Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский биотехнологический университет (РОСБИОТЕХ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анал.геометрия).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1,

2x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1,

25.

x1 −

x2 −

2x3

= 0,

= 1,

−

+ 5x

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 4,

2x1 − x2 + x3 − 4x4 = 3,

27.

2x2 − x3 +

x4 = − 1,

3x1 + 5x2 − x3 + 7x4 = 2.

x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = 2,

2x1 +

4x3 −

3x4 =

29.

3x2 + x3 − x4 = 2,

x1 − x2 + 2x4 = 3.

x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 2,

2x1

− x2 + x4 = 3,

26.

x1 + 2x3 + x4 = 6,

3x2

3x3 +

2x4 =

3x1 − x2 + 4x3 − x4 = 2,

x2 + x3 + x4 = 2,

x1 +

28.

− 2x1 − x2 +

2x3 −

x4 =

−

4x1 − x2 + 2x3 = 1,

3x2 − 2x3 = 1,

30.

x1 +

2x1

−

7x2 +

6x3 =

− 1,

5x1

2x2 =

6. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются для переработки.

Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради

вклетку чернилами любого цвета, кроме красного.

Взаголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в академию и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться.

Вработу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.

Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КР № 1

Тема 2.1. Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера

Основные теоретические сведения I. Определители

Определение 1. Определителем второго порядка, отвечающим мат-

рице

A =	a	11	a	12	,
A =		11		12	,
	a21		a22
	a21		a22

называется число, которое обозначается A , det A,

a a

12 и которое

равно произведению элементов на главной диагонали матрицы минус произведение элементов на побочной диагонали:.

a a

11	a12	= a11a22 − a12a21	(1.1)
21	a22

Например,	3	− 2	= 3 5 − (− 2) 4 = 23.
Например,	3	− 2	= 3 5 − (− 2) 4 = 23.
	4	5

Определение 2. Определителем третьего порядка, отвечающим мат-

рице	a		a		a
		11		12		13
A =							,
	a21		a22		a23
	a31		a32		a33

называется число, равное

a11	a12	a13	=
a21	a22	a23	=
a31	a32	a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 . (1.2)

Запомнить формулу (1.2) легко в виде так называемых «правила треугольнков» или «правила Саррюса».

Правило треугольников. Определитель A матрицы третьего порядка равен

сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали минус про-

	37
изведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах треуголь-
ников с основаниями, параллельными побочной диагонали (см. рис.1). На рис.1
«кружочками» обозначены соответствующие элементы определителя.
Правило Саррюса. В соответствии с правилом Саррюса из матрицы А
		нужно составить новую матри-
		цу, приписав справа к матрице
		А сначала первый, а потом вто-
		рой её столбцы. Затем нужно
		перемножить элементы новой
		матрицы в соответствии со схе-
		мой, приведённой на рис.2.
		Элементы новой матрицы пе-
ремножаются в направлении стрелок. Полученные произведения берутся со
знаками «+» в направлении главной диагонали матрицы А и со знаком «-» в
направлении побочной диагонали.		1	−	2	0

Пример 1.1. Вычислить определитель		3	−	1	4
	−	5		0	7
а) по правилу треугольников;	б) по правилу Саррюса.
Решение.
а)
=1·(-1)·7+(-2)·4·(-5)+0·3·0-(0·(-1)·(-5)+(-2)·3·7+1·4·0)=-7+40+0-(0-42+0)=75;
б)
=1·(-1) 7+(-2) 4·(-5)+0·3·0-(0·(-1)·(-5)+1·4·0+(-2)·3·7)=-7+40+42=75.

Приведённые выше правила вычисления определителей второго и третьего порядка применимы только к таким определителям. Для вычисления определителей четвёртого и более высоких порядков нужны новые понятия.

Определение 3. Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка на-

зывается определитель (n – 1)-го порядка, получающийся из данного определителя матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (строки и столбца, в которых стоит элемент aij ).

Определение 4. Алгебраическим дополнением Аij элемента aij определителя n-го порядка называется число, равное(− 1)i + j Mij , т.е.

Aij = (− 1)i + j Mij ,

(1.3)

где i – номер строки, j – номер столбца а пересечении которых стоит элемент aij

Из формулы (1.3) следует, что алгебраическое дополнение Аij отличается от отвечающего ему минора Mij только знаком, т.е. Аij = Mij , если сумма индексов (i + j) является чётным числом, и Аij = − Mij , если (i + j) – нечётное число.

Пример 1.2. Вычислить миноры M22 ,M34 и отвечающие им алгебраические дополнения А22 ,A34 , если

								−			2	1	0	1
									1			3	2	0
						A =			1			3	2	0
						A =				−	1	1	3			.
										−	1	1	3		− 1

									0			1	0	2
Решение.									0			1	0	2
Решение.		−	2	1	0	1
										−	2	0	1


			1	3	2	0
M22	=		1	3	2	0	=			−	1	3	−	1	=	(− 2) 3 2 = − 12;
		− 1		1	3	− 1				0		0	2
			0	1	0	2				0		0	2
			0	1	0	2

A22 = (− 1)2+ 2 (−						12) =	−		12;
		−	2	1	0	1				−	2	1	0


			1 3 2 0
M34	=		1 3 2 0				=			1 3 2				= − (− 2) 21 = 4;
M34	=	− 1		1	3	− 1	=			1 3 2				= − (− 2) 21 = 4;
		− 1		1	3	− 1				0		1	0
			0	1	0	2				0		1	0
			0	1	0	2
A34 = (− 1)3+ 2 4 = − 4.
Ответ: M22 = −	12, А22 =				− 12; M34 =						4, А34 =				− 4.

Опрделение 5. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов первой строки определителя на их алгебраические дополнения, т.е.

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n	= a11A11 +	a12 A12 +	... + a1n A1n =	∑n	a1jA1j . (1.4)
...	...	...	...				j=	1
an1	an2	...	ann

Вычисление определителя по формуле (1.4) называют разложением определителя n-го порядка по первой строке.

Можно показать, что разлагать определитель можно по его любой строке и по любому столбцу:

a11	a12	...	a1j ...	a1n
a21	a22	...	a2j ...	a2n
...	... ... ... ...			...	= ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain =	(1.5)
ai1	ai2	...	aij ...	ain
...	... ... ... ... ...
an1	an2	...	anj ...	ann
			=a1jA1j +	a2jA2j + ... + anjAnj .		(1.6)

Формула (1.5) даёт разложение определителя по некоторой i-й строке, где i – любое из чисел 1, 2, …, n. Формула (1.6) даёт разложение по j-му столбцу,

где также j {1,2,...,n} .

Пример 1.3. Вычислить определитель матрицы А, приведённой в примере 1.2, разложив его по четвёртой строке.

	−			Решение.
		2		1	0	1			1	0	1			− 2 0	1				− 2 1 1


		1 3			2	0
		1 3			2	0	=	0 (− 1)	3	2	0	+	1	1 2	0	+	0 (− 1)	1 3 0		+
	− 1			1	3	− 1			1	3	− 1			− 1 3	− 1				− 1 1 − 1
		0		1	0	2			1	3	− 1			− 1 3	− 1				− 1 1 − 1
		0	−	1	0	2
				2	1	0
		2							А41					А42					А43
									А41					А42					А43
+				1	3	2	=	0 + (4 + 3 +		2) + 2 (− 18 − 2 + 4 − 3) =							− 29.
+				1	3	2	=	0 + (4 + 3 +		2) + 2 (− 18 − 2 + 4 − 3) =							− 29.
			− 1		1	3			А42					А44
									А42					А44

А44

Ответ: А = − 29.

Наличие двух нулей в четвёртой строке, по которой производится разложение, избавило нас от необходимости вычислять два определителя третьего порядка.

Нельзя ли преобразовывать определитель так, чтобы в некоторой строке (столбце) получались нули, а значение определителя при этом не изменялось? Оказывается, что такие преобразования возможны. Основываются эти преобразования на свойствах определителей, основным среди которых является сле-

дующее свойство: если к элементам какой-либо строки (столбца) определи-

теля прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), ум-

ноженные на произвольное число λ , то величина определителя не изме-

нится, т.е., если

	а11	a12	...	a1n		а11	a12	...	a1n
	a21	a22	...	a2n		a21	a22	...	a2n
A=	...	...	...	...	, А1 =	...	...	...	...		,
	ai1	ai2	...	ain		ai1 + λ а11	ai2 + λ а12	...	ain + λ	а1n
	...	... ... ...				...	...	...	...
	an1	an2	...	ann		an1	an2	...	ann

то A1 = A .

Пример 1.4. Вычислить определитель матрицы А, приведённой в примере 1.2, получив нули в некоторой строке или в некоторой строке или в некотором столбце.

Решение. В четвёртой строке уже есть два нуля, поэтому удобно получить ещё один нуль и потом вычислить определитель, разложив его по четвёртой строке. Для этого прибавим к каждому элементу 4-го столбца соответствующие элементы 2-го столбца, умноженные на (-2), т.е. к 4-му столбцу прибавим 2-й, умноженный на (-2):

− 2	1	0	1		− 2	1	0	1 + (− 2) 1		− 2	1	0	− 1
− 2	1	0	1		− 2	1	0	1 + (− 2) 1		− 2	1	0	− 1
1	3	2	0	=	1	3	2	0 + (− 2) 3	=	1	3	2	−	6	=
− 1	1	3	− 1	=	− 1	1	3	− 1 + (− 2) 1	=	− 1	1	3	−	3	=
0	1	0	2		0	1	0	2 + (− 2) 1		0	1	0		0

= 0 А41 + 1 А42 + 0 А43 + 0 А44 = 1	−	2	0	−	1

	1		2	− 6		.
	−	1	3	−	3

Для вычисления полученного определителя третьего порядка вновь получим нуль, например, в 1-й строке:

		−	2	0	−	1		−	2 +	(− 2)(− 1)	0	−	1		0	0	−	1

А	=		1	2	−	6	=		1 +	(− 2)(− 6)	2	−	6	=	13	2	−	6	=

		−	1	3	−	3		−	1 +	(− 2)(− 3)	3	−	3		5	3	−	3

=	0 А	+	0 А	+	(− 1) А	= − 1	13	2	= − (13 3 − 2 5) = − 29 .
	11		12		13		5	3
							5	3

Ответ: А = − 29.

II. Решение СЛАУ по правилу Крамера

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, записанную в общем виде:

a11x1 +			a12x2	+
	a21x1	+	a22x2	+

	a31x1	+	a32x2	+

Утверждение. Если определитель				∆ =

a13x3	=	b1 ,
a23x3	=	b2 ,	(1.7)
a33x3	=	b3 .

a11	a12	a13	основной мат-
a21	a22	a23	основной мат-
a31	a32	a33

рицы СЛАУ (1.7) не равен нулю, то система уравнений при любой правой части имеет единственное решение, которое находится по формулам:

x1 =	∆ 1	,	x2 =	∆ 2	,	x3 =	∆ 3	,	(1.8)
	∆			∆			∆

где

b1 a

∆ 1 = b2 a b3 a

a a a

13			a
23	,	∆ 2 =	a
33			a

11 b1 a

21 b2 a

31 b3 a

13			a
23	,	∆ 3 =	a
33			a

a a a

12 b1

22 b2 . (1.9)

32 b3

Сформулированное утверждение называется правилом Крамера. Пример 1.5. Решить систему методом Крамера:

5x1 −		x2 + 7x3 = − 2,
	3x1 +	2x2 − 2x3 = 5,


x1 + x2 − x3 = 2.

Решение. Вычислим определитель основной матрицы А:

	5	− 1	7		5	− 6	6
	5	− 1	7		5	− 6	6
∆ =	3	2 − 2		=	3	− 1	0	= 6 ≠ 0 .
	1	1	− 1		1	0	0

Для вычисления определителя ∆ были получены нули в третьей строке. Для этого из второго столбца вычли первый; к третьему столбцу прибавили первый столбец. Следовательно, система имеет единственное решение. Для нахождения этого решения вычислим определители ∆ 1 ,∆ 2 ,∆ 3 по формулам (1.9):

	−	2	− 1	7		− 2	− 1	6	= 6 1 = 6 ,
	−	2	− 1	7		− 2	− 1	6
∆ 1 =		5	2 − 2		=	5	2	0
		2	1	− 1		2	1	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.201539.22 Mб24zoo.doc
#
09.04.201586.52 Кб141zoologia.docx
#
09.04.2015192.46 Кб10_fsvps-docs_ru_importExport_tsouz_docs_sogl.pdf
#
09.04.2015161.79 Кб67автоматика.doc
#
09.04.201515.75 Кб31акт по определению отходов и потерь сырья.docx
#
09.04.20151.4 Mб23Анал.геометрия).pdf
#
09.04.201524.93 Кб225Анализ данных Тесты и Ответы.docx
#
09.04.2015129.02 Кб22Анализ экспериментальных данных.doc
#
26.11.201870.48 Кб7Английский 2 курс (3 сем) 2 методичка. М.С. Иоа....docx
#
26.11.201871.66 Кб6Английский 2 курс (3 сем). М.С. Иоаниди.docx
#
09.04.2015407.28 Кб12АРМЕНИЯMicrosoft Word.docx