Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4652 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Теоретические_основы_радиотехники.pdf
Скачиваний:
1842
Добавлен:
11.05.2015
Размер:
5.07 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал торого ограничен частотой m 2 fm, представляется рядом

 

 

sin m(t k t)

 

s(t)

s(k t)

,

m(t k t)

 

k

 

s(t), спектр ко-

(3.24)

где t 12 fm – интервал между двумя отсчетными точками (узлами) на оси времени, s(k t) – выборки функции s(t) в моменты времени t k t . Функции

Gk (t)

sin m(t k t)

 

(3.25)

 

 

m(t k t)

являются базисными функциями ряда Котельникова.

Представление сигнала рядом Котельникова показано на рис. 3.18.

Рис. 3.18. Представление непрерывного сигнала рядом Котельникова

3.6.2. Доказательство теоремы Котельникова

а. Свойства системы базисных функций

Базисные функции Gk(t)

sin m(t k t)

 

sin x

 

– это функции типа

 

, отли-

m(t k t)

 

 

 

x

чающиеся друг от друга сдвигом по времени на величину k t. Графики функций

G0

(t)

sin mt

и G1

(t)

sin m(t t)

mt

m(t t)

 

 

 

 

приведены на рис. 3.19. Функция Gk (t) достигает максимума в момент времени t k t , тогда как другие функции Gn(t) (при n k ) в этот момент времени равны 0.

Рис. 3.19. Графики функций G0(t) и G1(t)

Определим спектр сигнала, описываемого функцией Gk(t) (в дальнейшем под Gk(t) будем понимать либо функцию, либо сигнал, описываемый этой функцией).

Вп. 3.4.9 определен спектр сигнала s(t) Asin mt . Амплитудный спектр

mt

этого сигнала имеет форму прямоугольного импульса и ограничен полосой частот 2 m , в пределах которой он равен A2 fm .

Общее выражение для спектра

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

m

 

S( j )

2fm

 

 

 

 

 

 

 

0 при

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

Базисные функции Gk (t)

sin m(t k t)

 

 

отличаются от функции

 

 

sin mt

 

m(t k t)

A

амплитудой и наличием сдвига на временной интервал k t. Это зна-

mt

 

 

 

 

чит, что спектр станет комплексным, причем форма амплитудного спектра не изменится, а появится фазовый спектр ( ) k t. Общее выражение для спектральной плотности базового сигнала Gk(t) будет иметь вид

 

1

e

j k t

 

при

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sgk ( j )

2fm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 при

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что t 12 fm , можно записать

 

j k t

при

 

m

te

 

Sgk ( j )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

0 при

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 3.20 приведены графики спектров дискретизируемого сигнала и сигнала, описываемого функцией Gk (t).

а

б

 

 

Рис. 3.20. Графики спектров дискретизируемого сигнала (а) и функции Gk (t) (б)

б. Доказательство теоремы

Покажем, что ряд Котельникова (3.24) определяет функцию s(t) в любой момент времени. Этот факт будет свидетельствовать о правомерности теоремы Котельникова.

Для получения ряда воспользуемся общим методом разложения заданной функции по ортогональным системам функций (см. п. 3.1.1).

1.Функция, заданная для разложения, – s(t).

2.Базисная система функций, по которым будет осуществляться разложе-

ние, – это функции вида Gk (t) sin m(t k t). Ортогональность этой системы

m(t k t)

функций в бесконечном интервале необходимо доказать.

3. Обобщенный ряд Фурье применительно к рассматриваемому случаю известен:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

s(t)

CkGk (t),

 

Ck

 

 

 

 

s(t)Gk (t)dt .

 

Gk (t)

 

2

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения ряда Котельникова требуется доказать ортогональность

системы функций Gk(t), найти

 

 

 

Gk (t)

 

 

 

2

– квадрат нормы функции Gk(t) и

 

 

 

 

определить коэффициенты Ck .

Доказательство ортогональности системы функций Gk(t)

Система функций Gk(t) ортогональна, если

 

 

 

 

 

G (t)

 

 

 

2

при

k n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gk (t)Gn (t)dt

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при k n ,

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

Gk (t)

 

 

 

 

 

Gk2(t)dt – норма функции Gk(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим значение интеграла от произведения Gk (t) Gn(t) при k n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin m(t k t) sin m(t n t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gk (t)Gn(t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt.

 

(3.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(t n t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(t k t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из свойств преобразования Фурье известно, что если

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

s1(t) S1( j ) и

 

 

 

 

s2(t) S2( j ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s (t)s

2

(t)

 

 

 

S (j ) S

2

( j ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s1(t)s2(t)e j tdt

 

 

 

 

 

S1( j )S2[ j( )]d ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s1(t)s2(t)dt

 

 

 

 

 

S1( j )S2*( j )d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применим полученное соотношение к выражению (3.26), учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin m

(t k t)

 

 

1

 

 

 

e

j k t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

m m;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 fm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(t k t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin m(t n t)

 

 

1

 

 

 

e

j n t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

m m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2fm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

m(t n t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m

1

 

 

 

 

 

 

 

j k t

 

 

 

1

 

j n t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gk (t)Gn(t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2fm

 

 

 

 

 

 

 

2 fm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

j (k n) tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e j (k n) t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

8 f 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j(k n) t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e j m(k n) t e j m(k n) t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 fm2 j(k n) t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

sin m(k n) t

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

sin(k n) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 fm (k n)

 

 

 

 

 

 

 

4 fm (k n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим значениеGk (t)2:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

sin

2

m(t k t)

 

 

 

 

 

Gk (t)

 

 

 

 

Gk2(t)dt

 

 

dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2 (t k t)2

 

 

 

Замена переменной:

m(t k t) x;

t

x

k t ;

dt

1

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

m

Тогда

Gk

Таким образом,

(t)

 

 

 

2

 

1 sin2 x

dx

 

 

 

 

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m x2

 

m

 

2 fm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t при

k n,

 

 

 

 

 

Gk (t)Gn (t)dt

 

 

 

 

 

 

при

k n .

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Ортогональность системы функций Gk(t) доказана.

Определение коэффициентов ряда

Значение коэффициентов Ck

определим, пользуясь формулой

 

 

 

 

Ck

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(t)Gk (t)dt .

 

 

 

 

 

Gk (t)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления

s(t)Gk (t)dt воспользуемся методикой, которая приме-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нялась для вычисления интеграла от произведения Gk (t)Gn(t) при k n:

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

m

s(t)Gk (t)dt

 

S( j )Sgk* ( j )d

S( j ) te j k td

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

t

S( j )e j k td ts(k t).

2

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пределы интегрирования приведены в соответствие с тем, что спектры сигнала и функции Gk(t) имеют граничную частоту m.

Таким образом, коэффициенты Ck равны

Ck Gk1(t)2 s(t)Gk(t)dt 1t ts(k t) s(k t).

Получены все данные, чтобы записать ряд

 

 

s(t)

CkGk (t)

 

k

 

 

sin m(t k t)

 

 

s(k t)

 

 

.

(3.27)

 

 

k

m(t k t)

 

Это и есть ряд Котельникова.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности