Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский биотехнологический университет (РОСБИОТЕХ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анал.геометрия).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Следовательно, можно положить

= [

] =

− 3

= − i + 8

j + 13k.

− 1

Точка M(1;− 2;2) α . Применяем формулу (4.2):

− 1(x − 1) + 8(y +	2) + 13(z − 2) = 0,
− x + 8y + 13z −	9 = 0,

x − 8y − 13z + 9 = 0.

Полученное уравнение является уравнением искомой плоскости α .

Ответ: α : x − 8y − 13z + 9 = 0 .

Тема 2.5. Алгебра матриц

Основные теоретические сведения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными, записанную в матричном виде

CX = D,

где C - квадратная матрица размером n n , X - вектор-столбец размером n m ; D - матрица размером n m .

Если матрица C невырожденная (т.е. ее определитель не равен нулю), то она имеет обратную С− 1 и единственное решение данной системы имеет вид

									Х =		C− 1D .
Пример 5.1.				Решить систему уравнений										СХ = D средствами матрично-
го исчисления, где				С = A +		kB и
	5		− 3		3			0		1	2				х1					−	2
А =		7	− 4		− 4	, B =	−	2		3	1		, Х =			х	2	, D =			5	, k = 2.
																	2
		1		1 − 5				0	0		2										2
		1		1 − 5				0	0		2				х3						2
Решение.			Находим матрицу С:
						5 − 3			3				0	2		4		5		− 1			7
	C =		A +		kB =	7 − 4 −			4			− 4		6		2			3	2 −
	C =		A +		kB =	7 − 4 −			4		+	− 4		6		2		=	3	2 −			2 .
						1	1 −		5				0	0		4			1	1 −
						1	1 −		5				0	0		4			1	1 −			1

Вычислим определитель матрицы С :

56
5	− 1	7
det C = 3	2	− 2	= 6.

11 − 1

Так, как det C ≠ 0, то матрица С имеет обратную. Находим обратную матрицу С− 1. Сначала вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы С:

		C	=				2 − 2					= 0, C						= −							3						2		= 1, C					=		3 2					= 1,
		C	=				2 − 2					= 0, C						= −							3						2		= 1, C					=		3 2					= 1,
		11					1		− 1					12											1					− 1						13				1		1
							1		− 1																1					− 1										1		1
	C21 =				− 1					7	=		6, C22 =								5									7		=	− 12, C23 = −										5			− 1	=	− 6 ,
	C21 =				− 1					7	=		6, C22 =								5									7		=	− 12, C23 = −										5			− 1	=	− 6 ,
						1			− 1												1							− 1															1			1
	C31 =			− 1				−		7	=		− 12, C32							=					−				5			−	7		=	31, C33 =								5		− 1		= 13.
	C31 =			− 1						7	=		− 12, C32							=					−				5				7		=	31, C33 =								5		− 1		= 13.
						2				2																			3				2											3		2
Составляем присоединенную матрицу																												:
Составляем присоединенную матрицу																								C				:
										C11					C21							C31											0				6			− 12

								C =				C12			C22							C32									=			1		− 12					31 .
												C			C	23						C				33								1		− 6					13
											13					23										33
Находим обратную матрицу С − 1 :																															0					6	− 12
																															0					6	− 12
										С− 1 =					1							=					1				1 −				12				31 .
															1				C								1
																			C
															det C												6
															det C												6				1			−		6
Находим решение системы:																															1			−		6			13
Находим решение системы:
							x													0											6				− 12 − 2											1
		Х				= x1					= С−			1D =				1					1 − 12													31			5				=			0 .
		Х				= x1					= С−			1D =									1 − 12													31			5				=			0 .
								2									6
																	6						1								− 6								2
								x3															1								− 6					13			2							− 1
Проверка: вычислим СХ:													5 − 1															7					1			−	2
													5 − 1															7					1			−	2
									CХ =					3			2						− 2										0		=		5
									CХ =					3			2						− 2										0		=		5		.
														1			1																				2
														1			1								− 1 −								1				2
Видим, что СХ=D, значит решение найдено верно.
	x1					1
	x					0				или x1 = 1,											x2						=			0,				x3 =			− 1.
Ответ: Х =	x	2 =				0		,		или x1 = 1,											x2						=			0,				x3 =			− 1.
	x
	x	3				− 1

Тема 2.6. Исследование систем и их решение методом Гаусса

Основные теоретические сведения

Арифметический вектор (вектор-строка) a = (x;y;z) называется ненулевым, если x2 + y2 + z2 ≠ 0 .

Вектор a = (0;0;0) называется нулевым.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

-перестановка строк матрицы;

-умножение строки на некоторое число;

-прибавление к некоторой строке матрицы другой (других), умноженной (умноженных) на некоторое число (числа).

	a11
Утверждение. Всякую матрицу A =	a11		K a1n		с помощью эле-
Утверждение. Всякую матрицу A =	K		K	K	с помощью эле-
	a		K	amn
	a	m1	K	amn
		m1

ментарных преобразований можно привести к ступенчатому виду

		a	11	a	12	a	13	K a		1s

		0		a22		a23		...	a2s
		0		0		a	33	K a		3s
~					.			.
	.						.			.
A =		0		0		0		...	ass

		0		0		0		...	0
					.		.	.		.
	.
		0		0		0		.	0

K a		1n
		1n
K a2n
K a3n
K a3n
. .			, s ≤min{m,n}.	(5.1)
			, s ≤min{m,n}.	(5.1)
...	asn
...	0
. .
. .
.	0
.	0

Определение. Рангом матрицы A называется число ненулевых строк
	~
ступенчатой матрицы A, полученной из A с помощью элементарных преоб-
разований. Так, в (5.1)		~
	rgA = rgA = s .
Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ
a11x1 +		a12x2 +	... +	a1n xn =	b1 ,
	a21x1 +	a22x2 +	... +	a2n xn =	b2 ,


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	am1x1 + am2x2		+ K+ amn xn = bm

совместна (имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы A СЛАУ равен рангу основной матрицы A (rgA = rgA) .

При этом, если


		=	rgA =	n, то СЛАУ имеет единственное решение;
а) rgA
		=	rgA =	k <n, то СЛАУ имеет бесконечно много решений;
б) rgA
	≠				= rgA + 1, то СЛАУ несовместна (не имеет реше-
в) rgA			rgA, т.е. rgA

ния).

Пример 6.1. Найти ранг матрицы

	2	− 1	3	0
	− 1	4	2
A =				1
	0	7	7	2	.

	1	− 4	− 2
				− 1

Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы так, чтобы последовательно получились нули в первом, втором и т.д. столбцах матрицы

Получена ступенчатая матрица с двумя ненулевыми строками. Поэтому ее ранг, а значит, и ранг исходной матрицы равны 2.

В процессе получения ступенчатой матрицы выполнены следующие элементарные преобразования:

-на первом шаге переставлены местами 1-я и 2-я строки;

-на втором шаге ко второй строке прибавлена первая, умноженная на 2; к четвертой строке прибавлена первая.

Врезультате получены нули во втором столбце;

-на третьем шаге к третьей строке прибавлена вторая, умноженная на (-1) (из третьей строки вычтена вторая).

Пример 6.2. Исследовать СЛАУ на совместность и если она совместна, то найти ее решение:

2x1 + x2 + x3 = 2,
		+ 3x2 +	x3	= 5,
x1
		+ x2 + 5x3		= − 7,
x1
	2x1 + 3x2		− 3x3 = 14.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы и, последовательно получая нули в первом и втором столбцах с помощью элементарных

преобразований, получаем матрицу
			2	1	1	M	2		1	3	1	M	5		1 3 1			M	5

		=	1	3	1	M	5	~	0	− 2	4	M − 12		~	0	− 1 2		M	− 6	~
	A
			1	1	5	M − 7			0	5	1	M	8		0	0	11	M −	22
			2	3	− 3	M	14		0	3	5	M	− 4		0	0	11	M −	22

	1	3	1	M		5
~	0	− 1 2		M −		6	rg(A) = rg(		) = 3,
~	0	− 1 2		M −		6	rg(A) = rg(	A	) = 3,
	0	0	1	M	−	2
	0	0	0	M		0

где А - основная матрица системы.

По теореме Кронекера -Капелли данная система имеет единственное решение.

Обратной подстановкой решим систему уравнений:

					x1 +		3x2 +		x3 = 5,
							+	2x	3 =	− 6,
					− x2		+	2x	3 =	− 6,
						=	−	2.
					x3	=	−	2.
Из второго уравнения находим х2 =						2х3+			6=	2, а из первого уравнения
получаем х	1	=	5−	3х−	х= 1. Система имеет единственное решение:
	1			2	3
			1		x1 = 1, x2 = 2, x3 = − 2 .


Ответ: X =			2
Ответ: X =			2	.
		−	2
		−	2
Пример 6.3. Исследовать СЛАУ на совместность и если она совместна, то
найти ее решение					x1 + x2 − 3x					3 = 1,
					x1 + x2 − 3x					3 = 1,
							x2 −		2x3 = 1,
					2x1 +		x2 −		2x3 = 1,
						+ x2 + x3				= 3,
					x1	+ x2 + x3				= 3,
						+ 2x2 − 3x3 = 1.
					x1	+ 2x2 − 3x3 = 1.

Решение:
			1	1	− 3	M 1			1	1	− 3	M 1			1	1	− 3 M 1

		=	2	1	− 2	M 1		~	0	− 1	4	M 3		~	0	− 1	4	M 3		~
	A
			1	1	1 M		3		0	0	4	M	4		0	0	4	M	4
			1	2 − 3		M	1		0	1	0	M	0		0	0	4	M	3

	1	1	− 3	M	1
	1	1	− 3	M	1
~	0	− 1	4	M	3	.
	0	0	4	M	4
	0	0	0	M	− 1

Проведены следующие элементарные преобразования:

1)из элементов второй строки матрицы В вычитались соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2;

2)из элементов третьей и четвертой строк вычитались элементы первой строки, умноженные на 1, и т.д.

Очевидно, что rg(A) = 4, rg(A) = 3. В соответствии с теоремой КронекераКапелли получаем, что система несовместна.

Пример 6.4. Исследовать СЛАУ на совместность и, если она совместна, то найти её решение

x1 + x2 − 3x3 = 1,
	2x1 +	x2 − 2x3 = 1,

	− x2	+ 4x3 = − 1,

		x3 = 0.
x1 +

Решение:

откуда rgA = rgA = 2 <3 . Поскольку ранги матриц А и A равны и равны 2, но

2<3 – числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений. Для нахождения этих решений запишем СЛАУ, равносильную исходной:

x1 +		x2 − 3x3 = 1,
	− x2	+ 4x3 = − 1.

Объявляем x3 свободной переменной ( x3 =α , α R) и вместе с коэффициентами при ней переносим в правую часть:

						x1 +		x2 = 1 + 3α ,
							- x2	= − 1 − 4α ,
							- x2	= − 1 − 4α ,
							x3 =	α ,
							x3 =	α ,
откуда x3 = α	, x2 =	1 +			4α	, x1 = 1 +	3α −	(1 + 4α ) = − α .
	- α
Ответ: X =	1 + 4α		,	α		R .
Ответ: X =	1 + 4α		,	α		R .
	α
	α

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.201539.22 Mб24zoo.doc
#
09.04.201586.52 Кб141zoologia.docx
#
09.04.2015192.46 Кб10_fsvps-docs_ru_importExport_tsouz_docs_sogl.pdf
#
09.04.2015161.79 Кб67автоматика.doc
#
09.04.201515.75 Кб31акт по определению отходов и потерь сырья.docx
#
09.04.20151.4 Mб23Анал.геометрия).pdf
#
09.04.201524.93 Кб225Анализ данных Тесты и Ответы.docx
#
09.04.2015129.02 Кб22Анализ экспериментальных данных.doc
#
26.11.201870.48 Кб7Английский 2 курс (3 сем) 2 методичка. М.С. Иоа....docx
#
26.11.201871.66 Кб6Английский 2 курс (3 сем). М.С. Иоаниди.docx
#
09.04.2015407.28 Кб12АРМЕНИЯMicrosoft Word.docx

		a	11	a	12	a	13	K a		1s

		0		a22		a23		...	a2s
		0		0		a	33	K a		3s
~					.			.
	.						.			.
A =		0		0		0		...	ass

		0		0		0		...	0
					.		.	.		.
	.
		0		0		0		.	0

		a	11	a	12	a	13	K a		1s

		0		a22		a23		...	a2s
		0		0		a	33	K a		3s
~					.			.
	.						.			.
A =		0		0		0		...	ass

		0		0		0		...	0
					.		.	.		.
	.
		0		0		0		.	0

		a	11	a	12	a	13	K a		1s

		0		a22		a23		...	a2s
		0		0		a	33	K a		3s
~					.			.
	.						.			.
A =		0		0		0		...	ass

		0		0		0		...	0
					.		.	.		.
	.
		0		0		0		.	0