АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

е или :

2a2c ac .

Определение. Ось, на которой лежат фокусы эллипса называется фокальной осью эллипса.

Определение. ПДСК, ось абсцисс которой является фокальной осью эллипса, а начало координат лежит посередине между фокусами, называется канонической для эллипса.

Определение. В канонической для эллипса системе координат, оси координат называются главными осями эллипса, а начало координат называется центром эллипса. Ось абсцисс называется большой осью эллипса, а ось ординат называется малой осью эллипса.

Определение. Точки эллипса, лежащие на его главных осях называются вершинами эллипса.

Теорема. (Каноническое уравнение эллипса.) Эллипс является кривой 2-го порядка, и в канонической для эллипса системе координат его уравнение имеет вид:

Определение. Уравнение x2 y2 1 называется каноническим урав- a2 b2

нением эллипса.

Следствие. (Свойства эллипса.)

1)Главные оси эллипса являются его осями симметрии, а центр эллипса является его центром симметрии.

2)Точки A1 ( a,0), B1 (0,b), A2 (a,0), B2 (0, b) являются вершинами эл-

липса.

3) Все точки эллипса находятся внутри прямоугольника | x | a, | y | b .

Теорема. (Фокальные радиусы точки эллипса.) Пусть в канонической

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

для эллипса системе координат точка М(х,у) лежит на эллипсе. Тогда ее фокальные радиусы равны:

r1 a x, r2 a x ,

где а – большая полуось эллипса, – его эксцентриситет.

Определение. В канонической для эллипса системе координат пря-

мые x a называются директрисами эллипса.

Теорема. (Свойство директрис эллипса.) Пусть М -- произвольная точка эллипса, r1 и r2 – ее фокальные радиусы. Обозначим через d1 и

d2 , соответственно, расстояния от точки М до левой и правой дирек-

трисы эллипса. Тогда

r1 r2 . d1 d2

Определение. Фокальным параметром эллипса называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с эллипсом, и обозначается буквой р.

Теорема. Фокальный параметр эллипса равен p b2 . a

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

касательной к эллипсу в точке (x0 , y0 ) имеет вид: xa02x yb02y 1.

Теорема. (Зеркальное свойство эллипса.) Луч света, выпущенный из одного фокуса эллипса после отражения от зеркала эллипса проходит через второй его фокус.

Математическая формулировка зеркального свойства эллипса имеет следующий вид.

Теорема. (Зеркальное свойство эллипса.) Касательная к эллипсу имеет равные углы с фокальными радиусами точки касания.

Теорема. (Параметрическое уравнение эллипса.) В канонической для эллипса системе координат его параметрическое уравнение имеет вид:

x a cos ty b sin t ,

где параметр t [0; 2 ) .

п.2. Список задач Список №1.

1.Написать уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

2.Определить, лежит ли данная точка на данной окружности, вне ее или внутри ее.

3.Найти центр и радиус окружности, уравнение которой задано в виде

Ax2 Ay2 Bx Cy D 0 . Изобразить данную окружность на чертеже в ПДСК.

4.Определить, лежит ли данная точка на данном эллипсе, вне его или внутри его.

5.Зная каноническое уравнение эллипса, найти все его параметры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр.

6.Изобразить эллипс в ПДСК на плоскости, зная его каноническое или параметрическое уравнение.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

7.Зная каноническое уравнение эллипса найти фокальные радиусы данной точки эллипса.

8.Зная каноническое уравнение эллипса найти уравнение касательной к эллипсу в его заданной точке.

9.Найти каноническое уравнение эллипса, если известны некоторые из его параметров (большая или малая полуось, фокусное расстояние, эксцентриситет, расстояние между директрисами, фокальный параметр), или в канонической для эллипса системе координат из-

вестны координаты одной или двух из его точек.

10. Найти центр и главные оси эллипса, заданного уравнением

Ax2 By2 Cx Dy E 0 .

Список №2.

1.Найти уравнение касательной к данной окружности, проведенной через данную точку плоскости.

2.Нахождение центра и радиуса окружности, если ее положение на координатной плоскости задается другими данными.

3.Построение эллипса и вычисление всех его остальных параметров, если его большой осью является ось ординат, а малой – ось абсцисс.

4.Найти уравнение эллипса после выполнения параллельного переноса канонической системы координат на заданный вектор.

5.Найти уравнение касательной к эллипсу, проведенной через данную точку плоскости.

6.Определить взаимное расположение эллипса и прямой.

7.Различные задачи, раскрывающие дополнительные свойства эллипса, задачи повышенного уровня сложности.

п.3. Примеры Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса 3 с центром в

точке С(2; –1), и найти координаты точек пересечения окружности с осями координат.

Решение. Уравнение данной окружности имеет вид: (x 2)2 (y 1)2 9 .

Полагая в уравнении окружности х 0 , находим координаты точек пересечения окружности с осью ординат:

(0 2)2 (y 1)2 9 (y 1)2 5 y 1 5 .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Пример 2. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением

Решение. Эллипс является замкнутой кривой, которая разделяет все точки плоскости на точки, лежащие на эллипсе, точки, лежащие внутри эллипса, и точки, лежащие вне эллипса. Если точка лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Если точка (х, у) лежит внутри эллипса, тогда

Если же точка с координатами (х, у) лежит вне эллипса, то

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Подставляя координаты данных точек в уравнение эллипса, находим, что точками эллипса являются все данные точки, кроме точек А и D. Так как

то точка D лежит внутри эллипса.

Ответ: точки В, С и Е лежат на эллипсе, точка А лежит вне эллипса, точка D лежит внутри эллипса.

Пример 4. Для эллипса, заданного каноническим уравнением

полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный параметр. Построить чертеж, отметить на нем найденные параметры.

Решение. Находим большую и малую полуоси эллипса: a2 9, b2 4 a 3, b 2 .

Находим координаты вершин эллипса и отмечаем их на чертеже: A1 ( 3;0), A2 (3;0), B1 (0;2), B2 ( 2;0) .

Рисуем прямоугольник (штриховой линией) со сторонами x 3, y 2 ,

и вписываем в него эллипс. После построения эллипса штриховые стороны прямоугольника можно с чертежа удалить. Смотрите рисунок 3.

Найдем координаты фокусов эллипса и фокусное расстояние:

2c 2 5 .

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Пример 5. Найти каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6 и расстояние между директрисами равно 16.

Решение. Так как ac 53 , 2d 2ac2 16 , где 2d обозначает расстоя-

ние между директрисами, то отсюда получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и с:

Пример 6. Дано уравнение эллипса x2 y2 1 . Найдите фокальные

16 9

радиусы точек эллипса, лежащие на прямой y x .

Решение. Находим координаты точек пересечения данного эллипса с данной прямой:

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Пример 7. Найти каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между его директрисами равно 10 и в канонической для

данного эллипса системе координат точка M( 5; 2) лежит на эллип-

се.

Решение. Из условий задачи следует, что

2d 2ac2 10 a2 5c и a52 b42 1.

Так как а, b и с связаны соотношением b2 a2 c2 , то получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Исключим из этой системы a2 и b2 . Получаем

Решая последнее уравнение, получаем c 3 . Далее, находим a2 15, b2 a2 c2 15 9 6 .

Ответ: x2 y2 1 . 15 6

Пример 8. Найти уравнение касательной, проведенной к эллипсу

x2 y2 1 в точке M( 5; 2) . 15 6

Решение. Так как данная точка лежит на эллипсе (смотрите предыдущий пример), то воспользуемся уравнением касательной к эллипсу, проведенной в данной точке эллипса:

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

x02x y02y 1. a b

Подставляя в это уравнение данные задачи, получаем

Пример 9. Найти уравнение главных осей и координаты центра эллипса, если его уравнение имеет вид 9x2 25y2 18x 100y 116 0 . Решение. Группируем переменные и выделяем полные квадраты:

Следовательно, фокальная (большая) ось эллипса имеет уравнение y 2 , малая ось эллипса имеет уравнение x 1, С(1; –2) – центр эл-

липса.

Ответ: x 1, y 2, C(1; 2) .

Пример 10. Из левого фокуса эллипса x2 y2 1 под тупым углом

45 20

к оси абсцисс выпущен луч света. Найдите уравнение прямой, на которой лежит отраженный от зеркала эллипса луч, если известно, что tg 2 .

Решение. Найдем уравнение прямой, на которой лежит выпущенный из левого фокуса F1 ( c;0) луч. Воспользуемся уравнением прямой с

угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку

(x0 , y0 ) :

y y0 k(x x0 ) или y 2(x c) .

Находим с:

c2 a2 b2 45 20 25 c 5 ,

уравнение выпущенного луча y 2(x 5) . Находим точку отражения:

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Решая систему, приходим к квадратному уравнению: x2 9x 18 0 .

Решая уравнение, находим его корни x1 6, x2 3 . Из условия за-

дачи следует, что второй корень уравнения является посторонним, так как абсцисса точки отражения луча находится левее первого фокуса F1 ( 5;0) . Таким образом, абсцисса точки отражения x 6 . Находим

ординату точки отражения

y 2(x 5) 2( 6 5) 2 .

Получаем, что точка С(–6; 2) есть точка отражения луча. Согласно зеркальному свойству эллипса, выпущенный из левого фокуса луч света отразившись от зеркала эллипса проходит через фокус F2 (5;0) .

Таким образом, прямая, на которой лежит отраженный луч проходит через фокус F2 (5;0) и точку С(–6; 2). Используем уравнение прямой,

проходящей через две точки:

Ответ: 2x 11y 10 0 .

Пример 11. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, если из-

вестно его фокусное расстояние 2c 24 и эксцентриситет 1213 .

Решение. Для данного расположения эллипса сохраняем все старые обозначения всех его параметров. Тогда искомое уравнение будет иметь вид

x2 y2 1 , b2 a2

где а – большая полуось эллипса, b – его малая полуось, 13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

y a .

Имеем,

c 12, ac 1213 a 13, b2 a2 c2 169 144 25 .

Ответ: x2 y2 1. 25 169

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 25

1.Напишите уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке С(–3; 2).

2.Дано уравнение окружности x2 y2 7x 0 . Найдите координаты

его центра и радиус.

3. Определите, какие из следующих точек лежат на эллипсе 8x2 5y2 77 , какие внутри и какие вне его: А(–2; 3), В(2; –2), С(2; –4); D(–1; 3), E(–4; –3) , F(3; –1), G(3; –2).

4. Для эллипса 9x2 25y2 225 найдите все его параметры: большую

и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.

5.Дано уравнение эллипса 12x2 36y2 432 . Убедитесь, что точка

М(3; –3) лежит на эллипсе и найдите её фокальные радиусы. Найдите уравнение касательной к данному эллипсу, проходящей через точку М. Постройте чертеж.

6.Дано уравнение 16x2 25y2 32x 100y 284 0 . Убедитесь, что

оно определяет эллипс, и найдите координаты его центра и уравнения главных осей.

7.Найдите каноническое уравнение эллипса, если: а) его полуоси равны 5 и 2; б) его большая ось 2a 10 , а расстояние между фокусами

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

Задачи повышенного уровня сложности 25

8.Дано уравнение x2 y2 4x 8y 2 0 . Убедитесь, что оно опре-

деляет окружность, и найдите уравнения касательных к ней, проходящих через начало координат.

9.Найдите уравнение окружности, касающейся осей координат, и проходящей через точку А(8; 9).

10.Постройте чертеж эллипса 16x2 y2 16 , и найдите все его пара-

метры: большую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр.

11. Найдите уравнение эллипса, фокальной осью которого является ось ординат, и центр лежит в начале координат, если известно, что: а) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8; б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет 0,6 ; в) фокусное

расстояние равно 6, а расстояние между директрисами равно 16 23 ;

г) расстояние между директрисами равно 10 23 и эксцентриситет

0,75 .

x2 4y2 20 . Найдите уравнения этих касательных.

14.Докажите, что произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокальную ось, есть величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.

15.Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.

16.Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам

15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

прямого угла. Определить кривую, описываемую любой точкой М, лежащей на этом отрезке.

Домашнее задание 25. Эллипс

1. Для эллипса 36x2 100y2 3600 найдите все его параметры: боль-

шую и малую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.

2. Дано уравнение 5x2 9y2 30x 18y 9 0 . Убедитесь, что оно определяет эллипс, и найдите координаты его центра и уравнения

эллипса и его эксцентриситет 2 / 3 ;

4.Определите, при каких значениях m прямая y x m пересекает эллипс, касается его, проходит вне эллипса.

Самостоятельная работа 25

Вариант 1.

1.Определение окружности.

2.Для эллипса x2 4y2 16 найдите: а) большую и малую оси; б) фо-

кусное расстояние. Вариант 2.

1.Определение радиуса окружности.

2.Для эллипса 4x2 9y2 36 найдите: а) большую и малую оси; б)

эксцентриситет. Вариант 3.

1.Определение эллипса.

2.Для эллипса x2 9y2 36 найдите эксцентриситет и расстояние

между директрисами. Вариант 4.

1. Определение кривой 2-го порядка.

16

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

2.Для эллипса 4x2 25y2 100 найдите уравнения его директрис и фокальный параметр.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 25 Обозначения

1.Обозначение фокальных радиусов точки эллипса.

2.Обозначение большой оси эллипса.

3.Обозначение большой полуоси эллипса.

4.Обозначение фокусного расстояния эллипса.

5.Обозначение малой оси эллипса.

6.Обозначение малой полуоси эллипса.

7.Обозначение эксцентриситета.

8.Обозначение расстояния между директрисами эллипса.

9.Обозначение фокального параметра эллипса.

10.Обозначение расстояния от точки эллипса до его директрис.

Определения

1.Определение кривой 2-го порядка.

2.Определение окружности.

3.Определение радиуса окружности.

4.Определение канонической для окружности системы координат.

5.Определение эллипса.

6.Определение фокальных радиусов эллипса.

7.Определение фокусного расстояния эллипса.

8.Определение большой оси и полуоси эллипса.

9.Определение малой оси и полуоси эллипса.

10.Определение эксцентриситета эллипса.

11.Определение фокальной оси эллипса.

12.Определение канонической для эллипса системы координат.

13.Определение главных осей и центра эллипса.

14.Определение вершин эллипса.

15.Определение канонического уравнения эллипса.

16.Определение директрис эллипса.

17.Определение фокального параметра эллипса.

Теоремы

1.Теорема об уравнении окружности.

2.Каноническое уравнение эллипса.

17

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 25, с.18

3.Свойства эллипса.

4.Фокальные радиусы точки эллипса.

5.Свойство директрис эллипса.

6.Фокальный параметр эллипса.

7.Уравнение касательной к эллипсу.

8.Зеркальное свойство эллипса. Физическая формулировка.

9.Зеркальное свойство эллипса. Математическая формулировка.

10.Параметрическое уравнение эллипса.

Тест 25

1.Напишите каноническое уравнение окружности, радиус которой равен 2.

2.Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром в точке С(0; 2).

3.Найдите центр и радиус окружности x2 y2 2x .

4.Напишите каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 4, а малая ось равна 2.

5. Определите взаимное расположение точки М(4, –2) и эллипса x2 5y2 25 .

6.Объясните, почему через внутреннюю точку эллипса нельзя провести к нему касательную.

7.Найдите фокусное расстояние эллипса x2 2y2 1.

8.Найдите эксцентриситет эллипса x2 2y2 2 .

9.Найдите директрисы эллипса x2 2y2 4 .

10.Найдите фокальный параметр эллипса x2 3y2 9 .

11.Напишите уравнение касательной проходящей через точку М(1; 1) к эллипсу x2 2y2 3 .

12.Найдите каноническое уравнение эллипса, если известны расстояние между директрисами и эксцентриситет: 2d 32, 1/ 2 .

13.Найдите каноническое уравнение эллипса, если известны малая ось и эксцентриситет: 2b 10, 12 /13 .

18

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

Практическое занятие 26 Гипербола

Краткое содержание: определение гиперболы, каноническая для гиперболы система координат и каноническое уравнение гиперболы, асимптоты гиперболы, касательная к гиперболе, зеркальное свойство гиперболы, директрисы и фокальный параметр гиперболы.

п.1. Теория Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек

плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы гиперболы принято обозначать буквами F1 и F2 . Расстояния

от точки М, лежащей на гиперболе, до фокусов обозначаются r1 (M) MF1 и r2 (M) MF2 , и называются её фокальными радиусами.

Замечание. Из определения гиперболы следует, что точка М является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда модуль разности её фокальных радиусов | r1 (M) r2 (M) | есть величина постоянная для дан-

ной гиперболы. Эту константу принято обозначать через 2а: 2a | r1 (M) r2 (M) | .

Определение. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием.

Фокусное расстояние для данной гиперболы есть величина постоянная и ее принято обозначать через 2с:

2c F1F2 .

Так как сторона треугольника больше модуля разности двух его дру-

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

гих сторон, то отсюда и из определения гиперболы следует, что

2c 2a .

Определение. Число 2а называется действительной осью гиперболы,

число 2b, где b c2 a2 , называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосью гиперболы.

Определение. Отношение фокусного расстояния гиперболы к её действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы, и обозначается буквой е или :

2a2c ac .

Определение. Ось, на которой лежат фокусы гиперболы называется фокальной осью гиперболы.

Определение. ПДСК, ось абсцисс которой является фокальной осью гиперболы, а начало координат лежит посередине между фокусами, называется канонической для гиперболы.

Определение. В канонической для гиперболы системе координат, оси координат называются главными осями гиперболы, а начало координат называется центром гиперболы. Ось абсцисс называется действительной осью гиперболы, а ось ординат называется мнимой осью гиперболы.

Теорема. (Каноническое уравнение гиперболы.) Гипербола является кривой 2-го порядка, и в канонической для гиперболы системе координат её уравнение имеет вид:

нением гиперболы.

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

Определение. Точки гиперболы, лежащие на её действительной оси называются действительными вершинами гиперболы. Две точки плоскости (0, b) (в канонической для гиперболы системе координат),

лежащие на мнимой оси гиперболы называются мнимыми вершинами гиперболы.

Определение. Две пары прямых, параллельных главным осям гиперболы

x a, y b ,

высекают прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.

Следствие. (Свойства гиперболы.)

1)Главные оси гиперболы являются её осями симметрии, а центр гиперболы является его центром симметрии.

2)В канонической для гиперболы системе координат точки

A1 ( a,0), A2 (a,0) являются действительными вершинами гиперболы, и в полосе | x | a нет точек гиперболы.

3)Гипербола состоит из двух кривых, называемых её ветвями, которые в канонической системе координат описываются уравнениями

Теорема. Прямые y ba x являются асимптотами гиперболы.

Теорема. (Фокальные радиусы точек гиперболы.) Пусть в канонической для гиперболы системе координат точка М(х,у) лежит на гиперболе. Тогда ее фокальные радиусы равны:

r1 | a x |, r2 | a x |,

где а – действительная полуось гиперболы, – её эксцентриситет.

Определение. В канонической для гиперболы системе координат прямые x a называются директрисами гиперболы.

3