АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Пусть AX B – квадратная система линейных уравнений и det A 0 . Обозначим

– определитель, который получается из определителя заменой k-го столбца на столбец свободных членов.

В этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема. Неизвестные x1 , x2 ,..., xn системы линеных уравнений с

квадратной невырожденной матрицей коэффициентов системы могут быть найдены по формулам:

xk k , k 1, 2,...,n ,

которые называются формулами Крамера.

п.1.4 Геометрический смысл систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Любое линейное уравнение с двумя неизвестными является уравнением прямой линии на соответствующей координатной плоскости. Поэтому решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными позволяет ответить на вопрос о взаимном расположении соответствующих прямых на плоскости.

Любое линейное уравнение с тремя неизвестными является уравнением плоскости в координатном пространстве. Поэтому решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными решает вопрос о взаимном расположении соответствующих плоскостей.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

п.2 Список задач Список №1

1.Для данной системы линейных уравнений выписать её матрицу, столбец свободных членов, столбец неизвестных и записать систему в векторной и матричной форме.

2.По данной матрице записать в скалярной форме и векторной форме однородную систему линейных уравнений.

3.По данной расширенной матрице системы линейных уравнений написать саму систему в скалярной и векторной форме.

4.Для данной однородной системы линеных уравнений выяснить, является она определенной или неопределенной.

5.Убедиться, что данная неоднородная система линейных уравнений является определенной и решить её матричным методом или по формулам Крамера.

6.Представить данный столбец высоты n в виде линейной комбинации n других данных столбцов ( n 2 или n 3).

Список №2

1.Выяснить при каком значении параметра данная система линейных уравнений является определенной, где в качестве параметра выступает один или несколько коэффициентов системы.

2.Выяснить геометрический смысл системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и с действительными коэффициентами, т.е. над полем .

3.Решить по формулам Крамера квадратную систему из трех линейных уравнений над полем комплексных чисел.

4.Решить систему линейных уравнений, заданную над конечным по-

лем 2 по формулам Крамера или матричным методом.

п.3 Примеры Пример 1. Дляданнойсистемылинейныхуравненийвыписатьеёматри-

цу, столбецсвободныхчленов, столбецнеизвестныхизаписатьсистемув векторнойиматричнойформе:

2x1 x2 x3 43x1 4x2 2x3 11.3x1 2x2 4x3 11

Решение. Матрица системы:

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Столбец свободных членов и столбец неизвестных:

x1 A1 x2 A2 x3 A3 B

– векторная форма записи системы.

Пример 2. По данной матрице записать в скалярной форме и векторной форме однородную систему линейных уравнений:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

– векторная форма записи однородной системы.

Пример 3. Решить систему линеных уравнений матричным методом:

Решение. Сначала мы должны убедиться, что система имеет единственное решение, т.е. является определенной. Выписываем определитель системы и вычисляем его:

Здесь мы к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки умноженные на 3, затем вынесли из третьей строки за знак определителя общий множитель 3 и разложили получившийся определитель по элементам первого столбца.

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то данная система линейных уравнений является определенной и её можно решать матричным методом и по формулам Крамера.

В матричной форме система имеет вид AX B , где

Отсюда находим, что решение системы равно X A 1B . Вычисляем матрицу обратную матрице системы:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Пример 4. Решить систему линеных уравнений по формулам Крамера:

2x1 x2 x3 43x1 4x2 2x3 11.3x1 2x2 4x3 11

Решение. Вычисляем определитель системы:

Здесь мы к первому столбцу прибавили третий умноженный на 2, а затем ко второму столбцу прибавили третий умноженный на –1, после чего разложили получившийся определитель по элементам первой строки.

Вычисляем определители

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 32

1.Дана система линейных уравнений:

x1 x2 2x3 3x4 1.

3x1 x2 x3 2x4 4

Выписать матрицу системы, столбец свободных членов, расширенную матрицу системы, столбец неизвестных, и записать систему в векторной и матричной форме.

2. Дана матрица:

Запишите в скалярной, векторной и матричной форме однородную систему линейных уравнений с данной матрицей коэффициентов.

5.Представьте столбец D в виде линейной комбинации столбцов А, В

иС, если

6.Решить систему линейных уравнений матричным методом или по формулам Крамера:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Задачи повышенного уровня сложности 32

1.При каком значении параметра следующая система линейных уравнений будет: а) определенной; б) неопределенной:

x1 x2 x3 12

3x1 4x2 2x3 11 .3x1 4x2 7x3 10

2.Каков геометрический смысл определенной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными?

3.Решите систему линейных уравнений над полем комплексных чисел:

4. Решите систему линейных уравнений над конечным полем

Домашнее задание 32

1.Решите одну систему матричным методом, а другую по формулам Крамера:

2. Решить матричное уравнение АХВ = С, где

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 32 Обозначения

1.Обозначение одного линейного уравнения с n неизвестными над произвольным полем.

2.Обозначение произвольной системы линейных уравнений над произвольным полем.

3.Обозначение матрицы системы линейных уравнений.

4.Обозначение столбца неизвестных системы линейных уравнений.

5.Обозначение столбца свободных членов системы линейных уравнений.

6.Обозначение расширенной матрицы системы линейных уравнений.

7.Обозначение системы линейных уравнений в матричной форме.

8.Обозначение системы линейных уравнений в векторной форме.

Определения

1.Определение линейного уравнения с n неизвестными.

2.Определение однородного линейного уравнения с n неизвестными.

3.Определение матрицы системы линейных уравнений.

4.Определение столбца свободных членов системы линейных уравнений.

5.Определение расширенной матрицы системы линейных уравнений.

6.Определение решения системы линейных уравнений.

7.Определение однородной системы линейных уравнений.

8.Определениенеоднороднойсистемылинейныхуравнений.

9.Определение совместной системы линейных уравнений.

10.Определениенесовместнойсистемылинейныхуравнений.

11.Определениеопределеннойсистемылинейныхуравнений.

12.Определение неопределенной системы линейных уравнений.

Теоремы

1.Формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений.

Самостоятельная работа 32 Вариант 1

1. Определение однородной системы линейных уравнений.

ричной форме. б) Решите данную систему по формулам Крамера.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

Практическое занятие 33 Метод Гаусса

Теорминимум: элементарные преобразования строк матрицы, эквивалентные матрицы, ступенчатый вид матрицы, метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк, равносильные системы, решение определенных систем с треугольной матрицей коэффициентов.

п.1 Теория п.1.1 Элементарныепреобразования.

Определение. Следующие преобразования строк матрицы называют элементарными.

1)Любая перестановка строк матрицы.

2)Умножение любой строки на число, отличное от нуля.

3)Прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов любой другой строки.

4)Вычеркивание нулевой строки.

Определение. Матрица В называется эквивалентной матрице А если она получена из матрицы А с помощью элементарных преобразований строк, и обозначается А ~ В.

Теорема. Определенное на множестве матриц бинарное отношение эквивалентности ~ действительно является отношением эквивалентности, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно:

1)рефлексивность: для любой матрицы А, верно А ~ А.

2)симметричность: если верно, что А ~ В, то верно и

В~ А.

3)транзитивность: если А ~ В и В ~ С, то А ~ С.

п.1.2 Ступенчатыематрицы.

Следующие определения являются авторскими.

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если элементы матрицы стоящие на главной диагонали отличны от нуля, а стоящие ниже главной диагонали равны нулю.

Определение. Булем говорить, что ненулевая строка вида

k штук

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

содержит ступеньку длины k, 0 k n . Если k 0 , то есть a1 0 , то будем говорить, что строка не имеет ступеньки.

Определение. Матрица называется ступенчатой, если:

1)первая (и может быть единственная) строка матрицы является ненулевой;

2)каждая ее строка, начиная со второй, имеет бóльшую ступеньку, чем предыдущая, или является нулевой;

3)ниже нулевой строки нет ненулевых строк.

Определение. Ступенчатая матрица с размерами m n , где n m 1, называется трапециевидной, если она не содержит нулевых строк и каждая ее строка, содержит ступеньку точно на 1 больше предыдущей.

Замечание. Если А ~ В и В – ступенчатая матрица, то говорят, что матрица А приведена к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (столбцов). Заметим также, что треугольные и трапециевидные матрицы являются частными случаями ступенчатой матрицы.

Теорема. Любая ненулевая матрица может быть приведена к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (или столбцов).

Теорема. Пусть А – невырожденная квадратная матрица и A ~ B . Тогда матрица В также является невырожденной.

Следствие. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов можно привести к единичной.

п.1.3 Приведениематрицыкступенчатомувиду

Метод приведения матрицы к ступенчатому виду носит название метода Гаусса. Историки математики утверждают, что этод метод был известен в древнем Китае еще до рождества Христова, но в Европе он был неизвестен и впервые описан Гауссом в 1849 г.

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

Описание метода Гаусса

1–й шаг. Выбираем (слева направо) первый ненулевой столбец и если первый (сверху) элемент в нем нулевой, то с помощью перестановки строк добиваемся, чтобы первый элемент в этом столбце был ненулевой.

2–й шаг. С помощью ЭП (элементарных преобразований строк) добиваемся того, чтобы все элементы в выбранном столбце ниже самого первого элемента были равны нулю. Это достигается умножением первой строки на подходящее число и прибавлением полученного результата ко 2–й строке, затем первая строка снова умножается на соответствующее число и прибавляется к третьей строке, и т.д. В дальнейшем первая строка более в работе не участвует!

3–й шаг. Выбираем следующий ненулевой столбец и переходим к 1-му шагу, т.е. перестановкой строк (кроме первой строки, которую больше не трогаем) добиваемся, чтобы во второй строке выбранного столбца был ненулевой элемент.

4–й шаг. Повторяет 2-й шаг. С помощью ЭП добиваемся того, чтобы все элементы в выбранном столбце ниже второго сверху элемента были равны нулю.

Процесс продолжается, пока не будут исчерпаны все ненулевые столбцы.

п.1.4 Треугольные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений получают такое же название, как и их матрица коэффициентов: квадратные, диагональные, треугольные, трапециевидные, ступенчатые. Говорят также о приведении системы линейных уравнений к соответствующему виду, понимая под этим приведение к этому виду её матрицы.

Определение. Две системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.

Теорема. Две системы линейных уравнений являются равносильными, если их расширенные матрицы эквивалентны.

На последней теореме и основан метод Гаусса решения систем линейных уравнений, который позволяет нам вместо решения исходной системы решать равносильную ей систему со ступенчатой матрицей коэффициентов, чтозначительнооблегчаетпроцесснахождениявсехрешений.

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

Пусть дана треугольная система линейных уравнений:

где все элементы, стоящие на главной диагонали отличны от нуля. Тогда матрица коэффициентов является невырожденной, то есть det A a11 a12 ... a1n 0 . Как мы уже знаем, квадратная система с не-

вырожденной матрицей имеет единственное решение. Находим это решение:

2)решаем второе снизу уравнение, из которого находим неизвестное xn 1 и подставляем его во все оставшиеся уравнения;

3)решаем третье снизу уравнение и так далее, движемся снизу вверх последовательно находя все неизвестные.

п.1.5 Алгоритмрешенияопределенныхсистем

1)выписываем расширенную матрицу системы линейных уравнений;

2)с помощью элементарных преобразований строк приводим расширенную матрицу системы к трапециевидному виду, в которой матрица системы будет треугольной;

3)по полученной трапециевидной матрице записываем систему линейных уравнений, равносильную исходной;

4)решаем последнюю систему, начиная с последнего уравнения, двигаясь снизу вверх;

5)записывамполученныезначениянеизвестныхввидестолбцарешений.

Замечание. Может получиться так, что последнее уравнение в треугольной системе имеет вид 0 xn bn , где bn 0 . Это равенство не

может быть верным ни при каком значении переменной xn . Это озна-

чает, что данная система линейных уравнений решений не имеет, то есть является несовместной.

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

п.2 Списокзадач Список №1

1.Определить вид матрицы.

2.Привести матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса.

3.Методом Гаусса привести данную систему линейных уравнений к ступенчатому виду, и выяснить является ли данная система совместной и определенной или нет.

4.Решить определенную систему линейных уравнений методом Гаусса.

п.3 Примеры.

Пример 1. Определить в следующих строках длину ступеньки:

а) (1,2,3) ; б) (0, 1,1) ; в) (0,0,0,2,0,0,0,0) . Ответ: а) 0; б) 1; в) 3.

Пример 2. Какаяизследующихматрицявляетсяступенчатой:

Ответ: в).

Пример 4. С помощью элементарных преобразований строк привести

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

к ступенчатому виду матрицу

Решение. 1) Умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко второй строке, затем умножаем первую строку на (–3) и прибавляем к третьей строке, затем умножаем первую строку на (–4) и прибавляем к четвертой строке:

2) Умножаем вторую строку на (-1) и прибавляем ее ко второй и третьей строкам:

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

Пример 5. С помощью элементарных преобразований строк привести к диагональному виду матрицу

Решение. Ко 2-й строке прибавим первую строку, умноженную на (– 3), а к третьей прибавим первую, умноженную на (–2)

умножим 3-ю строку на (–1) и прибавим ко 2-й строке

умножим 2-ю строку на 5 и прибавим к 3-й строке

ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2, а к первой строке прибавим третью, умноженную на 3

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 33, УдГУ, Ижевск – 2011, с.14

вторую строку умножим на (–2) и прибавим к первой

2x1 x2 x3 4

Пример 6. Решить систему 3x1 4x2 2x3 11.

3x1 2x2 4x3 11

Решение. 1) Выписываем расширенную матрицу системы: