АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

нетривиальным:

ч.т.д.

Пример 3. Выясните, является ли данная система столбцов линейно зависимой или линейно независимой:

1 1 1

{1 , 2 , 1 } .1 0 2

Решение. 1-й способ. Воспользуемся определением линейно зависимой и линейно независимой системы векторов векторного пространства. С этой целью, рассмотрим произвольную линейную комбинацию данной системы столбцов и приравняем её к нулевому столбцу:

вольные скаляры (неизвестные действительные числа). Умножаем неизвестные скаляры на столбцы и складываем их:

Отсюда получаем однородную систему линейных уравнений с тремя неизвестными:

Вычислим определитель системы:

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Мы умножили 1-й столбец на (–2) и прибавили его к третьему, и разложили получившийся определитель по элементам 3-й строки. Так как определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение

x1 x2 x3 0 .

Вывод: данная система столбцов может представлять нулевой столбец только тривиально, а потому, по определению, является линейно независимой.

2-й способ. Вычисляем определитель 3-го порядка, столбцы которого образуют данную систему:

1 1 1

1 0 2

Воспользуемся свойством определителя: если определитель отличен от нуля, то его столбцы (строки) образуют линейно независимую систему.

Ответ: линейно независимая.

Пример 4. Убедитесь, что система столбцов

является линейно зависимой и найдите какое-нибудь нетривиальное представление нуля. Выразите один из столбцов системы через другие.

Решение. Составляем произвольную линейную комбинацию столбцов данной системы и приравниваем нулевому столбцу:

Отсюда, как и в предыдущем примере, получаем однородную систему линейных уравнений:

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Решаем систему методом Гаусса:

Сначала переставляем 1-ю и 3-ю строки, затем 1-ю строку умножаем на (–7) и прибавляем ко второй, и 1-ю строку умножаем на (–1) и прибавляем к 3-й. Получили матрицу, в которой вторая строка пропорциональна третьей. Удаляем вторую строку и получаем трапециевидную матрицу. По последней матрице составляем однородную систему линейных уравнений равносильную данной:

x1 x3 0 .x2 3x3 0

Очевидно, что данная система имеет нетривиальные решения, например:

x1 1, x2 3, x3 1.

Отсюда следует нетривиальная линейная комбинация данной системы столбцов равная нулевому столбцу:

Следовательно, данная система столбцов линейно зависимая. Из последнего равенства легко выразить любой столбец системы через другие.

Ответ: 1) система столбцов линейно зависимая;

данной системы столбцов равная нулевому столбцу;

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

линейной комбинации двух других.

Пример 5. Выясните, является ли данная система столбцов порождающей:

1 1 1

{1 , 2 , 1 }.1 0 1

Решение. Здесь мы разберем способ решения, основанный на определении порождающей системы векторов. Другой способ разберем на следующем практическом занятии.

Вычислим определитель, построенный на столбцах данной системы:

Так как определитель не равен нулю, то следующая система линейных уравнений имеет единственное решение при любом столбце свободных членов:

а это как раз и означает, что данная система столбцов является порождающей.

Ответ: да, данная система столбцов является порождающей системой арифметического пространства столбцов 3 .

п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 35

1.Запишите линейную комбинацию системы векторов { e1 ,e2 ,e3} если её коэффициентами служит набор скаляров: а) ( 1 , 2 , 3 ) ;

б) (–1, 4, –3); в) ( , 0, 1) .

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

2.Запишите тривиальную линейную комбинацию системы векторов

{e1 ,e2 ,e3} .

3.Запишите какую-нибудь нетривиальную линейную комбинацию

системы векторов { e1 ,e2 ,e3 ,e4 } с числовыми коэффициентами.

4. Найдите столбец, который равен данной линейной комбинации: x 2e1 e2 e3 , где

и выразите, если это возможно, один столбец через другой. В каком случае столбцы являются линейно независимыми?

6. Докажите, что система столбцов { f1 ,f2 ,f3}, где

является линейно независимой.

7.Если данная система столбцов является линейно зависимой, то найдите какое-нибудь её нетривиальное представление нулевого столбца, и выразите один из столбцов этой системы через два других:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

независимой и порождающей системой в векторном пространстве столбцов 3 .

нейно зависимой и порождающей системой в векторном пространстве столбцов 3 .

Задачи повышенного уровня сложности 35

11. Докажите, что если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.

висимая.

13. Обозначим R2 [x] – множество многочленов от буквы х с действительными коэффициентами, степень которых не превышает 2: R2 [x] {ax2 bx c | a,b,c R} . Докажите, что:

а) R2 [x] есть векторное пространство;

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

б) системы {1, x, x2 } и {1, x 1, (x 1)2 } являются линейно независимыми и порождающими;

в) системы {1, x 1, 2x, x2 } и {x 1, x2 , x2 x 1} являются линей-

но зависимыми. Являются ли эти системы порождающими?

14. Обозначим буквой S множество бесконечных сходящихся после-

довательностей вещественных чисел: S { (ak ), k | (lim ak ) }.

k

Определим на множестве S покомпонентное сложение последовательностей и покомпонентное умножение последовательности на число. Докажите, что S является вещественным векторным пространством.

15. Обозначим буквой А множество бесконечных последовательностей вещественных чисел, сходящихся к одному числу a :

ние на число как в предыдущей задаче. Докажите, что:

а) если a 0 , то множество А является векторным пространством; б) если a 0 , то множество А не является векторным пространством. Какая аксиома векторного пространства не выполняется?

16. Докажите, что а) поле комплексных чисел С образует векторное пространство

над полем вещественных чисел;

б) системы {1, i } и {1 i,1 i } являются линейно независимыми. 17. Обозначим C(0; 1) – множество числовых функций от одной пере-

менной, непрерывных на интервале (0; 1) и с обычными действиями сложения и умножения.

а) Докажите, что множество C(0; 1) полем не является. б) Какое подмножество множества C(0; 1) будет полем?

в) Является ли множество C(0; 1) вещественным векторным пространством?

Домашнее задание 35

1.Пусть в арифметическом вещественном векторном пространстве столбцов высоты 3 задана система столбцов:

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 35, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

независимой и порождающей. 2. Докажите, что система столбцов:

является линейно зависимой, и найдите ее нетривиальную линейную комбинацию равную нулю. Выразите какой-нибудь вектор системы через оставшиеся.

и найдите нетривиальное представление нулевого столбца данной системой.

Вариант 4

1. Определение порождающей системы векторов.

и порождающей.

14