Глава четвертая теория четырехполюсников

1. Теория пасивных четырехполюсников

4

Четырехполюсником называют электрическую цепь, в которой важными являются две ветви, одна из которых входная, а другая - выходная

.1Вывод уравнений пассивного четырехполюсника.

На рис.4.1 приведена схема четырехполюсника

Будем считать определяющими величинами: U₁ ,I₁ ,U₂ , I_{2 .}

Поставим цель, считая известными любые две из перечисленных величин, найти две оставшиеся. Таких вариантов будет шесть. Они определяют следующие формы записи уравнений четырехполюсников

А) Осуществим вывод уравнений пассивного четырехполюсника в “Y” форме. Воспользуемся методом наложения

Рассмотрим четырехполюсник, представленный на рис.4.2, и проделаем вывод уравнений пассивного четырехполюсника . Для этого четырехполюсник представим в виде рис.4.3, где входное и выходное напряжения заменены фиктивными источниками.

По принципу независимости действия источников ток в каждой ветви можно определить, суммируя составляющие токов от каждого источника схемы. Схема рис.4.3 будет эквивалентна совокупности двух схем, представленных на рис.4.4 и рис.4.5.

Последние уравнения представляют собой Y-форму

Б) Вывод уравнений пассивного четырехполюсника в “Z” форме:

Для вывода воспользуемся уравнениями Y-формы

вычислим определители то входное и выходное напряжения равны

или после формирования столбцов токов

Если ввести матрицы столбцы напряжений и токов, то можно получить уравнения в матричном виде.

Если обозначить коэффициенты в правых частях последних уравнений сопротивлениями, то уравненияZ- формы примут вид

В) Уравнения пассивного четырехполюсника в “А” форме.

При выводе также воспользуемся уравнениями Y- формы

Если в уравнениях поменять местами индексы и коэффициенты А иD, то можно получить уравнения «В» – формы.

Особое свойство коэффициентов «А» – формы (проверка расчетов).

AD–BC= 1.

Отсюда следует: любой пассивный четырехполюсник можно представить трехэлементной схемой.

1). Т – образная схема замещения рис.4.6.

2). П – образная схема замещения рис. 4.7.

Поступая аналогично, можно получить уравнения оставшихся форм.

Оставим это читателю для самостоятельной проработки

4.2. Режимы работы пассивных четырехполюсников.

Различают следующие режимы работы четырехполюсников:

• холостой ход,

• короткое замыкание,

• режим нагрузки,

• режим согласованный нагрузки.

Рассмотрим эти режимы.

1). Режим холостого хода прямого включения.

В исследованиях используем «А» форму. На рис.4.8 приведена схема в режиме холостого хода. В уравнениях А-формы будет отсутствовать второй столбец

2). Холостой ход при обратном включении четыреполюсника (В-форма).

На рис.4.9 показана схема четырехполюсника в режиме холостого хода обратного включения. Уравнения будут такими же, как в предыдущем

случае, только вместо коэффициента А будет стоять коэффициент D.

Сопротивление этого режима связано с коэффициентамиDи С

3). Режим короткого замыкания прямого включения.

Как и в предыдущих случаях в уравнениях будет отсутствовать один столбец, а схема будет иметь вид, как показано на рис.4.10

Аналогично получим сопротивление, связанное с коэффициентами В иD

4).Короткое замыкание обратного включения.

Схема четырехполюсника получит вид рис.4.11

5).Режимы нагрузки и согласованной нагрузки.

Схема четырехполюсника примет вид рис.4.12. Учтем нагрузку в уравнениях четырехполюсника

Это сопротивление может быть только одного значения и на выбранной частоте .

Найдем для четырехполюсника повторное сопротивление z, если известныA,B,C,D.

Для симметричного четырехполюсника, когда сторона подключения не изменят параметры на выходе, когда коэффициент AравенD.

z- однозначно зависит отBи Сповторное сопротивление.

Рассмотрим согласованный режим нагрузки. Воспользуемся уравнениями «А» формы.

Включим на выход четырехполюсника сопротивление z_н=z₂, тогда если поделить первое уравнение на второе и подставить вместо:

Отсюда: Такой режим четырехполюсника называютсогласованным.

А сопротивления z₁иz₂–согласующими.

Из режимов ХХ и КЗ следует:

Если же четырехполюсник симметричный, то есть A=D,

Тогда z_c1=z_c2=z– повторное сопротивление.

4.3. Связь коэффициентов «А» -формы уравнений четырехполюсника со входными сопротивлениями.

Если найти параметры входных сопротивлений z_1x,z_2x,z_1k, z_2k, то можно всегда найти связь этих сопротивлений с коэффициентами четырехполюсников.

По найденному коэффициенту А и выше приведенным сопротивлениям можно определить остальные коэффициенты:

Если удается измерить входное сопротивление в режимах короткого замыкания и холостого хода, то, пользуясь полученными формулами, можно всегда получить уравнения этого четырехполюсника.

4. . Приведение пассивного четырехполюсника к «Т» схеме замещения.

Воспользуемся режимами холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника, см. схемы рис.4.13 .

Если известны параметры «Т» схемы, то можно получить уравнения четырехполюсника и наоборот, если заданы уравнения, по ним всегда можно получить «Т»-схему замещения.

Отсюда следует еще один вывод .

Если удается измерить входные сопротивления четырехполюсника, то можно составить уравнения и определить параметры «Т» схемы замещения и составить её.

5. Приведение пассивного четырехполюсника к «П» схеме замещения.

Пусть заданы уравнения четырехполюсника.

Свяжем коэффициенты А, В, С, Dс параметрамиz₀,y₁,y₂ , см. рис.4.13.

Для этого воспользуемся режимами ХХ и КЗ.

Все выводы справедливы для одной частоты, поэтомуне всякуюмногофункциональную схему можно заменить трехэлементной.

5. Уравнения симметричного четырехполюсника нагруженного на повторное сопротивление.

Т.к. A=D и AD-BC=1, то из четырех остается два независимых коэффициента. Возьмем уравнения в «А» форме.

поделив первое на второе:

подставим в исходное уравнение первое, тогда:

Правая часть определяет функцию передачи напряжения и тока со входа на выход.

где -комплексное число.

Коэффициент =+jназывают коэффициентом распространения.

2. ТЕОРИЯ АКИТИВНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ.

Активный четырехполюсник, в соответствии с методом наложения, представим двумя четырехполюсниками, как показано ниже на рис.4.16.

Запишем уравнения пассивного четырехполюсника «П» в «А» форме, а для активного зафиксируем токи.

Висходную схему на входных и выходных зажимах добавим источники тока, по величине равные зафиксированным токам (рис.4.17). Если выбратьI_{1к з}такой, чтобы он компенсировалI₁^{``</sup>и аналогичноI<sub>2кз</sub>-I<sub>2</sub><sup>``}. Тогда получиться пассивный четырехполюсник.

По первому закону Кирхгофа:

Подставим в начальные уравнения «А» формы и получим уравнения активного четырехполюсника:

2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАНЕНИЯХ 2n- ПОЛЮСНИКОВ

(n=1,2,3,…,n).

U₁, U₂, U₃, I₁, I₂, I₃ – неизвестно.

Уравнения четырехполюсников в «А» форме, нельзя применить к этому 2n– полюснику.

Рассмотрим “z” форму для 2n– полюсника

. Так же годиться «у» форма уравнений.

Вывод: для 2n – полюсников применимы “y” и “z” формы.

2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПОДКЛЮЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ.