которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. В литературе [1,2] имеются таблицы изображений и оригиналов, облегчающие применение операторного метода.

Спектральный и операторный методы анализа линейных цепей успешно применяются для решения многих вопросов теории связи и управления. При этом удается обойти серьезные трудности, связанные с вычислением корней характеристического уравнения систем высокого порядка. Частотный метод имеет важное значение особенно в тех случаях, когда уравнение системы вообще неизвестно и когда можно ограничиться качественным исследованием динамических свойств систем.

6.2.3. Временной метод

Временной метод (метод интеграла наложения, метод интеграла Дюамеля) основан на использовании импульсной h(t ) характеристики цепи, т.е. характеристики цепи во временной области. Импульсная характеристика – это реакция цепи на -функцию. Такой функцией описывается модель сигнала, имеющего бесконечно большую амплитуду, нулевую длительность и площадь, равную 1.

Представим входной сигнал sвх(t) сложной формы в виде совокупности прямоугольных импульсов одинаковой и достаточно малой длительности

(рис. 6.2).

Реакция цепи в моменты времени k , k 0,1, 2, ,n на каждый из этих импульсов (если бы площади их были равны единице) есть импульсная характеристика h(t k ). Но так как площади импульсов равны sвх (k ) , то реакция цепи равна sвх (k ) h(t k t). В свою очередь выходной сигнал в некоторый момент времени t k будет равен сумме реакций цепи на импульсы в интервале 0 t, т.е.

n

sвых(t) sвх(k ) h(t k ).

k 0

При 0 суммирование сводится к операции интегрирования по переменной k :

t

sвых(t) sвх( )h(t )d .

0

Рис. 6.2. Свертка сигнала с импульсной характеристикой

Таким образом, значения выходного сигнала линейной цепи в любой момент времени являются результатом взвешенного суммирования мгновенных значений входного сигнала. Весовая функция – это импульсная характеристика цепи.

Учитывая, что для реальных цепей h(t) 0 при t 0, можно записать

sвых(t) sвх( )h(t )d sвх(t) h(t).

Полученное выражение для sвых(t) представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля. В математике полученное выражение называют сверткой двух функций. Таким образом, выходной сигнал линейной цепи равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

Иногда используют другую форму записи интеграла Дюамеля, которую

Sвых( j ) Sвх( j )K( j ), на которой основан спектральный метод анализа цепей. Для этого воспользуемся свойствами преобразования Фурье и связью между частотной и импульсной характеристиками цепи, имея в виду, что частотная характеристика K( j ) цепи является по существу спектральной плотностью ее импульсной характеристики h(t).