АГ ПЗ 1-35 (полный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

Искомая прямая проходит через точки А и В, поэтому используем уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

2-й способ. Запишем искомую прямую в виде:

( )x y 0, 2 x ( 3 )y 0 .

Исходим из того, что две данные прямые совпадают. Следовательно, их коэффициенты пропорциональны:

Полагая 1, 2 , находим из последнего равенства5 5 2 или 5 7 . Полагаем 5, 7 . Найденные зна-

чения подставляем в уравнение:

( 5 7)x 5y ( 5) 7 0 или 2x 5y 2 0 . Ответ: 2x 5y 2 0 .

Замечание. Вычисления будут еще проще, если уравнения данных пучков записать в виде:

xy 1 (x 1) 0, 2x 3y (y 1) 0 .

Вэтом случае уравнения пучков не описывают только прямые x 1 и y 1. Легко проверить, что обе эти прямые не являются искомыми.

Впрочем, эта проверка понадобится лишь в том случае, если поиск нужных значений параметров и не увенчается успехом.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

Пример 8. Найти прямую, принадлежащую пучку

(21x 8y 18) (11x 3y 12) 0 и отсекающую от координатного

угла треугольник площадью 9 кв. ед.

Решение. Легко проверить, что уравнение 11x 3y 12 0 не являет-

ся искомым, поэтому пучок можно записать с одним параметром:

21x 8y 18 t(11x 3y 12) 0 .

Запишем искомую прямую в виде уравнения прямой в отрезках:

(21 11t)x (8 3t)y 18 12t ,

решая которые, находим значения параметра t. Квадратное уравнение

8t2 24t 18 (33t2 151t 168) , 41t2 127t 177 0

имеет отрицательный дискриминант и действительных корней не имеет. Решаем второе уравнение. После очевидных преобразований получаем

t2 7t 6 0 , t1 6, t2 1.

Подставляя найденные значения t в уравнение пучка, получаем два уравнения прямых, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 2x y 6 0, 9x 2y 18 0 .

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 20

1. Найти центр пучка (2x 3y 1) (x 2y 4) 0 .

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

6.Даны уравнения сторон треугольника

x2y 1 0, 5x 4y 17 0, x 4y 11 0 .

Найти уравнения высот треугольника, не определяя координат его вершин.

8.Найти уравнение сторон треугольника, если известны координаты одной из его вершин (2; –1), и уравнения высоты 7x 10y 1 0 и биссектрисы 3x 2y 5 0 , проведенных из одной вершины. (Решить, не вычисляя координат других вершин треугольника.)

9.Луч света, пройдя через точки А(4; 6) и В(5; 8), упал на прямую

x2y 2 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по

которой направлен отраженный луч.

10. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –1) так,

11. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника АВС, если задана его вершина А(1; 3) и уравнения медиан x 2y 1 0 и y 1 0 .

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

Домашнее задание 20. Пучок прямых на плоскости

Найти все значения а, при которых прямая ax 5y 9 0 не при-

(считая от начала координат) отрезки равной длины.

Самостоятельная работа 20

Вариант 1.

1.Определение пучка прямых на плоскости.

2.Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух

прямых из этого пучка:

3x 2y 6 0, 7x y 31 0 , и найдите его центр.

Вариант 2.

1.Напишите общий вид уравнения пучка прямых на координатной плоскости Оху.

2.Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух

прямых из этого пучка:

3x 2y 6 0, 2x 7y 38 0 , и найдите его центр.

Вариант 3.

1.Напишите уравнение пучка прямых с одним параметром.

2.Напишите уравнение пучка прямых с центром пучка в точке (–3; 2).

3.Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС лежат соответственно на прямых: 3x 2y 6 0, 7x y 31 0 и 2x 7y 38 0 . Не вычис-

ляя координат вершин треугольника, найдите уравнение высоты АD.

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

Вариант 4.

1.Напишите уравнение пучка прямых с заданным центром пучка

(xo , yo ) .

2.Напишите уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка: x 2, y 3 .

3.Стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС лежат соответственно на

ляя координат вершин треугольника, найдите уравнение высоты ВD.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 20 Определения

1.Определение пучка прямых на плоскости.

2.Определение уравнения пучка прямых.

3.Определение уравнения пучка прямых с одним параметром.

Теоремы

1.Теорема об уравнении пучка прямых на плоскости.

2.Теорема об уравнении пучка прямых с данным центром пучка.

3.Следствие об уравнении пучка прямых с одним параметром и данным центром пучка.

Тест 20

1.Напишите уравнение пучка прямых, в котором находятся прямые

x2y 1 0 и 2x y 1 0 .

2. Дан пучок прямых (x 4y 1) (2x y 11) 0 . Найдите его центр.

3.Напишите уравнение пучка прямых с центром в точке М(–1; 3).

4.Напишите уравнение пучка прямых на координатной плоскости Оху, проходящих через начало координат.

5. Из пучка прямых (2x 4y 13) (2x y 2) 0 выберите прямую, проходящую через точку А(1; 3).

6.Из пучка прямых (2x 4y 1) (2x y 2) 0 выберите прямую параллельную прямой x y 1 0 .

7. Из пучка прямых (2x y 1) (2x y 2) 0 выберите прямую перпендикулярную прямой x y 1 0 .

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

(2x y 2) (x 2y 1) 0 .

10. При каком значении С прямая 4x 3y C 0 принадлежит пучку

(3x 2y 9) (2x 5y 5) 0 .

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

Практическое занятие 21 Общее уравнение плоскости

Краткое содержание: общее уравнение плоскости, нормальный вектор плоскости, неполные уравнения, уравнение плоскости в отрезках, угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, взаимное расположение двух плоскостей.

п.1. Теория п.1.1. Уравнение плоскости

Определение. Уравнение

F(x, y,z) 0 ,

где F(x, y,z) некоторая функция трёх действительных переменных,

называется уравнением поверхности в координатном пространстве Охуz, если точка пространства лежит на поверхности тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению, т.е.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется её нормальным вектором, и обозначается

n (A, B, C) .

Теорема. (Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й степени с тремя неизвестными.) Алгебраическое уравнение 1-й степени

Ax By Cz D 0 ,

где коэффициенты А, В, С, D – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, является уравнением плоскости коор-

динатного пространства Охуz, а вектор n (A, B, C) является её нормальным вектором. Обратно, в координатном пространстве Охуz уравнение любой плоскости с нормальным вектором n (A, B, C) может быть записано в виде такого алгебраического уравнения.

Определение. Уравнение плоскости вида

Ax By Cz D 0 ,

где коэффициенты А, В, С, D – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, называется общим уравнением плоскости.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

Определение. Общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0 ,

в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С, D равен нулю, называется неполным.

плоскости Оху;

z 0 – уравнение координатной плоскости Оху;

Ax By D 0, D 0 – уравнение плоскости, параллельной коорди-

натной оси Оz;

Ax By 0 – уравнение плоскости, содержащей координатную ось

Оz;

Ax Cz D 0, D 0 – уравнение плоскости, параллельной коорди-

натной оси Оу;

Ax Cz 0 – уравнение плоскости, содержащей координатную ось Оу;

By Cz D 0, D 0 – уравнение плоскости, параллельной коорди-

натной оси Ох;

By Cz 0 – уравнение плоскости, содержащей координатную ось

Ох;

Ax By Cz 0 – уравнение плоскости, содержащей начало координат.

Определение. Уравнение плоскости вида xa by zc 1 ,

где а, b и с – произвольные, не равные нулю действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках.

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов в уравнении плос-

кости в отрезках.) Пусть xa by zc 1 – уравнение плоскости в отрез-

ках. Тогда (а; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; с) – координаты точек её пересечения с осями координат.

z

с

у

b

а

х

Рис. 1

Определение. Уравнение плоскости вида

A(x xo ) B(y yo ) C(z zo ) 0 ,

где (xo , yo , zo ) – координаты её произвольной фиксированной точки Mo , (A, B, C) n – координаты её нормального вектора, называется

уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.

п.1.2. Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости либо совпадают, либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой..

Теорема. Пусть плоскости заданы общими уравнениями:

1 : A1x B1 y C1z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 . Тогда:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

уравнением которой служит система уравнений:

A1x B1 y C1z D1 0 .A2 x B2 y C2 z D2 0

п.1.3. Угол между двумя плоскостями, условие перпендикулярности двух плоскостей

Теорема. Пусть n1 n2 – нормальные векторы двух плоскостей, тогда один из двух углов между данными плоскостями равен:

n1 n2 arc cos | n1 | | n2 | .

Следствие. (Условие перпендикулярности двух плоскостей.)

Пусть n1 (A1 ; B1 ;С1 ), n2 (A2 ; B2 ;С2 ) – нормальные векторы двух данных плоскостей. Если скалярное произведение

n1 n2 A1A2 B1B2 С1С2 0 ,

то данные плоскости являются перпендикулярными.

п.1.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Теорема. Пусть даны координаты трех различных точек координатного пространства:

M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) .

является уравнением плоскости, проходящей через эти три точки.

п.2. Список задач Список №1

1.Выяснить, лежит ли данная точка на данной плоскости.

2.Найти координаты какой-нибудь точки, лежащей на данной плоскости.

3.Зная общее уравнение плоскости, найти её уравнение в отрезках и изобразить на чертеже ту её часть, которая заключена между координатными плоскостями.

4.Найти общее уравнение плоскости, зная её уравнение в отрезках.

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

5.Найти нормальный вектор плоскости, зная её общее уравнение.

6.Найти нормальный вектор плоскости, зная её уравнение в отрезках.

7.Найти общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, и перпендикулярной данному вектору.

8.Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.

9.Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

10.Найти величину острого двугранного угла между двумя плоскостями.

11.Написать уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости, и отстоящей от неё на заданном расстоянии.

12.Написать уравнения координатных плоскостей.

13.Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

14.Определить взаимное расположение двух плоскостей.

Список №2

1.Написать уравнение плоскости, проходящей через данную точку и содержащей координатную ось.

2.Написать уравнение плоскости, проходящей через две данные точки и параллельной координатной оси.

3.Определить расположение плоскости в координатном пространстве, если она задана неполным уравнением, и изобразить её часть на чертеже в ПДСК Oxyz.

4.Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки, и перпендикулярной данной плоскости.

п.3. Примеры Пример 1. Изобразить на чертеже видимую в первом октанте ПДСК

Oxyz часть плоскости 2x 3y 6z 12 0 .

Решение. Приведем общее уравнение плоскости к уравнению в отрезках:

x6 4y 2z 1.

Отложим на оси Ох точку с абсциссой x 6 , на оси ординат точку y 4 и на оси аппликат точку z 2 . Соединим эти точки отрезками

прямых. (Смотрите рисунок 1, где a 6, b 4, c 2 ). 5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(–1; 5; –7), с нормальным вектором n (2; 4;9) .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости

A(x xo ) B(y yo ) C(z zo ) 0 ,

где (xo , yo , zo ) – координаты точки, лежащей на данной плоскости,

(A, B, C) n – координаты её нормального вектора. По условию задачи нормальный вектор плоскости известен A 2, B 4, C 9 , и известны координаты точки, лежащей на плоскости xo 1, yo 5, zo 7 . Подставляем эти числа в уравнение:

2(x 1) 4(y 5) 9(z 7) 0

Осталось раскрыть скобки и привести подобные члены.

Ответ: 2x 4y 9z 85 0 .

Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(0; –2; 4) параллельно плоскости 2x y z 5 0 .

Решение. Так как искомая плоскость параллельна данной, то нормальный вектор данной плоскости n (2; 1;1) является нормальным

вектором искомой. Теперь решаем задачу как в предыдущем примере:

2x (y 2) (z 4) 0 . Ответ: 2x y z 6 0 .

Пример 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(– 1; 5; –7), В(0; –2; 3), С(6; 0; 1).

Решение. 1-й способ. Нормальным вектором плоскости может служить вектор AB AC и задача решается также, как в примере 2.

75 8

Вкачестве нормального вектора возьмем вектор n ( 3; 31; 22) , а в

качестве точки, лежащей на плоскости возьмем точку С(6; 0; 1). Получаем

3(x 6) 31y 22(z 1) 0 . 6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

Раскрываем скобки: 3x 31y 22z 4 0 .

n AB AC

B A

C

Рис. 2

2-й способ. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три данные точки:

В качестве первой точки считаем точку А, точка В – вторая точка, С – третья:

Вычисляя определители 2-го порядка и раскрывая скобки, получаем:

6x 6 62y 310 44z 308 0 или 6x 62y 44z 8 0 . Ответ: 3x 31y 22z 4 0 .

Пример 5. Выяснить взаимное расположение двух плоскостей:

а) 4x y 9z 16 0, 3x 6y 2z 1 0 ;

б) x y z 1 0, 3x 3y 3z 3 0 ; в) x y z 1 0, 3x 3y 3z 3 0 ; г) x y z 1 0, x y z 0 .

Решение. а) Выписываем координаты нормальных векторов данных плоскостей: n1 (4; 1;9), n2 (3; 6; 2) . Замечаем, что их координаты не пропорциональные:

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

4 1 9 .

3 6 2

Следовательно, плоскости пересекаются. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами:

n1 n2 12 6 18 0 .

Следовательно, плоскости перпендикулярны.

б) Замечаем, что все коэффициенты в уравнениях плоскостей пропорциональны:

1 1 1 1 .3 3 3 3

Следовательно, плоскости совпадают.

в) Аналогично, проверяем пропорциональность коэффициентов уравнений:

1 1 1 1 .3 3 3 3

Следовательно, плоскости параллельные.

г) Коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональные, следовательно, плоскости пересекаются. Выписываем координаты нормальных векторов, находим их модули и их скалярное произведение:

Вычисляем угол между плоскостями:

Ответ: а) плоскости перпендикулярные; б) плоскости совпадают; в) плоскости параллельные; г) плоскости пересекаются под углом, рав-

ным arccos 13 .

Пример 6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; –1; 5) и В(0; 3; –2) перпендикулярно плоскости y z 2 0 .

Решение. Вектор AB ( 2;4; 7) лежит на искомой плоскости, а нор-

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

мальный вектор n (0;1; 1) данной плоскости параллелен искомой

плоскости, перпендикулярной данной. Поэтому, их векторное произведение является нормальным вектором искомой плоскости. Смотрите рисунок 3. Вычисляем векторное произведение

и записываем уравнение плоскости, проходящей через точку В(0; 3; – 2) с нормальным вектором n AB ( 3;2;2) :

3x 2(y 3) 2(z 2) 0 или 3x 2y 2z 2 0 .

n AB

В

n

n (0;1; 1)

А

Рис. 3

Ответ: 3x 2y 2z 2 0 .

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 21

1. Какие из следующих точек лежат на плоскости 2x 3y 4z 5 0 :

А(1; 2; 3), В(1; 1; 1), С(3; 5; –1)?

2.Найти какую-нибудь точку, лежащую на данной плоскости: а)

x5y z 0 ; б) 2x y 2z 5 0 ; в) y 3 0 .

3.Найти уравнение плоскости 2x 3y 4z 12 0 в отрезках, точки

её пересечения с координатными осями, и построить чертеж её части в первом октанте.

4. Найти нормальный вектор плоскости: а) 2x 3y 4z 12 0 ; б) 9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

z 2x 3y ; в) z 2x 3 ; г) 23 x 34 y 1; д) 2y 1 0 ; е) z 2 ; ё)

x1 0 .

5.Написать уравнения координатных плоскостей, и выписать координаты их нормальных векторов.

6.Найти общее уравнение плоскости x5 3y 2z 1 и её нормальный вектор.

7.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; –1), и

перпендикулярной вектору n (5; 0; 3) .

8.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 1; –1), и параллельной плоскости 2x y z 1 0 .

9.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; 4; –5), и

параллельной векторам a1 (3; 1; 1) и a2 (1; 2; 1) .

10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; –1;

3)и В(3; 1; 2) параллельно вектору a (3; 1; 4) .

11.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(3; –1; 2), В(4; –1; –1) и С(2; 0; 2).

12.Найти угол между плоскостями: а)3y z 0, 2y z 0 ;

б) 6x 3y 2z 0, x 2y 6z 12 0 ;

в) 3x 2y z 0, 6z 2x 4 0 .

13. Определить взаимное расположение двух плоскостей:

а) 2x 3y 5z 7 0, 2x 3y 5z 3 0 ;

б) 3x y 2z 5 0, 2x 23 y 43 z 103 0 ;

в) 2x 5y 1 0, x y 2z 3 0 .

Задачи повышенного уровня сложности 21

14.Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат

иточку А(1; 1; 1), и перпендикулярной координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz. В каждом случае построить чертеж плоскости.

15.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 1; 1) и содержащей ось: а) Ох; б) Оу; в) Oz. В каждом случае построить чертеж плоскости.

16.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 1; 1),

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

В(0; 1; 2), и параллельной оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.

17.Постройте в системе координат часть данной плоскости, видимой

впервом октанте: а) 2x 3y 6 0 ;

б) y 2x ; в) y 2z ; г) y 2z 2 ; д) x z 3 .

Домашнее задание 21. Общее уравнение плоскости

1.Найти точки пересечения плоскости 2x 3y 4z 24 0 с осями

координат, записать ее уравнение в отрезках, построить чертеж той части плоскости, которая вместе с координатными плоскостями образует треугольную пирамиду.

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; –2; –

7)параллельно плоскости 2x 3z 5 0 .

3.Точка Р(2; –1; –1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

4.Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку М(–1; 2; –

5)и параллельных координатным плоскостям.

5.Составить уравнение плоскости, проходящей: а) через ось Ох и точку А(4; –1; 2); б) через ось Оу и точку В(1; 4; –3); в) через ось

Oz и точку С(3; –4; 7).

Самостоятельная работа 21

Вариант 1.

1. Определение общего уравнения плоскости.

2. Найдите координаты точек пересечения плоскости 2x 6y 9z 18 0 с координатными осями, запишите уравнение

данной плоскости в отрезках, постройте чертеж части плоскости, видимой в первом октанте.

3.Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1; 0; 3) параллельно плоскости 2x y 3z 1 0 .

Вариант 2.

1. Определение уравнения плоскости в отрезках.

2. Найдите координаты точек пересечения плоскости 3x 8y 6z 24 0 с координатными осями, запишите уравнение

данной плоскости в отрезках, постройте чертеж части плоскости, видимой в первом октанте.

3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку N(–3; 1; 0)

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 21, с.13

параллельно плоскости x 2y 3z 2 0 . Вариант 3.

1.Определение неполного уравнения плоскости.

2.Изобразите на чертеже часть плоскости 2y 9z 18 0 , видимой в

первом октанте и найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось абсцисс и точку М(–1; 2; –2).

Вариант 4.

1.Определение уравнения плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором.

2.Изобразите на чертеже часть плоскости 2x 9z 18 0 , видимой в первом октанте и найдите координаты её точек пересечения с осями координат.

3.Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось ординат и точку N(2; –1; 2).

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 21 Обозначения

1.Обозначение нормального вектора плоскости.

2.Обозначение свободного коэффициента общего уравнения плоскости.

3.Обозначение абсциссы точки пересечения плоскости с осью Ох.

4.Обозначение ординаты точки пересечения плоскости с осью Оу.

5.Обозначение аппликаты точки пересечения плоскости с осью Оz.

6.Обозначение угла между плоскостями.

Определения

1.Определение уравнения поверхности в координатном пространстве.

2.Определение нормального вектора плоскости.

3.Определение общего уравнения плоскости.

4.Определение неполного уравнения плоскости.

5.Определение уравнения плоскости в отрезках.

6.Определение уравнения плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором.

Теоремы

1. Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й степени с

12