АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

Практическое занятие 22 Нормированное уравнение плоскости

Краткое содержание: нормированное (нормальное) уравнение плоскости, нормирующий множитель, расстояние от начала координат до плоскости, расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, невязка и отклонение, взаимное расположение двух точек и плоскости, уравнения биссекторных плоскостей двугранного угла, условия пребывания точки внутри острого (тупого) двугранного угла, образованного пересечением двух плоскостей, необходимое и достаточное условие пересечения трех плоскостей в одной точке.

п.1. Теория п.1.1. Нормированное (нормальное) уравнение плоскости

Определение. Общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0

называется нормированным или нормальным уравнением плоскости, если

A2 B2 C2 1 и D 0 .

Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения плоскости). Нормированное уравнение плоскости может быть записано в виде

где p 0 – расстояние от начала координат до данной плоскости, cos , cos , cos – направляющие косинусы её нормального вектора

n (cos , cos , cos ) .

Определение. Нормирующим множителем общего уравнения плоскости Ax By Cz D 0 называется число

A2 B2 C2

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена D.

Теорема. Пусть – нормирующий множитель общего уравнения плоскости Ax By Cz D 0 . Тогда уравнение

Ax By Cz D 0

является нормированным уравнением данной плоскости.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

п.1.2. Невязка и отклонение

Определение. Пусть : Ax By Cz D 0 – произвольное общее уравнение плоскости, M1 (x1 , y1 , z1 ) – произвольная фиксированная

точка. Число

(M1; ) Ax1 By1 Cz1 D

называется отклонением точки M1 от плоскости .

п.1.3. Расстояние от точки до плоскости и между параллельными плоскостями

ной плоскости.

Теорема. Пусть

1 : x cos 1 ycos 1 zcos 1 p1 0 ,

2 : x cos 2 ycos 2 zcos 2 p2 0

–нормированные уравнения двух параллельных плоскостей, где

– их нормальные векторы. Обозначим через d ( 1; 2 ) расстояние между данными плоскостями. Тогда:

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

Рис. 2

Следствие. Пусть даны общие уравнения двух параллельных плоскостей с одинаковыми коэффициентами при переменных:

1 : Ax By Cz D1 0, 2 : Ax By Cz D2 0 .

Тогда:

1) если D1D2 0 , то начало координат лежит не между плоскостями и

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

п.1.4. Взаимное расположение плоскости и двух точек

Пусть даны точки M1 (x1; y1; z1 ) , M2 (x2 ; y2 ; z2 ) и плоскость: Ax By Cz D 0 . Любая плоскость делит пространство на два

полупространства. Если ни одна из точек не лежит на данной плоскости, то возможны два случая:

1)обе точки лежат в одном полупространстве (по одну сторону от плоскости);

2)точки лежат в разных полупространствах (по разные стороны от плоскости).

тельно данной плоскости. Тогда 1) если 1 2 0 , то обе точки лежат в одном полупространстве от-

носительно данной плоскости (по одну сторону от плоскости); 2) если 1 2 0 , то обе точки лежат в разных полупространствах

относительно данной плоскости (по разные стороны от плоскости).

п.1.5. Биссекторные плоскости двугранного угла Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоскостей:

1 : A1x B1 y C1z D1 0 и 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

– уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, образованного пересечением данных плоскостей;

A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0

– уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла.

Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоскостей:

1 : A1x B1 y C1z D1 0 и 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

причем направления их нормальных векторов n1 (A1 ,B1 ,C1 ) и n2 (A2 ,B2 ,C2 ) выбраны так, что угол между ними является острым, т.е.

n1 n2 A1A2 B1B2 C1C2 0 .

Тогда:

1) точка Mo (xo , yo ,zo ) находится внутри острого двугранного угла тогда и только тогда, когда невязки точки Mo относительно данных

плоскостей имеют противоположные знаки

(Mo , 1 ) (Mo , 2 ) 0 ;

2) точка Mo (xo , yo ,zo ) находится внутри тупого двугранного угла тогда и только тогда, когда невязки точки Mo относительно данных

плоскостей имеют одинаковые знаки.

(Mo , 1 ) (Mo , 2 ) 0 .

п.1.6. Пересечение трех плоскостей в единственной общей точке Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

1 : A1x B1 y C1z D1 0 , 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

3 : A3 x B3 y C3 z D3 0 , ni (Ai ; Bi ;Ci ), i 1, 2,3 – их соответст-

вующие нормальные векторы. Для того, чтобы три данные плоскости пересекались в единственной точке необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение их нормальных векторов не равнялось нулю:

В этом случае, координаты их единственной общей точки являются единственным решением системы уравнений:

A x B y C z D 0

1 1 1 1

A2 x B2 y C2 z D2 0 .A3 x B3 y C3 z D3 0

п.2. Список задач Список №1

1.Определить, является ли данное уравнение нормированным уравнением плоскости.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

2.Найти нормирующий множитель для данного общего уравнения плоскости.

3.Привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, и найти расстояние до неё от начала координат.

4.Найти невязку и отклонение точки от плоскости.

5.Найти расстояние от точки до плоскости.

6.Убедиться, что три данные плоскости пересекаются в единственной точке и найти её координаты.

Список №2

1.Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями.

2.Определить взаимное расположение двух точек и плоскости.

3.Определить, внутри острого или тупого двугранного угла, образованным двумя пересекающимися плоскостями, лежит данная точка.

4.Найти уравнение биссекторной плоскости острого (тупого) двугранного угла между двумя пересекающимися плоскостями.

п.3. Примеры Пример 1. Определить, какие из следующих уравнений прямых яв-

ляются нормированными:

а) x 2y 3z 1 0 ; б) 23 x 23 y 13 z 0 ; в) y 1 0 ; г) 43 x 13 y 23 z 1 0 ; д) 34 x 54 y 6 0 ;

е) 116 x 117 y 116 z 3 0 ; ё) x 3 0 .

Решение. Пользуемся определением нормированного уравнения плоскости.

а) A 1, B 2, C 3, A2 B2 C2 1 , уравнение не нормированное;

б) свободный член D 0 , уравнение не нормированное; в) свободный член D 1 0 , уравнение не нормированное;

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

рованное;

Пример 2. Записать нормированное уравнение плоскости, если его общее уравнение имеет вид:

3x 4y 12z 26 0 ,

и найти расстояние от начала координат до плоскости. Решение. Имеем,

n (3; 4; 12) , | n | 32 ( 4)2 122 13 .

Для получения нормированного уравнения плоскости умножим обе части общего уравнения на нормирующий множитель

| n1 | 131 ,

который имеет знак, противоположный знаку свободного члена:

133 x 134 y 1213 z 2 0 .

Ответ: 133 x 134 y 1213 z 2 0 – нормированное уравнение плоско-

сти. Расстояние от начала координат до плоскости равно 2.

Пример 3. Найти расстояние между двумя параллельными плоско-

стями 3x 2y 6z 5 0 и 3x 2y 6z 2 0 .

Решение. 1-й способ. Найдем нормальный вид уравнений плоскостей: 73 x 72 y 76 z 75 0, 73 x 72 y 76 z 72 0 .

дится между плоскостями и расстояние между плоскостями равно

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

d p1 p2 75 72 1.

2-й способ. Воспользуемся следствием пункта 3. Так как соответствующие коэффициенты при переменных равны, а свободные члены уравнений имеют противоположные знаки, то начало координат находится между плоскостями и

Ответ: 1.

Пример 4. Найти расстояние от точки А (2; –2; 0) до плоскости x 2y 2z 12 0 .

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:

Ответ: 2.

Пример 5. Найти взаимное расположение плоскости x y 2z 7 0 и точек А (0; –1; 4), В(2; 3; 0).

Решение. Найдем невязки точек А и В относительно данной плоскости:

A AxA ByA CzA D 1 0 ( 1) 2 4 7 2 0 ,

B AxB ByB CzB D 1 2 3 2 0 7 8 0 .

Невязки имеют противоположные знаки, поэтому точки А и В расположены в разных полупространствах относительно данной плоскости. Ответ: данные точки расположены по разные стороны от данной плоскости.

Пример 6. Найти биссекторную плоскость острого двугранного угла образованного плоскостями:

Решение. Чтобы скалярное произведение нормальных векторов данных плоскостей было положительным перепишем уравнения плоскостей в виде:

2x 14y 15z 3 0 , 2x 2y 3z 3 0 .

Теперь, согласно теореме п.5, уравнение

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

есть уравнение биссекторной плоскости острого угла. После очевидных преобразований получаем

4x 2y 15z 9 0 .

Ответ: 4x 2y 15z 9 0 .

Пример 7. Найти биссекторную плоскость того двугранного угла образованного плоскостями x z 5 0 и 3x 5y 4z 0 , внутри кото-

рого лежит точка М(1; 1; 1).

Решение. Умножим первое уравнение на (–1), чтобы выполнялось условие теоремы п.6

n1 n2 A1A2 B1B2 C1C2 0 .

Имеем, уравнения двух плоскостей:

x z 5 0 и 3x 5y 4z 0 ,

для которых n1 n2 A1A2 B1B2 C1C2 3 4 1 0 . Находим невязки данной точки относительно этих плоскостей:

1 1 1 5 5, 2 3 5 4 12 .

Так как знаки невязок одинаковы, то точка М лежит в тупом двугранном угле. Искомая биссекторная плоскость является биссекторной плоскостью тупого двугранного угла. Применяя теорему п.5, получаем

Пример 8. Убедиться, что плоскости

1 : 7x 2y z 1 0, 2 : 6x 3y 2z 5 0, 3 : x y 0 пересекаются

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

Следовательно, плоскости пересекаются в одной точке. Для вычисления координат точки пересечения решаем систему

и находим x y 7, z 34 .

Ответ: плоскости пересекаются в точке (–7; –7; –34).

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 22

1.Определить, какие из уравнений плоскостей являются нормальны-

ми: а) 13 x 23 y 23 z 5 0 ; б) 23 x 13 y 13 z 3 0 ; в) 76 x 73 y 72 z 5 0 ; г) 116 x 116 y 117 z 115 0 ; д) 53 x 54 y 3 0 ; е) 135 y 1213 z 1 0 ; ё) z 1 0 .

2.Найти нормирующий множитель и привести уравнения плоскостей

кнормальному виду: а) 2x 2y z 18 0 ;

б) 73 x 76 y 72 z 3 0 ; в) 4x 6y 12z 11 0 ;

г) 6x 6y 7z 11 0 ; д) 5y 12z 26 0 ; е) 3x 4y 1 0 ; ё) 2z 1 0 .

3.Для каждой плоскости вычислить углы между нормалью к плоскости и осями координат, и расстояние от начала координат до плос-

кости: а) x y 2 z 10 0 ; б) x y z 2 16 0 ;

4. Вычислить невязку, отклонение и расстояние от данной точки до данной плоскости: а) А(3; –6; 7), 4x 3z 1 0 ; б) В(–2; –4; 3),

2x y 2z 3 0 ; в) С(2; –1; –1), 16x 12y 15z 4 0 .

5.Убедиться, что данные плоскости пересекаются в одной точке, и найти её координаты:

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

2x 4y z 4 0, 3x 6y 2z 4 0, 4x y 3z 1 0 .

6.Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

а) x 2y 2z 12 0, x 2y 2z 6 0 ;

б) 2x 3y 6z 14 0, 4x 6y 12z 21 0 ; в) 2x y 2z 9 0, 4x 2y 4z 21 0 .

7.Определить, лежит ли точка D(2; –1; 1) и начало координат в одном

полупространстве или в разных относительно данной плоскости: а)

5x 3y z 18 0 ; б) 2x 7y 3z 1 0 ; в) x 5y 12z 1 0 .

8. На оси ординат найти точку, отстоящую от плоскости x 2y 2z 2 0 на расстоянии, равном 4.

Задачи повышенного уровня сложности 22

9.Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями x z 5 0 и 3x 5y 4z 0 .

10.Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупо-

го угла, образованного плоскостями x 2y 3z 5 0 и 2x y z 3 0 .

11.Определить, лежат ли точки А(2; –1; 1) и В(1; 2; –3) в одном,

смежном или вертикальных двугранных углах, образованных плос-

костями x 2y 3z 5 0 и 2x y z 3 0 .

12.Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного

4x 4y 7z 9 0, 8x 4y z 3 0, y z 0 . Составить уравнение

биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первыми двумя гранями.

Домашнее задание 22. Нормированное уравнение плоскости

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

3.Убедитесь, что следующие три плоскости пересекаются в одной точке и найдите её координаты:

x3y 2z 4 0, 2x 6y z 2 0, 4x 8y z 2 0 .

4.Вычислить объем куба, две грани которого лежат на плоскостях

2x 2y z 1 0 и 2x 2y z 5 0 .

5.Доказать, что плоскость 3x 4y 2z 5 0 пересекает отрезок, ограниченный точками: А(3; –2; 1) и В(–2; 5; 2).

Самостоятельная работа 22

Вариант 1.

1.Определение нормированного уравнения плоскости.

2.Определить, является ли уравнение 23 x 23 y 23 z 23 0 нормиро-

ванным уравнением плоскости.

3.Найдите расстояние от начала координат до плоскости

xy z 1 0 .

ванным уравнением плоскости.

3.Найдите расстояние от начала координат до плоскости

2x 2y z 1 0 .

Вариант 3.

1. Определение невязки точки относительно плоскости.

2. Приведите уравнение плоскости 18x 21y 18z 11 0 к нормальному виду.

3.Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость

xy z 1 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из начала

ному виду.

3.Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость 2x 2y 2z 3 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из на-

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

чала координат. Выполните чертеж.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 22 Обозначения

1.Обозначение расстояния от начала координат до плоскости.

2.Обозначение нормирующего множителя общего уравнения плоскости.

3.Обозначение невязки точки относительно плоскости.

4.Обозначение отклонения точки от плоскости.

5.Обозначение расстояния от точки до плоскости.

6.Обозначение расстояния между двумя параллельными плоскостями.

Определения

1.Определение нормированного (нормального) уравнения плоскости.

2.Определение нормирующего множителя общего уравнения плоскости.

3.Определение невязки точки относительно плоскости.

4.Определение отклонения точки от плоскости.

Теоремы

1.Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения плоскости.

2.Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

3.Формула расстояния от точки до плоскости.

4.Расстояние между двумя параллельными плоскостями, заданными нормальными уравнениями.

5.Формула расстояния между двумя параллельными плоскостями, заданными общими уравнениями.

6.Взаимное расположение двух точек пространства и плоскости.

7.Уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов двух пересекающихся плоскостей.

8.Необходимые и достаточные условия пребывания данной точки в остром (тупом) двугранном угле двух пересекающихся плоскостей.

9.Необходимые и достаточные условия пересечения трех плоскостей

водной точке.

Тест 22

1.Определить, какие из уравнений плоскостей являются нормальными:

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 22, с.14

3.Привести уравнение плоскости 2x 2y z 18 0 к нормальному виду и найти расстояние до неё от начала координат.

4.Дана плоскость 2x y 2z 1 0 . Найти для неё невязку точки А(1;

2; –3) .

5. Дана плоскость 2x y z 1 0 . Найти отклонение от неё точки

10.Гранями тетраэдра являются координатные плоскости и плоскость

x2y 2z 6 0 . Найдите высоту тетраэдра, опущенную из начала

координат. Выполните чертеж.

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22

Практическое занятие 23 Уравнение прямой в пространстве

Краткое содержание: каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве, прямая как пересечение двух плоскостей, решение некоторых задач на прямую в пространстве.

п.1. Теория п.1.1. Определение уравнения пространственной линии

Определение. Система уравнений

F1 (x, y,z) 0 ,F2 (x, y,z) 0

где Fi (x, y,z), i 1,2 некоторые две функции трёх действительных пе-

ременных, называется уравнением линии L в координатном пространстве Охуz, если точка пространства лежит на линии L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют этой системе уравнений, т.е.

Определение. Система уравнений

x x(t)y y(t) ,

z z(t)

где x(t), y(t), z(t) некоторые функции действительного аргумента t,

называется параметрическим уравнением линии L в координатном пространстве Охуz, если выполняется условие:

x x(t)

t T, y y(t) M(x(t), y(t),z(t)) L ,z z(t)

где T – некоторый промежуток числовой оси Ot, действительная переменная t называется параметром.

п.1.2. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной пря-

мой называется ее направляющим вектором, и обозначается s (m, n, p) .

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22

Теорема. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве:

где xo , yo ,zo – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, m, n, p – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t R – параметр.

Определение. Система уравнений (1) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве:

где xo , yo ,zo – координаты произвольной фиксированной точки дан-

ной прямой, m, n, p – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой.

Определение. Система уравнений (2) называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Определение. Каноническое уравнение прямой вида

называется каноническим уравнением прямой, проходящей через две различные данные точки M1 (x1;y1;z1 ) и M2 (x2 ;y2 ;z2 ) .

п.1.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Возможны 4 случая расположения двух прямых в пространстве. Прямые могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.

Теорема. Пусть даны канонические уравнения двух прямых:

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 23, с.22

– две произвольные прямые в пространстве, заданные параметрическими уравнениями. Тогда:

1) если система уравнений

имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке;

2)если система уравнений (3) не имеет решений, то прямые скрещивающиеся или параллельные.

3)если система уравнений (3) имеет более одного решения, то прямые совпадают.

п.1.4. Расстояние между двумя прямыми в пространстве Теорема. (Формула расстояния между двумя параллельными прямы-