АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

фокуса, уравнение её директрисы, и изобразите на чертеже: а) y2 4x 8 ; б) x2 2 y ; в) y 4x2 8x 7 ; г) x 2y2 12y 14 .

6.Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фокуса F(7; 2) и уравнение её директрисы x 5 . Изобразите чертеж данной параболы.

7. Определите взаимное расположение параболы y2 5x и прямой

5x y 15 0 .

8. При каких значениях углового коэффициента прямая y kx 2 : а) пересекает параболу 4x y2 0 ; б) касается ее; в) проходит вне этой параболы.

Задачи повышенного уровня сложности 27

9. Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе 4x y2 . Составьте уравнение хорды, соединяющей точки касания.

10. Определите точки пересечения параболы y2 3x и гиперболы 5x2 20y2 100 . Выполните чертеж.

11.Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы. (Ответ: 40 см.)

12.Доказать, что две параболы, имеющие общую ось симметрии и общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются под прямым углом.

13.Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

Домашнее задание 27. Парабола

1.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси ординат и её ветви направлены вверх, зная, что: а) фокальный параметр p 5 ; б) парабола

проходит через точку с координатами М(1; 2).

2.Вычислите фокальный радиус точки М параболы y2 12x , если ордината точки М равна 6.

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

3.Для параболы y 16 x2 2x 7 найдите её фокальный параметр,

координаты её вершины и фокуса, уравнение её директрисы. Найдите ось симметрии данной параболы, и изобразите её на чертеже.

4.Составьте уравнение параболы, если известны координаты её фокуса F(4; 3) и уравнение её директрисы y 1. Изобразите чертеж

данной параболы.

Самостоятельная работа 27

Вариант 1.

1.Определение фокального радиуса точки параболы.

2.Для параболы y2 16x найдите фокальный параметр, координаты

вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж. Вариант 2.

1.Определение фокального параметра параболы.

2.Для параболы y2 8x найдите фокальный параметр, координаты

вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж. Вариант 3.

1.Определение канонической для параболы системы координат.

2.Для параболы x2 12y 6 найдите фокальный параметр, координа-

ты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж. Вариант 4.

1.Определение параболы.

2.Для параболы x2 10 5y найдите фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Постройте чертеж.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 27 Обозначения

1.Обозначение фокального радиуса точки параболы.

2.Обозначение фокального параметра гиперболы.

3.Обозначение расстояния от точки параболы до её директрисы.

Определения

1.Определение параболы.

2.Определение фокального радиуса точки параболы.

3.Определение фокальной оси параболы.

4.Определение фокального параметра параболы.

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

В квадратной матрице выделяют две диагонали, как диагонали квадрата: главную диагональ и побочную диагональ. Главную диагональ образуют элементы

a11 , a22 , ... , ann ,

т.е. элементы с одинаковыми нижними индексами. Побочную диагональ образуют элементы

a1n , a2,n 1 , ... , an1 .

Определение. Квадратная матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной:

ванной по отношению к матрице А размера m n , если к-й столбец матрицы At состоит из элементов к-й строки матрицы А, для всех k 1, 2, ... , m :

Определение. Процесс (процедура) получения транспонированной матрицы из данной называется транспонированием матрицы.

Определение. Две матрицы A (aij ) и B (bij ) называются равными,

если они имеют одинаковые размеры и для всех значений индексов выполняется равенство aij bij .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

мерности m n называется третья матрица C (cij ) такой же размерности m n , где ее элементы cij определяются равенством cij aij bij

для всех значений индексов, и обозначается

C A B .

Замечание. Сложение матриц различных размеров не определено. (Их нельзя складывать!)

Другими словами, для того, чтобы найти сумму двух матриц одинаковой размерности, нужно сложить соответствующие элементы (т.е. элементы, имеющие одинаковые нижние индексы) этих матриц:

A B

Определение. Матрица В называется противоположной матрице А,

если она удовлетворяет равенству

A B B A O ,

где О – нулевая матрица, и обозначается: A .

Множество всех матриц размера m n над полем обозначим через

Mm,n ( ) Mm,n .

Теорема. (Свойства сложения матриц.) Множество матриц Mm,n относительно сложения является абелевой группой.

Иначе говоря, сложение матриц подчиняется следующим законам:

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

1) ассоциативность: A,B,C Mm,n

(A B) C A (B C) ;

2) существование нулевой матрицы: O Mm,n – нулевая матрица, та-

кая, что A Mm,n верны равенства

O A A O A ; 3) существование противоположной матрицы:

A Mm,n , ( A) Mm,n :

( A) A A ( A) O ;

4) коммутативность: A,B Mm,n

A B B A .

п.1.3 Умножение матрицы на скаляр

Определение. Произведением скаляра на матрицу A (aij ) называется матрица B (bij ) тех же размеров, что и матрица А, где элементы bij определяются равенством

bij aij ,

для всех значений индексов, и обозначается

A .

Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр:

Замечание. Легко видеть, что умножив матрицу на (–1) мы получаем противоположную матрицу:

A ( 1) A .

Теорема. (Свойства умножения матрицы на скаляр.) Умножение матрицы на скаляр подчиняется законам:

5) ассоциативность: x, y , A Mm,n :

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

(xy)A x(yA) ;

6)если 1 – единица поля , тогда A Mm,n : 1 A A ;

7)дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения

скаляров: x, y , A Mm,n :

(x y)A xA yA ;

8) Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения матриц: x , A,B Mm,n :

x(A B) xA xB .

Следствие. Множество Mm,n относительно сложения матриц и умно-

жения матриц на скаляр является векторным пространством над полем .

Обозначим через n множество всех столбцов высоты n (строк длины n) с элементами из поля .

Следствие. Множество n является векторным пространством над полем .

Определение. Векторное пространство n называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n (строк длины n).

п.1.4 Умножение матриц

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Определение. Произведением матрицы A (aij ) размера m n на матрицу B (bij ) размера n p называют матрицу C (cij ) размера m p , где элемент cij является результатом произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В для всех значений индексов

n

ai k bk j , k 1

и обозначается

C A B .

Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы и так далее.

Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно тогда и только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк).

Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности.

Определение. Квадратная матрица Е n-го порядка называется единичной матрицей n-го порядка, если для любой квадратной матрицы А n–го порядка справедливо равенство:

AE EA A .

Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем будем обозначать через Mn ( ) Mn .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Теорема. (Об единичной матрице.) Матрица

является единственной единичной матрицей относительно умножения квадратных матриц n-го порядка.

Теорема. (Свойства умножения матриц.) Умножение матриц подчиняется следующим законам:

9) ассоциативность: A,B,C Mn :

(AB)C A(BC) ;

10) существование единичной матрицы: E Mn : A Mn

E A A E A ;

11)дистрибутивность умножения матриц относительно их сложения:

A,B,C Mn :

A(B C) AB AC, (A B)C AC BC ;

12)умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом: x , A,B Mn :

(xA)B A(xB) x(AB) .

Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.

Определение. Натуральной n-й степенью квадратной матрицы А называется матрица

An A A ... A .

n штук

Нулевую степень квадратной матрицы А n-го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка:

Ao E .

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

п.2 Список задач Список №1

1.Определить размеры данной матрицы.

2.Определить порядок данной квадратной матрицы.

3.Выписать заданные элементы данной матрицы.

4.Транспонировать матрицу.

5.Найти сумму двух матриц.

6.Найти матрицу, противоположную данной.

7.Найти разность двух матриц.

8.Найти произведение матрицы на число.

9.Решить линейное матричное уравнение.

10.Найти произведение строки на столбец.

11.Найти произведение двух матриц.

12.Найти данную степень данной квадратной матрицы.

13.Найти значение многочлена от матрицы.

Список №2

1. Задачи на доказательство.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Решение. Используемправилоумноженияматрицыначисло:

1

Пример 5. Найти произведение строки (1, 2, 3, 4) на столбец 6 .

25

1

Решение. (1, 2, 3, 4) 6 1 ( 1) 2 6 3 ( 2) 4 5 25 .

25

Ответ: 25.

Пример 6. Найти произведение матриц АВ:

Решение. Умножение матриц удобно производить, пользуясь схемой "креста". Изображаем "крест" – два перпендикулярных друг другу отрезка прямых, первую матрицу пишем в третью четверть, вторую – в первую.

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Пример 9. Найти значение многочлена p(x) x2 3x 2 от матрицы

п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 28

1. Решить матричное уравнение 2A 3B 0,5X O , где

2

2. Вычислить произведение строки A (1,1, 2) на столбец B 2 .

1

3. Вычислить произведение матриц АВ и ВА, если A (2, 3, 4) ,

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Задачи повышенного уровня сложности 28

8.Докажите, что множество матриц размера m n над полем относительно сложения является абелевой группой.

9.Докажите, что множество матриц размера m n над полем относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляры из поля

является векторным пространством над полем .

10.Докажите, что множество квадратных матриц n-го порядка над полем относительно сложения и умножения матриц является некоммутативным кольцом с единицей.

11.Выпишите все квадратные матрицы 2-го порядка над полем из

двух элементов: F2 {0;1}. Решите матричное уравнение X2 E O , где Е – единичная матрица, О – нулевая.

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Aa E b I .

13.Докажите, что в кольце квадратных матриц n-го порядка над полем существуют делители нуля.

п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 28 Обозначения

1.Обозначение матрицы и её размеров.

2.Обозначение столбца высоты n.

3.Обозначение строки длины n.

4.Обозначение транспонированной матрицы.

5.Обозначение множества всех матриц размера m n над полем .

6.Обозначение множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем .

7.Обозначение векторного пространства столбцов высоты n (строк длины n).

8.Обозначение нулевой матрицы.

9.Обозначение противоположной матрицы.

10.Обозначение единичной матрицы.

11.Обозначение степени матрицы.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 28, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Определения

1.Определение матрицы размера m n над полем .

2.Определение столбца высоты n.

3.Определение строки длины n.

4.Определение квадратной матрицы n-го порядка.

5.Определение нулевой матрицы.

6.Определение диагональной матрицы.

7.Определение транспонированной матрицы.

8.Определение равных матриц.

9.Определение суммы матриц.

10.Определение противоположной матрицы.

11.Определение произведения матрицы на скаляр.

12.Определение произведения строки на столбец.

13.Определение произведения матриц.

14.Определение единичной матрицы.

15.Определение натуральной степени матрицы.

Теоремы

1.Свойства сложения матриц.

2.Свойства умножения матрицы на скаляр.

3.Теорема об единичной матрице.