейных диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

п.3. Примеры Пример 1. Составить таблицы сложения и умножения для классов вычетов по модулю 10.

Решение. Выпишем все классы вычетов по модулю 10:

Z10 {0, 1,2,...,9}.

Пусть {0,1,2,...,9} – полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 10, и a,b {0,1,2,...,9} – какие-то наименьшие не-

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

отрицательные вычеты по модулю 10. По правилу сложения классов вычетов a b a b . Если a b 10 , то число a b является наименьшим неотрицательным вычетом в классе a b . Если же a b 10 , то наименьшим неотрицательным вычетом в классе a b

будет число a b 10 и a b 10 a b , так как a b a b 10 (mod10) . Таким образом, при сложении классов вычетов будем руководствоваться правилом:

Аналогично, при умножении классов,

a b ab r ,

где ab r (mod10) , и r – наименьший неотрицательный вычет числа ab по модулю 10. Например,

Замечание. Для удобства записи мы не ставим в таблицах черточку над числом в обозначении класса вычета.

Ответ:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6

5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5

6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4

7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3

8 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2

9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Пример 2. Составить таблицу умножения для примитивных классов вычетов по модулю 10.

Решение. Составим приведенную систему вычетов по модулю 10. Для этого, определяем какие из чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

взаимно простые с модулем 10 и выписываем их: 1, 3, 7, 9.

Следовательно, множество примитивных классов вычетов по модулю 10 имеет 4 элемента:

Z10* {1, 3, 7, 9}.

Это множество образует группу относительно умножения. Таблицу умножения можно составить пользуясь таблицей умножения для кольца классов вычетов Z10 . Смотрите предыдущий пример.

1 3 7 9

1 1 3 7 9

Ответ: 3 3 9 1 7 . 7 7 1 9 3 9 9 7 3 1

Замечание. Так как операции сложения и умножения классов вычетов являются коммутативными, то это отражается в таблицах. Числа,

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

стоящие в таблицах симметрично главной диагонали (слева направо) являются равными. Это можно использовать при их заполнении.

Пример 3. Для каждого класса вычетов по модулю 10 найти противоположный ему класс вычетов.

Решение. Используем определение противоположного элемента. В нашем случае, если a 0 и a b 0 , то по определению: a b . Из таблицы сложения классов вычетов по модулю 10 находим все проти-

a b 10 a . Таким же образом доказывается формула для нахождения противоположного класса вычетов по любому модулю m:

a m a .

Ответ: 0 0, 1 9, 2 8, 3 7, 4 6, 5 5, 6 4 ,7 3, 8 2, 9 1 .

Пример 4. Найти все делители нуля в кольце классов вычетов по модулю 10.

Решение. Из определения делителей нуля следует, что два ненулевых класса вычетов a, b будут делителями нуля, если a b 0 . Осталось внимательно рассмотреть таблицу умножения классов вычетов по мо-

дулю 10: 2 5 0, 4 5 0, 6 5 0, 8 5 0 . Ответ: 2, 4, 5, 6, 8 .

Замечание. Из определения делителей нуля в нашем случае следует, что a b ab 0 или ab 0 (mod m) . Если бы число а было взаимно просто с модулем m, в сравнении то на него можно было бы сократить: b 0 (mod m) . Но это означает, что b 0 , что противоречит оп-

ределению делителя нуля. Следовательно, если класс вычетов a по модулю m является делителем нуля, то D(a,m) 1, т.е. число а не вза-

имно простое с модулем m. Легко доказать и обратное утверждение: если D(a,m) 1, то класс вычетов a по модулю m является делителем

нуля. Отсюда следует, что делителями нуля являются те и только те классы вычетов, которые не являются примитивными, т.е. не являют-

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

ся взаимно простыми с модулем.

Пример 5. Найти все обратимые классы вычетов по модулю 10 и обратные им классы вычетов.

Решение. Обратимыми классами вычетов являются только примитивные классы вычетов и только они. Поэтому, по модулю 10 обратимы-

ми классами вычетов являются классы 1, 3, 7, 9 . Если класс вычетов a является обратимым, то обратный ему класс вычетов a 1 удовле-

творяет равенству a a 1 1 , т.е. является решением линейного

уравнения a x 1 или сравнения ax 1(mod m) .

Из таблицы примера 2 находим:

1 1 1, 3 1 7, 7 1 3, 9 1 9 .

Этот же результат мы получим, если будем решать сравнения: 1 x 1(mod10), 3x 1(mod10), 7x 1(mod10) ,

9x 1(mod10) . Ответ: 1 1 1, 3 1 7, 7 1 3, 9 1 9 .

Пример 6. В кольце классов вычетов по модулю 10 решить линейное уравнение 3 x 5 .

Решение. Линейное уравнение a x b в кольце классов вычетов по модулю m равносильно решению сравнения ax b (mod m) . Но дан-

ное уравнение можно решить с помощью таблицы умножения классов вычетов по модулю 10 (смотрите пример 1). По таблице находим:

3 5 5.

Ответ: x 5 .

Пример 7. Определить, разрешимо ли сравнение, и если да, то сколько решений оно имеет: а) 12x 15(mod14) ;

б) 12x 15(mod35) ; в) 12x 15(mod9) .

Решение. Сравнение ax b (mod m) разрешимо тогда и только тогда, когда D(a,m) | b . Если сравнение разрешимо, то оно имеет

D D(a,m) решений.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

а) D(12,14) 2 | 15 . Сравнение 12x 15(mod14) не имеет решений. б) D(12,35) 1. Сравнение 12x 15(mod35) разрешимо и имеет един-

ственное решение.

в) D(12,9) 3. Сравнение 12x 15(mod9) разрешимо и имеет 3 реше-

ния.

Ответ: а) не разрешимо; б) имеет единственное решение; в) имеет 3 решения.

Пример 8. Решить сравнение 5x 3(mod7) методом перебора. Решение. Так как D(5,7) 1, то сравнение имеет единственное реше-

ние. Последовательно подставляем в сравнение вместо неизвестной х числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, пока не получим верное сравнение:

5 0 3(mod7), 5 1 3(mod7), 5 2 3(mod7) . Ответ: x 2 (mod7) .

Пример 9. Решить сравнение 5x 3(mod17) с помощью теоремы Эй-

лера.

Решение. Так как коэффициент при неизвестной – число 5 взаимно простое с модулем 17, то сравнение имеет единственное решение, и для его нахождения можно применить формулу:

x a (m) 1b (mod m) 5 (17) 1 3 (mod17) .

Так как (17) 16 , то x 515 3 (mod17) . Найдем наименьший неотрицательный вычет числа 515 по модулю 17:

54 625 17 36 13 54 13 (mod17) 4 (mod17) , 53 125 17 7 6 53 6 (mod17)

Отсюда находим

515 (54 )3 53 ( 4)3 125 (mod17) ( 64) 6 (mod17) .

Так как, 64 17 ( 4) 4 , то

515 ( 64) 6 (mod17) 4 6 (mod17) 7 (mod17) .

Подставляя в решение найденный наименьший неотрицательный вычет, получаем:

x 515 3 (mod17) 7 3 (mod17) 4 (mod17) .

Ответ: x 4 (mod17) .

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

Пример 10. Решить сравнение 35x 83(mod107) с помощью алго-

ритма Евклида.

Решение. С помощью алгоритма Евклида находим НОД коэффициента при неизвестном и модуля.

107 35 3 2 ,

35 2 17 1,

2 1 2 .

Последний ненулевой остаток равен 1, и D(35,107) 1. Следователь-

но, данное сравнение имеет единственное решение. Сначала, мы найдем линейное представление найденного НОД, т.е. найдем такие числа х, у, для которых выполняется равенство:

107x 35y 1.

Из алгоритма Евклида выражаем остатки: 2 107 35 3, 1 35 2 17 .

Подставим во второе равенство первое:

1 35 2 17 35 (107 35 3) 17 107 ( 17) 35 52 .

Переходим в последнем равенстве к сравнению по модулю 107:

35 52 1(mod107) .

Теперь умножим исходное сравнение 35x 83(mod107) на 52:

52 35x 52 83(mod107) ,

откуда, с учетом предыдущего сравнения, получаем: x 52 83(mod107) 4316(mod107) .

Осталось найти наименьший неотрицательный вычет числа 4316 по модулю 107. Делим 4316 на 107 с остатком:

4316 107 40 36 . Следовательно, 4316 36 (mod107) и x 36(mod107) .

Ответ: x 36(mod107) .

Пример 11. Решить сравнение 35x 45(mod65) .

Решение. Так как

D(35,65) 5D(7,13) 5 | 45 ,

то сравнение имеет 5 решений по модулю 65. Сокращаем сравнение на 5:

355 x 455 (mod 655 ) .

15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

Упрощаем получившееся сравнение:

находим:

x 5 655 k (mod65), k 0,1,2,3,4 .

Подставляя значения k, получаем:

x5 (mod65), x 5 13 (mod65) 18 (mod65) ,

x5 13 2 (mod65) 31(mod65) ,

x5 13 3 (mod65) 44 (mod65) ,

x5 13 4 (mod65) 57 (mod65) . Ответ: x 5 (mod65), x 18 (mod65), x 31(mod65) ,

x44 (mod65), x 57 (mod65) .

Пример 12. Решить в целых числах уравнение с двумя неизвестными

6x 11y 3 .

Решение. Перейдем в уравнении к сравнению по модулю 11 и решим его:

6x 11y 3 (mod11) 6x 3 (mod11) 2x 1(mod11) ,

откуда находим x 6 (mod11) . Все числа из последнего класса вычетов можно записать в виде x 6 11t, t Z . Подставим это выражение

в исходное уравнение:

6(6 11t) 11y 3 11y 33 66t y 3 6t .

Таким образом, все решения исходного уравнения имеют вид:

16

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

казать, что если t – пробегает все множество целых чисел, то соответствующие пары чисел

(x, y) (6 11t, 3 6t)

пробегают все множество решений данного уравнения.

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 4

1.Составьте таблицы сложения и умножения для классов вычетов по модулю: а) 2; б) 8; в) 12.

2.Составьте таблицу умножения для примитивных классов вычетов по модулю: а) 2; б) 8; в) 12.

3.Для каждого класса вычетов по модулю 12 найдите противоположный ему класс вычетов.

4.Найдите все делители нуля в кольце классов вычетов по модулю 12.

5.Найдите все обратимые классы вычетов по модулю 12 и обратные им классы вычетов.

6.С помощью таблицы умножения примитивных классов вычетов по модулю 8 найдите для каждого примитивного класса вычетов обратный ему класс вычетов.

7.В кольце классов вычетов по модулю 12 решите линейное уравне-

11.Следующие сравнения решите с помощью теоремы Эйлера: а) 2x 13(mod 21) ; б) 5x 44(mod51) .

12.Следующие сравнения решите с помощью алгоритма Евклида: а) 102x 133(mod319) ; б) 235x 613(mod661) .

17

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

13. Решите сравнения: а) 16x 2 (mod18) ;

б) 42x 24 (mod78) ; в) 33x 192 (mod 237) .

Задачи повышенного уровня сложности 4

14.Доказать, что сложение и умножение классов вычетов по заданному модулю не зависит от выбора их представителей.

15.Объясните, почему множество всех целых неотрицательных чисел не является группой ни относительно сложения, ни относительно умножения.

16.Докажите, что множество всех целых чисел является областью.

17.Докажите, что кольцо классов вычетов по простому модулю является полем.

18.Докажите, что в любом поле нет делителей нуля.

19.Определить, является ли множество все целых чисел кратных 3 замкнутым относительно сложения и умножения, и образует ли оно группу, кольцо или поле.

20.Решите в целых числах уравнение: а) 5x 7y 1; б) 15x 17y 11;

в) 105x 173y 101.

Домашнее задание 4. Сравнения 1-й степени

1.Составьте таблицы сложения и умножения для классов вычетов по модулю 9.

2.Используя таблицу сложения классов вычетов по модулю 9, найдите для каждого класса вычетов противоположный ему класс вычетов.

3.Используя таблицу умножения классов вычетов по модулю 9, найдите все делители нуля.

4.Составьте таблицу умножения для примитивных классов вычетов по модулю 9 и, используя эту таблицу, найдите для каждого примитивного класса вычетов обратный ему класс вычетов.

5.Решите сравнение 10x 9 (mod19) тремя различными способами.

6.Решите сравнение 30x 27 (mod57) .

Самостоятельная работа 4

Вариант 1.

1.Определение суммы классов вычетов по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу сложения для кольца Z4 .

18

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

3. Решите сравнение 4x 1(mod5) . Вариант 2.

1.Определение произведения классов вычетов по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу умножения для кольца Z4 .

3.Решите сравнение 4x 5 (mod7) .

Вариант 3.

1.Определение сравнения 1-й степени с одним неизвестным по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу умножения для группы Z*4 .

3.Решите сравнение 4x 5 (mod17) .

Вариант 4.

1.Определение решения сравнения 1-й степени с одним неизвестным по заданному модулю m.

2.Составьте таблицу умножения для группы Z*5 .

3.Решите сравнение 5x 1(mod36) .

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 4 Обозначения

1.Обозначение нулевого элемента относительно операции сложения.

2.Обозначение единичного элемента относительно операции умножения.

3.Обозначение противоположного элемента.

4.Обозначение обратного элемента.

Определения

1.Определение суммы классов вычетов по заданному модулю.

2.Определение произведения классов вычетов по заданному модулю.

3.Определение операции сложения на произвольном множестве.

4.Определение операции умножения на произвольном множестве.

5.Определение множества замкнутого относительно операции сложения.

6.Определение множества замкнутого относительно операции умножения.

7.Определение нулевого элемента относительно сложения.

8.Определение единичного элемента относительно умножения.

9.Определение противоположного элемента.

19

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 4, с.21

10.Определение обратимого элемента.

11.Определение обратного элемента.

12.Определение закона ассоциативности сложения.

13.Определение закона ассоциативности умножения.

14.Определение группы относительно сложения.

15.Определение группы относительно умножения.

16.Определение закона коммутативности сложения.

17.Определение закона коммутативности умножения.

18.Определение абелевой (коммутативной) группы.

19.Определение кольца.

20.Определение кольца с единицей.

21.Определение коммутативного кольца.

22.Определение левого (правого) делителя нуля.

23.Определение кольца без делителей нуля.

24.Определение области (области целостности).

25.Определение поля.

26.Определение сравнения 1-й степени с одним неизвестным.

27.Определение решения сравнения 1-й степени с одним неизвестным.

Теоремы

1.Замкнутость множества примитивных классов вычетов относительно умножения.

2.Теорема о делителях нуля.

3.Кольцо классов вычетов.

4.Группа примитивных классов вычетов.

5.Кольцо классов вычетов по простому модулю.

6.Необходимое и достаточное условие обратимости класса вычетов.

7.Теорема о существовании и единственности решения линейного уравнения в поле классов вычетов.

8.Теорема о разрешимости и количестве решений линейного уравнения в кольце классов вычетов.

9.Необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения ax 1(mod m) .

10. Условие существования единственного решения сравнения ax b (mod m) .

11. Необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения 1-й степени с одним неизвестным, количество и структура его реше-

20

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

Практическое занятие 5 Комплексные числа – 1

Краткое содержание: поле комплексных чисел, алгебраическая форма записи, мнимая единица, действительная и мнимая части комплексного числа, равенство комплексных чисел, действия с комплексными числами в алгебраической форме записи, комплексно сопряженные числа и их свойства.

п.1. Теория п.1.1. Основные определения

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел (a, b).

Определение. Два комплексных числа называются равными, если они равны как упорядоченные пары действительных чисел:

df

(a,b) (c,d) (a c) & (b d) .

На множестве комплексных чисел определяются две внутренние алгебраические операции – сложение и умножение:

(a,b) (c,d) (a c, b d), (a,b) (c,d) (ac bd, ad bc) .

Теорема. (Об алгебраической структуре множества комплексных чисел.)

Множество комплексных чисел является полем.

Определение. Комплексное число (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается

i (0;1) .

Если комплексное число вида (а; 0) отождествить с действительным числом а, т.е. положить по определению

a (a,0) ,

то в этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема. (Об алгебраической форме записи комплексного числа.) Любое комплексное число (а, b) можно записать в виде

(a, b) a bi ,

где мнимая единица i удовлетворяет равенству

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 5, с.12

i2 1 .

Обозначение. Поле комплексных чисел обозначается обычно буквой С:

C{a bi | a,b R} ,

асами комплексные числа часто обозначаются буквой z:

z a bi .

Определение. Запись комплексного числа в виде z a bi называется алгебраической формой записи. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается Re z a . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z b .

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым: z bi .

п.1.2. Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме записи

Из определения сложения и умножения комплексных чисел и алгебраической формы записи комплексного числа следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи.

Пусть x a bi, y c di – произвольные комплексные числа. То-

гда

x y (a bi) (c di) (a c) (b d)i , xy (a bi)(c di) (ac bd) (ad dc)i .

Замечание. Из определений следует, что два комплексных числа равны, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

a bi c di (a c) & (b d) .

Из определений вытекает также, что R C , т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое:

2