Отношение T и называется скважностью и в случае импульсной модуляции достигает величины порядка 100…2500.

4.5.Узкополосные сигналы

4.5.1.Общие сведения об узкополосных сигналах

Вразличных системах передачи информации широко применяются радиосигналы с модуляцией, являющейся комбинацией рассмотренных ранее видов амплитудной, угловой и импульсной модуляций. Модулирующий сигнал может иметь достаточно сложный закон изменения. Однако ширина его спектра, как правило, значительно меньше частоты 0 несущего колебания. Это позволяет

отнести модулированные сигналы к классу узкополосных.

Узкополосный сигнал – это сигнал, эффективная ширина спектра которогоэф значительно меньше центральной частоты 0 , вокруг которой группи-

руются спектральные составляющие сигнала. Физически такой сигнал относится к квазигармоническим сигналам, общее выражение для которых имеет вид

В этом выражении

A(t) – медленноменяющаяся функция времени, описывающая амплитудную огибающую данного сигнала;

– фазовая функция сигнала;

– полная фаза сигнала.

Описание реального узкополосного сигнала в виде выражения (4.7) является достаточно сложной задачей. Прямой путь решения задачи путем произвольного задания одной из функций A(t) или ψ(t) и последующего определения другой приводит, во-первых, к неоднозначности решения задачи, а во-вторых, – к получению выражения, в котором A(t) не всегда является огибающей. В то же время существует однозначный метод решения этой задачи.

Воспользуемся известным в теории методом комплексных амплитуд. Этот метод предполагает представление гармонического сигнала s(t) в тригонометрической и комплексной формах, т.е.

Здесь A A0e j – комплексная амплитуда сигнала, представляющая собой комплексное число, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент – начальной фазе.

Применительно к узкополосному сигналу комплексная амплитуда, которую более правильно назвать комплексной огибающей, будет содержать всю информацию об основных параметрах (амплитуде и фазе), которые определяются модулирующим сигналом. Поэтому необходим метод, позволяющий однознач-

но представлять в комплексной форме любой узкополосный сигнал, что позволит обобщить понятие комплексной амплитуды и распространить его на узкополосные сигналы.

В основу такого метода положено представление вещественного (физического) сигнала s(t) в виде аналитического сигнала с использованием преобразования Гильберта (Д. Гильберт – немецкий математик).

4.5.2. Аналитический сигнал

Пусть сигнал описывается действительной функцией s(t). Такому сигналу можно поставить в соответствие комплексный сигнал вида

z(t) s(t) js1(t),

где s1(t) – сопряженный сигнал, полученный с помощью прямого преобразования Гильберта от сигнала s(t).

Прямое и обратное преобразования Гильберта имеют вид

тического сигнала.

Огибающая аналитического сигнала является по существу огибающей исходного сигнала s(t) (доказательство этого имеется в [1,2]).

Учитывая, что ψ(t) 0t (t) , можно записать

z(t) A(t)e j (t) A(t)e j (t)e j 0t A(t)e j 0t.

Выражение A(t) A(t)ej (t) определяет комплексную амплитудную огибающую аналитического сигнала.

Следовательно, для сигнала, представленного в произвольном виде, можно определить амплитудную огибающую A(t) и фазовую функцию (t), сформировав аналитический сигнал. Для этого достаточно получить мнимую часть аналитического сигнала, определив преобразование Гильберта от заданного сигнала.

2. Фазовые спектры сигнала s(t) и сопряженного по Гильберту сигнала s1(t) отличаются на 2 со знаком, противоположным знаку частоты. Следовательно, сигналы s(t) и s1(t) могут значительно отличаться по форме.

Корреляционная функция сигнала связана обратным преобразованием Фурье с его амплитудным спектром. Выше было показано, что амплитудные спектры сигнала s(t) и сопряженного по Гильберту сигнала s1(t) одинаковы. Поэтому можно сделать вывод, что корреляционная функция R1( ) сигнала s1(t) равна корреляционной функции R( ) сигнала s(t), т.е.

где Sz ( j ) – спектр аналитического сигнала z(t).

Определим связь между корреляционной функцией RA( ) комплексной огибающей и корреляционной функцией Rz( ) аналитического сигнала.

Выводы.

1. Спектр SA( j ) комплексной огибающей аналитического сигнала пред-

ставляет собой сдвинутый на 0 влево спектр аналитического сигнала. Другими словами, комплексная огибающая аналитического сигнала – это низкочас-

тотный его эквивалент, а метод замены сигналов их комплексными огибающими при анализе прохождения сигналов через различные цепи называется методом комплексных огибающих, или методом низкочастотных эквивалентов. В общем случае спектр комплексной огибающей не является симметричным относительно нулевой частоты (рис. 4.19, в).

2. Между корреляционной функцией комплексной огибающей и корреляционной функцией аналитического сигнала существует достаточно простая связь.

в. Спектральная плотность и корреляционная функция аналитического сигнала

Аналитический сигнал z(t) s(t) js1(t) . Учитывая свойства преобразования Фурье, можно записать

Sz ( j ) S( j ) jS1( j ).

Спектральная плотность аналитического сигнала существует только в области положительных частот и равна удвоенной спектральной плотности исходного сигнала при 0 и спектральной плотности исходного сигнала при

0 (рис. 4.19,а,б).

Рис. 4.19. Амплитудные спектры физического сигнала (а), аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в)

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно получить следующую формулу для аналитического сигнала:

Связь спектральной плотности комплексной огибающей аналитического сигнала и спектральной плотности физического сигнала определяется выражением

Полученный результат иллюстрируется рис. 4.19,в.

Пример.

Задан физический сигнал s(t), имеющий равномерную спектральную плотность S0 в полосе частот m m. Определить аналитический сигнал, соответствующий сигналу s(t).

Для определения аналитического сигнала воспользуемся формулой (4.8).

Графики спектра физического сигнала, а также графики физического и сопряженного сигналов для данного примера приведены на рис. 4.20.

Определим связь корреляционной функции R( ) узкополосного сигнала с корреляционными функциями Rz( ) и RA( ) аналитического сигнала и его комплексной огибающей.

Так как z(t) s(t) js1(t), то s(t) Re[z(t)]. Следовательно,

Рис. 4.20. Спектр физического сигнала (а), физический и сопряженный по Гильберту сигналы (б)

Определим значение первого слагаемого.

Итак, первое слагаемое выражения (4.9) равно 0 в силу равенства корреляционных функций сигналов s(t) и s1(t).

Таким образом,

В свою очередь так как Rz ( ) RA( )e j 0 , то

R( ) 1Re[RA( )e j 0 ]. 2

Получены важные соотношения между корреляционной функцией R( ) узкополосного сигнала, корреляционной функцией Rz( ) аналитического сиг-

нала и корреляционной функцией RA( ) комплексной огибающей аналитического сигнала.

Получим соотношение между энергиями физического и аналитического сигналов.

В соответствии с равенством Парсеваля энергия физического сигнала равна

В свою очередь энергия аналитического сигнала определяется соотношением

Сравнение приведенных соотношений показывает, что энергия аналитического сигнала в 2 раза больше энергии физического сигнала. Это понятно, если учесть, что преобразование Гильберта не изменяет амплитудных соотношений в спектре сигнала.