137

6. Синтез электрических цепей

6.1. Характеристика синтеза

Синтезом линейной электриче­ской цепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих ее элементов R, L, С по известным операторным вы­ражениям этой цепи или по временным характеристикам при воз­действии на вход импульса определенной формы. Одному и тому же операторному выражению, принятому в качестве исходного при син­тезе, может соответствовать несколько различных схем разной струк­туры. Поэтому, после того как получено несколько решений, выбирают из них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончатель­ном выборе схемы являются стоимость, габариты и масса устройства.

Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотех­нике, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сгла­живающих устройств.

Синтез развивался главным образом по двум направлениям:

1)по известным операторным функциям [по Z(p) для двухполюсников и по передаточной функции для четырехполюсников];

2) по временным характеристикам, т. е. по известному временному отклику системы при воздействии импульса обычно прямоугольной формы.

Эти два направления взаимно дополняют и развивают друг друга. В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на первом из упомянутых направлений.

Методика синтеза цепей по заданным временным функ­циям здесь не рассматривается.

В теории автоматического регулирования распространен синтез, основанный на использовании логарифмических частотных характе­ристик, в импульсной технике подбор параметров электронных и по­лупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем, производят, используя спектральный метод.

6.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопро­тивления двухполюсников

Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора р,

(6.1)

то должны выполняться следующие пять условий:

1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 выте­кает из условия 3);

2) наивысшая степень полинома числителя (п) не может отличаться от наивысшей степени полинома знаменателя (т) более чем на 1. То же и в отношении минимальных степеней числителя и знаменателя;

3) если условиться значения р, при которых Z(p)=0, называть нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(p)=, назы­вать полюсамиZ(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р;

4) нули, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;

5) если вместо р в выражение Z(p) подставить , то при любом значениидолжно бытьRe Z()0.

Поясним эти требования. Известно, что свободные про­цессы описываются слагаемыми вида и обязательно должны затухать во времени;p_k— корни уравнения Z(p)==0. Но затухать свободные процессы (слагаемые вида ) могут только в том слу­чае, если действительная частьp_k, отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения Z(р)=0 должны обязательно находиться в левой части плоскости р.

Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника Y(р)=Z(p)/k, где k-некоторый коэффициент, имеющий размерность Ом², то входное сопротивление дуального двухполюсника равно k/Z(р). Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исход­ного, также должны быть расположены в левой части плоскости р.

Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения N(р)=0, то соответствующие им слагаемые в ре­шении берутся в виде . Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня , то соответствующая им свободная составляющая нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может. Все коэффициенты a и b в числителе и знаменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это усло­вие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица, среди корней уравнения Z(p)=0 появились бы корни с положительной действительной частью.

Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цеп­ной) схемы по типу рис. 6.1 в которой продольные сопротивления названыZ₁, Z₃, Z₅, ... и поперечные проводимости -Y₂, Y₄, Y₆, ..., могут быть представлены непрерывной дробью.

Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к зажимам тп. Она равна .Суммарная проводимость правой части схемы по отношению к зажимамтп c учетом ветви с проводи­мостью Y₄ равна . Входное сопротивление по отношению к тем же зажимам

Далее определим входное сопротивление всей схемы, равное:

(6.2)

Таким образом, возникает задача о переходе от (6.1) к (6.2), т. е. задача о последовательном упорядоченном определении элементов лест­ничной схемы ( Z₁, Z₃, … ; Y₂, Y₄, Y₆, … ) по выражению (6.1). С этой целью:

1) располагаем полиномы N(р) и М(р) либо по убывающим, либо по возрастающим степеням р;

2) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1;

3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к рас­положению их по возрастающим степеням, то эта операция вполне допустима.

При делении полинома N на полином М будет получено частное Z₁ остаток O₁/M, т. е.

При делении O₁/M, будет получено частное Y₂ и остаток .

Но . Поэтому .

На основании изложенного процесс последовательного определения элементов можно представить следующей схемой:

N | M

MZ₁| Z₁

M | O₁

O₁Y₂ | Y₂

O₁ | O₂

O₂Z₃ | Z₃

O₂ | O₃

O₃Y₄| Y₄

O₃| O₄

Z₅O₄| Z₅

……………………………………

……………………………………

На рис. 6.1 изображена соответствующая схема.

В заключение отметим, что могут встретиться такие сопротивления Z(p), кото­рые невозможно представить лестничной схемой. В этом случае при­меняют второй способ реализации (метод Фостера). [Второй спо­соб применяют не только в случае невозможности представления Z(p) лестничной схемой.]

Если и он окажется неприменимым (например, при комплексных нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом Бруне.