51

S∆

=

1

[

,

]

или по формуле S∆ =

1

ВС h , где h - длина высоты, опущен-

АВ

АС

2

2

Решение. Дано:

0M

=

4

(см. рис.14), где 0M =

x2 + y2 ; МР =

y -

9

.

MP

5

4

x

2

+

y

2

=

16

9

2

x

2

+

y

2

1 −

16

+

8 9

y −

81

= 0

25

y −

4

25

25

25

x2 +

9

(y2 +

8y +

16) − 16

−

81

= 0

x2

+

(y +

4)2

=

1.

25

25

9

25

М0 (0;-4) и полуосями

a = 3, b = 5 (см. рис.15).

Ответ:

x2

+

(y + 4)

2

9

25

= 1.

Ax + By +

Cz +

D = 0 -

(4.1)

общее уравнение плоскости;

y0) +

C( z − z0) = 0 -

A(x − x0) + B( y −

(4.2)

M0M

a

b

=

0

или в скалярной форме

x − x0

y − y0

z − z0

x1

y1

z1

= 0 -

(4.3)

x2

y2

z2

уравнение плоскости, проходящей через точку

M(x0;y0;z0)

и параллельной

векторам a = (x1;y1;z1),

= (x2;y2;z2) ;

b

x

+

y

+

z

= 1 -

(4.4)

b

a

c

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y2 −

y1

z2 −

z1

= 0 -

(4.5)

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

уравнение плоскости,

проходящей

через

три

точки

M1 (x1;y1;z1) ,

M2 (x2;y2 ;z2) , M3 (x3 ;y3 ;z3) , не лежащие на одной прямой.

Прямая L в пространстве может быть задана

а) общими уравнениями – как пересечение двух непараллельных плоско-

стей

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

(4.6)

L :

A2x + B2y + C2z +

D2 =

0;

б) каноническими уравнениями

L :

x − x0

=

y −

y0

=

z − z0

,

(4.7)

l

m

n

где M(x0;y0;z0) - точка, через которую проходит прямая;

q = (l;m;n) - на-

правляющий вектор прямой;

в) параметрическими уравнениями

x

=

x0 +

tl,

=

y0

+

tm,

(4.8)

L : y

=

z0

+

tn.

z

53

Углом ϕ

между прямой ( L ) :

x − a =

y − b =

z − c и плоскостью

α : Ax + By +

m

n

p

Cz +

D =

0 (см. рис. 16) называется острый угол между прямой

и ее проекцией на плоскость.

(

)

N,

a

Am +

Bn + Cp

sin ϕ

=

N a =

A2 +

B2 + C2 m2 +

n2 + p2 ,

(4.9)

Am +

Bn + Cp =

0 - условие параллельности прямой и плоскости.

A

=

B

=

C

- условие перпендикулярности прямой и плоскости.

n

p

m

Решение. Нормальный вектор плоскости

= (5; 3; −

7)

можно считать

N

направляющим вектором

прямой

L (см. рис. 17). Прямая

L проходит через

точку A(3; − 2; 4) и имеет направляющий вектор

= (5; 3; − 7)

. В соответствии с

q

формулой (4.7) получим уравнения искомого перпендикуляра:

x − 3

=

y + 2

=

z − 4

.

5

3

Ответ: L : x − 3

y + 2

= z −

−

7

=

4 .

5

3

−

7

x − 1

y + 1

z

Пример 4.2. Найти точку пересечения прямой

=

=

и плос-

6

кости 2x + 3y +

z − 1 = 0.

1

−

2

Решение.

Запишем уравнения прямой в параметрической форме и ре-

шим систему уравнений:

x = t + 1,

y =

− 2t −

1,

z = 6t,

(4.10)

2x +

3y +

z −

1 = 0,

откуда 2(t + 1) +

3(− 2t − 1) +

6t −

1 = 0,

t = 1.

Ответ: P(2; −

3; 6) .

Пример 4.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(1;2;− 3), параллельно прямым

x − 1

=

y + 1

=

z − 7

,

x + 5

=

y − 2

=

z + 3

.

3

2

−

3

3

− 2

− 1

Решение. Искомая плоскость параллельна данным прямым, следова-

тельно, ее нормальный вектор

перпендикулярен направляющим векторам

N

1 =

(2;− 3;3)

и

2 = (3;−

2;− 1)

прямых

L1

и

L2 .

Поэтому можно принять

q

q

=

[

1 ,

2], т.е.

N

q

q

i

j

k

=

2

−

3

3

=

9i +

+

N

11j

5k.

3

−

2

− 1

M(1;2;−

3), перпендикулярно к вектору

=

(9;11;5) . В соответствии с (4.2) урав-

N

нение плоскости будет иметь вид

9(x −

1) +

11(y − 2) +

5(z +

3) =

0 или 9x +

11y +

5z -16 =

0.

Ответ:

α : 9x +

11y +

5z − 16 =

0 .

Пример 4.4 Составить уравнение плоскости α

,

проходящей через пря-

мую

x − 1

y + 2

z − 2

=

=

,

2

2

−

3

перпендикулярно к плоскости 3x +

2y −

z −

5 = 0

(α 1 ).

Решение.

Из

условия

задачи

и рис.18

следует,

что вектор нормали N ис-

комой

плоскости

α

должен

быть

перпендикулярен

к

вектору

= (3; 2; −

1)

нор-

N1

мали

плоскости α 1 и направ-