Имеется линейная радиотехническая цепь, для которой известно дифференциальное уравнение или одна из характеристик: частотная K( j ), импульсная h(t ) или переходная g(t ). На вход цепи поступает сигнал sвх (t). Необходимо определить выходной сигнал sвых (t).
Рис. 6.1. Постановка задачи анализа линейной цепи
Существует несколько методов анализа линейных цепей. Выбор наиболее удобного из них зависит от сигнала, поступающего на вход, функциональной и структурной организации цепи и некоторых других факторов. Наиболее часто используются точные и приближенные методы. Последние учитывают особенности сигналов и цепей.
Точные методы анализа цепей:
1.Классический метод, или метод дифференциальных уравнений.
2.Спектральный метод и его разновидность – операторный метод.
3.Временной метод, называемый методом интеграла наложения или интеграла Дюамеля.
Приближенные методы анализа цепей:
1.Приближенные спектральные методы.
2.Метод комплексной огибающей.
3.Метод мгновенной частоты.
Ниже приводится содержание каждого из перечисленных методов.
6.2.Точные методы анализа линейных цепей
6.2.1.Классический метод
Классический метод основан на составлении и решении линейного дифференциального уравнения, описывающего поведение цепи при заданном воздействии. Уравнение составляется с помощью законов Кирхгофа. При этом используются известные соотношения
iR(t) |
uR(t) |
iL(t) |
1 |
uL(t)dt; |
ic(t) C |
duc(t) |
||||||
|
; |
|
|
; |
||||||||
|
L |
|
||||||||||
|
R |
|
|
diL (t) |
|
|
1 |
|
dt |
|||
uR (t) iR (t)R; |
uL (t) L |
; |
uc(t) |
|
ic(t)dt. |
|||||||
|
C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||
Дифференциальное уравнение имеет вид
n |
d |
k |
sвых(t) |
|
m |
d |
k |
sвх(t) |
|
ak |
|
|
bk |
|
, |
||||
|
|
dtk |
|
|
dtk |
||||
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
где ak и bk – постоянные коэффициенты, зависящие от структуры схемы и ее параметров.
Порядок высшей производной определяет порядок цепи. Если входной сигнал задан, то правая часть – это известная функция.
Решение дифференциального уравнения состоит из двух частей
|
|
|
|
|
sвых (t) sвых.св |
t sвых.пр (t) , |
|
где sвых.св.(t) |
– свободная составляющая, которая характеризует переходной |
||||||
процесс |
и является решением однородного |
дифференциального уравнения |
|||||
n |
k |
sвых(t) |
|
|
|
||
ak |
d |
|
0; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
k 0 |
|
dtk |
|
|
|
|
|
sвых.пр (t) – |
|
принужденная составляющая, |
которая характеризует устано- |
||||
вившийся процесс и является частным решением дифференциального уравнения при определенных начальных условиях.
Недостаток метода – необходимо решать уравнение для каждого нового сигнала. Метод применяется для цепей, описываемых дифференциальным уравнением второго и реже третьего порядка.
6.2.2. Спектральный метод
Спектральный метод основан на частотных свойствах сигнала и цепи с использованием принципа суперпозиции. Частотные свойства сигнала характеризуются его спектром, а частотные свойства цепи – частотной характеристикой. Так как спектр сигнала – это совокупность гармонических составляющих, то задача анализа цепи сводится по сути дела к анализу установившихся режимов в цепи при синусоидальных воздействиях.
Прохождение периодического сигнала через линейную цепь
Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sвх (t) |
Cвх.kejk 1t , |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
1 |
T 2 |
|
||
где Cвх.k |
|
T |
2 sвх (t)e jk 1tdt – комплексная амплитуда k -й гармоники вход- |
|||
T |
||||||
ного сигнала.
Комплексная амплитуда k -й гармоники выходного сигнала определяется как произведение комплексной амплитуды соответствующей гармоники входного сигнала на значение частотной характеристики, которое она имеет на частоте данной гармоники. Таким образом,
|
Cвых.k Cвх.k K( jk 1) Cвх.kej вх.k K(k 1)ej (k 1 ) Cвых.kej вых.k , |
||
где |
Cвых.k Cвх.k K(k ) и вых.k |
вх.k |
(k ) – амплитуда и фаза k -й гармо- |
|
1 |
1 |
|
нической составляющей выходного сигнала. |
|||
|
Отсюда на основании принципа суперпозиции находим выходной сигнал: |
||
|
|
|
|
|
sвых(t) Cвх.kK( jk 1)ejk 1t Cвых.kejk 1t . |
||
|
k |
|
k |
Таким образом, спектр периодического сигнала на выходе линейной цепи может быть получен перемножением спектра входного сигнала на значения частотной характеристики цепи на соответствующих частотах.
Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь
Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье
|
|
|
S( j ) |
s(t)e j tdt. |
(6.1) |
В свою очередь обратное преобразование Фурье позволяет определить сигнал по его спектру, т.е.
|
1 |
|
|
|
s(t) |
S( j )e j td . |
(6.2) |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
Как видно из данного выражения, сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечно большого числа незатухающих и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами,
равными 1 S( j )d . Это дает возможность использовать обычные методы
2
расчета установившихся режимов.
Применительно к решаемой задаче каждая из таких гармонических составляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую составляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой, равной
1 |
Sвых(j )d |
1 |
Sвх( j )K( j )d . |
|
|
||
2 |
2 |
||
На основании этого можно записать выражение для спектральной плотности выходного сигнала, которое является фундаментальным для рассматриваемого метода анализа линейных цепей:
Sвых( j ) Sвх( j )K( j ). |
(6.3) |
Таким образом, спектральная плотность выходного сигнала равна произведению спектральной плотности входного сигнала на частотную характеристику цепи.
Выходной сигнал находится с помощью обратного преобразования Фурье, реализующего суммирование бесконечно большого числа его гармонических составляющих:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
sвых(t) |
|
Sвых( j )ej tdt |
Sвх( j )K( j )e j tdt. |
(6.4) |
|||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Можно предложить следующую последовательность анализа линейных цепей спектральным методом.
1. Определение спектральной плотности Sвх(j ) входного сигнала по формуле (6.1).
2.Определение частотной характеристики цепи одним из известных методов (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, наложения, из дифференциального уравнения цепи и др.).
3.Расчет спектральной плотности Sвых( j ) выходного сигнала по форму-
ле (6.3).
4. Определение выходного сигнала по формуле (6.4).
В некоторых случаях целесообразно использовать операторный метод анализа цепей, основанный на преобразованиях Лапласа. При этом функции действительной переменной t преобразуются в функции комплексной частоты, т.е. переменной p j . Для этого используются преобразования Лапласа:
|
|
1 |
c j |
|
F(p) s(t)e ptdt и |
s(t) |
F(p)eptdp. |
||
2 j |
||||
0 |
|
c j |
||
|
|
Функцию s(t) называют оригиналом, а функцию F(p) – изображением оригинала по Лапласу или просто изображением. Как видно из данных выражений, преобразования Фурье могут быть получены из преобразований Лапласа простой заменой p на j с соответствующим изменением пределов интегрирования. Преобразования Лапласа являются обобщениями преобразований Фурье, поэтому они обладают всеми свойствами, которые характерны для преобразований Фурье.
Частотная характеристика цепи в операторной форме получается простой заменой переменной j на комплексную переменную p j , т.е.
K(p) [K( j )]j j .
Выражение (6.3.) для спектра выходного сигнала цепи будет иметь вид
Fвых(p) Fвх(p)K(p).
Операторный метод позволяет анализировать более широкий класс сигналов. В частности, этому методу доступны сигналы, описываемые функциями,