- •1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
- •1.1. Чтение учебника
- •1.3. Самопроверка
- •1.4. Консультации
- •1.5. Контрольные работы
- •1.6.Лекции, практические занятия и лабораторные работы
- •1.7. Зачеты
- •1.9. Экзаменационная программа
- •2.2. Векторная алгебра
- •2.3. Прямая на плоскости. Алгебраические кривые второго порядка.
- •2.4. Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
- •2.5. Алгебра матриц.
- •2.6. Ранг матрицы. Исследование и решение СЛАУ методом Гаусса.
- •3. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
- •Тема 2.1. Определители и системы линейных уравнений
- •Тема 2.2. Векторы. Операции над векторами
- •Тема 2.3. Прямая на плоскости. Алгебраические кривые второго порядка
- •Тема 2.4. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •Тема 2.5. Алгебра матриц
- •Тема 2.6. Ранг матрицы. Исследование и решение СЛАУ методом Гаусса
- •6. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
- •Тема 2.1. Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера
- •Тема 2.2. Векторная алгебра.
- •Тема 2.4. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •Тема 2.5. Алгебра матриц
- •Тема 2.6. Исследование систем и их решение методом Гаусса
23
22. Составить уравнение параболы, проходящей через точки пересечения
прямой y = x окружностью x2 + y2 + |
6x = 0 и симметричной относительно оси |
0х. |
|
23. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси |
|
абсцисс симметрично относительно |
начала координат, если даны точка |
|
2;− |
5 |
эллипса и его эксцентриситет ε = |
2 |
|
|
M |
|
|
|
. |
||
|
3 |
|||||
|
|
2 |
|
|
24.Определить все точки параболы y2 = 6x , расстояние от каждой из которых до фокуса равно 4,5.
25.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны уравне-
ния асимптот y = ± 34 x и расстояние между фокусами равно 20.
26.Составить уравнение гиперболы с полуосями a = 4, b = 3. Найти эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот. Построить гиперболу.
27.Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет e = 1213 , а урав-
нение одной из директрис D : |
x = |
− 169 . Построить эллипс. |
|
|||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
28. |
Привести |
к |
каноническому |
виду |
уравнение |
3x2 + |
4y2 |
− 18x + 16y − 5 = 0 . Определить тип и основные параметры кривой, |
||||
задаваемой этим уравнением. Построить кривую. |
|
|
||||
|
29. |
Привести |
к |
каноническому |
виду |
уравнение |
2x2 − |
y2 + |
12x + 6y + 9 = 0 . Определить тип и основные параметры кривой, за- |
даваемой этим уравнением. Построить кривую.
30. Вычислить площадь треугольника, две вершины которого лежат в фокусах гиперболы 9x2 − 16y2 − 144, а третья - лежит на одной из асимптот на
расстоянии 10 ед. от точки пересечения асимптот. Построить гиперболу и искомый треугольник.
Тема 2.4. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Задание 8
Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку M0 (x0 ; y0 ;z0 )
а) параллельно плоскости α : |
Ax + BY + Cz + |
D = 0 ; |
||
б) параллельно векторам a = |
(x1; y1;z1); |
|
= (x |
2 ; y2 ;z2); |
b |
||||
в) и точки M1 (x1; y1;z1), M2( x2 ; y2 ;z2) |
|
24
|
M0 (x0 ; y0 ;z0 ) |
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
в) |
|
5№ |
|
|
|
|
|
|
|
a = |
(x1; y1;z1), |
M1 |
(x1; y1;z1) , |
||||||||||
|
α : Ax + By + Cz + D = 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (x2 ; y2 ;z2) |
M2 |
(x2 ; y2 ;z2 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||
|
M0 (2;− 3;1) |
x − |
|
2y + |
3z − |
4 = |
|
0 |
a = |
(3;1;4), |
M (0;4;1) , |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
(− |
2;0;3) |
M12 (− 3;1;− 1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||
2 |
M0 (− 1;3;− 5) |
2x + y − |
3z − |
3 = |
|
0 |
a = |
(− |
1;1;0), |
M1 (2;− 1;3), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2;− 1;1) |
M2 (− 4;1;2) |
||||||||||||
|
|
b = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
M0 (2;0;4) |
x − |
|
3y + |
5z − |
6 = |
|
0 |
a = (2;− 3;1), |
M1 (3;− 2;4), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1;4;− 2) |
M2 (0;3;1) |
|||||||||||
|
|
|
b = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
M0 (− 3;1;2) |
4x + |
3y − |
z + |
7 = |
|
0 |
a = |
(− |
1;1;4), |
M1 (0;− 1;1), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2;3;− 2) |
M2 (5;− 3;4) |
||||||||||||
|
|
b = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
M0 (4;− 5;1) |
x + |
y − |
2z + 6 = |
0 |
a = |
(2;3;1), |
M1 (− 5;4;1), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1;0;− 2) |
M2 (2;1;3) |
|||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
M0 (− 4;2;1) |
5x − |
2y + z + |
3 = |
|
0 |
a = |
(1;0;4), |
M1 (2;− 3;1), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(− |
2;1;1) |
M2 (5;− 1;2) |
|||||||||||
|
|
b = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7 |
M0 (− 1;4;2) |
3x + |
5y − |
2z − |
3 = |
0 |
a = |
(0;3;− 2), |
M1 (1;4;3), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(4;− 1;3) |
M2 (− 2;1;5) |
|||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
M0 (3;1;5) |
2x − |
3y + |
z + |
6 = |
|
0 |
a = |
(− |
3;5;2), |
M1 (2;− 3;1), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1;0;4) |
M2 (− 4;3;5) |
||||||||||||
|
|
b = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9 |
M0 (0;1;4) |
3x + |
5y − |
3z − |
7 = |
0 |
a = |
(2;4;6), |
M1 (1;− 1;2), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1;0;1) |
M2 (3;1;− 1) |
|||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
M0 (2;− 1;1) |
− 2x + y − |
3z + |
6 = |
0 |
a = |
(− |
1;− 2;3), |
M1 (2;− 1;5), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1;0;4) |
M2 (3;1;4) |
|||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11 |
M0 (− 4;1;2) |
x + |
3y + |
|
4z + |
5 = |
|
0 |
a = |
(− |
2;− 1;1), |
M1 (− 1;4;1), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3;1;0) |
M2 (2;− 2;2) |
|||||||||||
|
|
|
b = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12 |
M0 (2;1;3) |
− |
5x + |
y − |
3z = |
0 |
a = |
(− |
4;2;1), |
M1 (5;0;− 3), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1;2;3) |
M2 (2;− 1;1) |
|||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13 |
M0 (− 6;0;3) |
− |
x + 2y − |
5z = |
0 |
a = |
(2;− 1;3), |
M1 (1;− 1;2), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5;− 1;4) |
M2 (3;1;0) |
|||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14 |
M0 (− 1;1;4) |
2x − |
5y + |
6z − |
7 = |
0 |
a = |
(3;1;0), |
M1 (− 1;2;3), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(− |
1;2;4) |
M2 (4;− 1;0) |
||||||||||||
|
b = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15 |
M0 (2;1;5) |
3y + |
z − |
6 = |
0 |
|
|
a = |
(1;− 1;4), |
M1 (− 5;1;0), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2;− 1;3) |
M2 (− 1;4;3) |
|||||||||||
|
|
|
b = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16 |
M0 (− 3;1;2) |
3x − |
y + |
7 = 0 |
|
|
a = |
(2;− 3;3), |
M1 (− 1;2;− 3), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1;0;4) |
M2 (2;− 1;1) |
|||||||||||
|
|
|
b = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17 |
|
M0 (5;− 4;1) |
3y − |
4z + |
5 = |
0 |
|
a = |
(− |
1;− 3;4), |
|
M1 (4;− 2;3), |
|||||
|
|
|
|
|
(2;− 1;− 3) |
|
M2 (− 1;4;5) |
||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18 |
|
M0 (− 1;4;3) |
x + |
5y − |
z = |
0 |
|
a = |
(2;3;5), |
|
M1 (4;− 3;1), |
||||||
|
|
|
|
|
(− |
1;2;4) |
|
M2 (0;5;3) |
|||||||||
|
|
|
b = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19 |
|
M0 (2;− 1;1) |
4x − |
y + |
3z − |
1 = |
0 |
a = |
(− |
1;0;1), |
|
M1 (4;− 1;2), |
|||||
|
|
|
|
(2;− 3;1) |
|
M2 (− 3;− 2;5) |
|||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20 |
|
M0 (3;1;2) |
x + |
2y + |
4z = |
0 |
|
a = |
(2;− 1;0), |
|
M1 (1;− 1;4), |
||||||
|
|
|
|
|
(1;− 3;2) |
|
M2 (3;− 5;1) |
||||||||||
|
|
|
b = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21 |
|
M0 (− 1;2;4) |
3x + |
5y − |
z + |
6 = |
0 |
a = |
(1;5;− 2), |
|
M1 (4;− 2;3), |
||||||
|
|
|
|
(2;− 3;1) |
|
M2 (− 3;1;5) |
|||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22 |
|
M0 (2;− 3;4) |
4x − |
2y + 7 = |
0 |
|
a = |
(2;0;− 3), |
|
M1 (1;− 2;4), |
|||||||
|
|
|
|
|
(1;− 3;5) |
|
M2 (5;− 1;2) |
||||||||||
|
|
|
b = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23 |
|
M0 (− 5;1;2) |
3x + |
y − |
5z + |
6 = |
0 |
a = |
(− |
1;2;4), |
|
M1 (− 5;1;0), |
|||||
|
|
|
|
(2;− 3;− 2) |
|
M2 (− 1;4;3) |
|||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24 |
|
M0 (1;4;5) |
3x − |
y + |
5z = |
0 |
|
a = |
(2;− 1;3), |
|
M1 (2;0;4), |
||||||
|
|
|
|
|
(3;1;4) |
|
M2 (− 1;2;− 3) |
||||||||||
|
|
|
b = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25 |
|
M0 (0;− 1;3) |
2x − |
y + |
3z − |
6 = |
0 |
a = |
(1;2;5), |
|
M1 (4;1;− 1), |
||||||
|
|
|
|
(− |
2;3;4) |
|
M2 (− 1;2;3) |
||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26 |
|
M0 (2;− 3;1) |
3x − |
5z + |
4 = |
0 |
|
a = |
(2;− 1;4), |
|
M1 (1;− 1;3), |
||||||
|
|
|
|
|
(0;1;3) |
|
M2 (2;2;5) |
||||||||||
|
|
|
b = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27 |
|
M0 (− 1;3;1) |
x + |
y + 6z − |
1 = 0 |
a = |
(− |
1;1;2), |
|
M1 (− 3;4;2), |
|||||||
|
|
|
|
(2;3;4) |
|
M2 (5;1;0) |
|||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
28 |
|
M0 (2;− 3;2) |
2x − |
3y + |
5z − |
7 = |
0 |
a = |
(1;1;4), |
|
M1 (1;0;5), |
||||||
|
|
|
|
(2;− 1;3) |
|
M2 (− 3;2;4) |
|||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29 |
|
M0 (− 1;4;4) |
x + |
6y − |
3z + |
1 = |
0 |
a = |
(− |
3;− 1;4), |
|
M1 (− 3;− 2;4), |
|||||
|
|
|
|
(1;2;32) |
|
M2 (5;1;0) |
|||||||||||
|
|
b = |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
30 |
|
M0 (2;− 2;2) |
3x − |
y + |
4z = |
0 |
|
a = |
(1;3;− 4), |
|
M1 (5;− 3;− 1), |
||||||
|
|
|
|
|
(2;− 1;4) |
|
M2 (2;− 2;3) |
||||||||||
|
|
|
b = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Задание 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 ; y0 ;z0 ) |
|
1) Составить уравнения прямых, проходящих через точку M0 |
|||||||||||||||||
|
а) параллельно заданной прямой |
L0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) параллельно линии пересечения плоскостей
α 1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 , α 2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0.
26
2)Найти точку пересечения прямой, полученной в задании 1.а) с плоскостью
α3 и угол между этой прямой и плоскостью α 3 .
№ |
M0 (x0 ; y0 ;z0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1б |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения плоскостей |
уравнение плоско- |
|||||||||||||||
п/п |
|
|
уравнение прямой L0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
1α 2 |
|
|
|
|
сти α 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
M0 |
(− 3;4;1) |
|
|
|
x − 2 |
= |
|
|
y + 1 |
= |
z + 4 |
α |
1 : 2x + y + |
3z + |
6 = |
0, |
4x − |
y + |
2z + |
|
7 = |
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α 2 : x − 3y + 4z − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
M0 |
(2;− 1;3) |
|
|
2x + y − 3z + 1 = 0, |
α 1 : x + y − 2z − 4 = 0, |
5x + |
2y − |
3z − |
3 = |
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 : − 3x − 2y + z + 6 = |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x − 2y + z − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
M0 |
(0;1;− 1) |
|
|
x − 3 |
= |
|
|
y + 3 |
= |
|
|
|
z − 1 |
|
α 1 : x − 2y + z = |
0, |
|
2x − |
y − |
z + |
|
4 = |
0 |
|||||||||||
2 |
|
|
|
− 1 |
3 |
|
|
|
α |
2 : 2x + y − z = |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
M0 |
(2;1;0) |
|
|
|
2x − y + z − 2 = 0, |
α 1 : x + y − 2z − |
1 = |
0, |
x − |
2y + |
z − |
|
4 = |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 : 2x − y + 3z − 5 = 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 − z − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
M0 |
(1;0;1) |
|
|
x + 1 |
= |
|
y − 1 |
= |
|
z + 2 |
α |
1 : x + 2y − z + |
1 = |
0, |
x − |
2y + |
2z + |
|
2 = |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
− 1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
α 2 : 2x − y + 2z − 3 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
M0 |
(− 1;1;2) |
|
|
x − |
2y + z − |
3 = 0, |
|
|
|
α 1 : x − y + z − 1 |
= 0, |
2x + |
y − |
z − |
|
7 = |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 = 0 |
α |
2 : 2x + y − z − |
5 = |
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x + y − 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7 |
M0 |
(3;− 1;2) |
|
x + 2 |
= |
|
|
y − 1 |
|
= |
|
|
z + 2 |
|
α |
1 : 2x + 2y − z − 3 = 0, |
x + |
y − 2z + |
|
7 = |
0 |
||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
− 2 |
α 2 : x − 2y + 3z + 5 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8 |
M0 |
(1;− 1;− 2) |
|
|
2x + |
|
y + 2z = 0, |
α 1 : 2x − 3y + z − 1 = |
0, |
2x − |
y + |
z − |
|
1 = |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 = 0 |
|
|
α |
2 : x + 2y − z − |
4 = |
0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 2y − 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9 |
M0 |
(1;− 1;− 1) |
|
x + 2 |
= |
|
|
y − 2 |
|
= |
|
|
|
z − 1 |
α 1 : 3x − y − z − 3 = 0, |
x + 2y − 2z − 13 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
− 2 |
|
|
2 |
|
|
|
α 2 : 4x + y − z − 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
M0 |
(2;− 1;1) |
|
|
3x + |
|
y − z − |
1 = 0, |
|
|
|
α 1 : x + y − 2z − |
5 = |
0, |
x − |
y − 2z + |
11 = |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 = 0 |
α |
2 : 2x − y + 2z + 2 = 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x + y + 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11 |
M0 |
(2;1;− 2) |
|
|
x − 3 |
= |
|
|
y + 1 |
= |
|
|
z − 1 |
α |
1 : 2x + y − 2z − 7 = 0, |
2x − |
y + |
3z − |
|
6 = |
0 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
− 2 |
|
|
3 |
|
|
|
α 2 : x − 2y + 3z + 7 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12 |
M0 |
(3;0;2) |
|
|
3x − |
|
y − z = |
0, |
|
|
|
|
α 1 : 3x − y + z − |
5 = |
0, |
x + |
y − 2z − |
21 = |
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 = 0 |
α |
2 : 2x + 2y − z − 6 = 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x + 2y + z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
13 |
M0 |
(3;0;− 1) |
|
x + 1 |
|
= |
|
y − 2 |
|
= |
|
|
z − 2 |
|
α |
1 : x + y + |
2z − |
4 = |
0, |
2x + |
y + |
2z + |
2 = |
0 |
|||||||||||
|
|
− 2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
α 2 : x − 2y − z − 1 = 0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14 |
M0 |
(2;1;− 2) |
|
|
2x + |
|
3y − z − 1 = 0, |
α 1 : 2x − 2y + 3z − 3 = 0, |
2x − |
y + |
2z + |
5 = |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 = 0 |
|
|
α |
2 : 3x + y − 2z − 11 = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x + y + 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15 |
M0 |
(1;− 1;2) |
|
x + 2 |
= |
|
|
y − 4 |
|
= |
|
|
|
z + 1 |
α |
1 : x + 2y + z + |
2 = |
0, |
− x + |
y + |
2z + |
5 = |
0 |
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
|
α 2 : x − y + z − 1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16 |
M0 |
(− 2;1;1) |
|
|
2x − y + z = 0, |
α 1 : x + y − 3z − |
4 = |
0, |
3x + |
y − |
z − |
5 = |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 : 2x − y + 2z + 3 = 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 2y − z − 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
27
17 |
M0 |
(− 1;2;3) |
|
x − 3 |
|
|
= |
|
|
|
y − 4 |
|
= |
|
|
|
z − 1 |
α 1 : 2x − y + 3z − 5 = 0, |
x |
− |
y − |
z − 6 = |
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
α 2 : 3x + |
y − z + 2 = |
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
18 |
M0 |
(0;1;0) |
|
x + |
|
|
y − |
|
|
3z + 5 = 0, |
α 1 : 3x − |
y + 2z − 8 = |
0, |
2x + |
y − |
z − |
6 = |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
− y |
+ 2z − 3 = 0 |
α 2 : 2x + |
2y − z − 3 = |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
M0 |
(3;2;− 1) |
|
|
|
|
x + |
1 |
|
= |
|
|
|
|
y |
= |
|
|
|
z − 2 |
α 1 : 3x − 2y + z − 1 = 0, |
2x + |
y − |
z + |
5 = |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
α 2 : x + |
2y − 4z − 3 = |
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20 |
M0 |
(3;1;− 1) |
|
x − |
|
|
|
y + |
|
|
2z = 0, |
α 1 : 3x + |
y − 2z + 1 = |
0, |
3x |
− y − |
z |
= 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
+ y |
|
− 3z − 4 = 0 |
α 2 : 2x − |
y − 3z + 4 = |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
M0 |
(3;− 1;− 2) |
|
|
|
|
|
x − 1 |
= |
|
|
|
y − 1 |
|
= |
|
|
z |
α 1 : x − 2y + 3z − 1 = 0, |
3x − y + 2z + 28 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
α 2 : 2x + y − z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22 |
M0 |
(2;− 1;2) |
3x − y + 2z − 7 = 0, |
α 1 : 3x − y + 2z − 6 = 0, |
2x + y − 3z + 21 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 2y |
− z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
α 2 : x + 2y − z + 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
23 |
M0 |
(2;− 2;1) |
|
|
|
|
x − |
|
2 |
= |
|
|
|
|
y + 1 |
= |
|
|
|
|
z |
|
α 1 : 3x − 2y + z − 3 = 0, |
3x |
− |
y + |
3z − |
6 = |
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
− 4 |
α 2 : x + |
y − 2z − 4 = |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
24 |
M0 |
(3;0;− 1) |
2x + y − 2z − 6 = 0, |
α 1 : 2x + 3y − z − 5 = 0, |
x + |
2y − |
z − |
4 = |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − 2y |
+ z + 1 = 0 |
α 2 : 3x − |
y + 2z − 4 = |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
M0 |
(1;0;− 2) |
|
x − 3 |
|
|
= |
|
|
|
y + 1 |
= |
|
|
|
z − 2 |
α 1 : x − 3y + 2z − 5 = 0, |
x − 2y + 3z − 12 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
α 2 : 2x + z − 6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
26 |
M0 |
(− 2;3;− 1) |
|
2x − 3y + z − 9 = 0, |
α 1 : 2x + |
y − z − 4 = 0, |
x − |
3y + |
2z − |
4 = |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + y + 3z − 2 = 0 |
α 2 : 3x − |
2y + z − 3 = |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
M0 |
(1;1;3) |
|
|
|
x + 2 |
|
|
= |
|
|
|
y − 3 |
= |
|
|
|
|
z + 1 |
α 1 : 2x + |
y + 3z − 4 = |
0, |
3x + |
y − |
z − |
5 = |
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
α 2 : x + 2y + 5z + 6 = |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
28 |
M0 |
(− 1;1;3) |
|
|
x + |
|
|
|
y − |
|
|
2z − 6 = 0, |
α 1 : x − 3y − z − 5 = 0, |
2x |
+ |
y − |
2z − |
6 = |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
− 2y − z − 6 = 0 |
α 2 : 2x + |
y − 2z − 4 = |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
M0 |
(1;2;− 1) |
|
|
x − 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
y + |
3 |
|
= |
|
|
|
z − 1 |
α 1 : x + y + 2z − 3 = 0, |
2x |
− |
7y |
+ |
z − |
9 = |
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
α 2 : − x + |
3y + 4z + 5 = |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
30 |
M0 |
(2;− 1;0) |
|
|
x − |
|
|
|
2y + z − 4 = 0, |
α 1 : 3x − |
y + 2z − 3 = |
0, |
2x |
− |
3y + |
z − |
6 = |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
− y |
|
− 2z − 6 = 0 |
α 2 : x + |
y + z − 2 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 10
1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M(1;1;1) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки равной
длины.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = t + 5, y = − t + 1, z = 2t и точку M(1; 3; 2) .
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(− 8; 2;− 4)
перпендикулярно плоскости x − 5y + |
3z − |
5 = |
0. Найти точку их пересечения. |
4. Найти угол между прямой |
x = |
3t + |
1, y = − t + 5, z = 2t и плоскостью |
x + y + z + 5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
A(2; 3; 3) |
|
|||
5. |
|
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
B(1;1;1) |
параллельно прямой x = |
|
t + 1, y = − |
2t + |
4, |
z = t − 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
|
Найти уравнение плоскости, |
проходящей через прямую x |
= |
y |
= |
z − |
1 |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
5 |
|
y |
|
|
z − 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
параллельно прямой |
|
= |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
− |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
Составить |
|
|
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
|||||||||||||||||||||||||
|
x − 2 |
= |
y + |
3 |
= |
|
z + 1 |
перпендикулярно к плоскости |
2x − 3y + 5z + 6 = |
0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
8. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||
M(1;1;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − |
3y + z − |
1 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
параллельно прямой |
|
− |
2y + |
3z + |
1 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
9. Найти угол между двумя прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
= |
|
y |
− 2 |
= |
z |
и |
− x + 2y + z − 3 = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y + 2z + 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10. Найти точку пересечения прямой, проходящей через две данные точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ки A(1; − |
1; 0) |
и B(3; − |
5;12) |
, и плоскости 2x + |
3y + |
z − 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
11. При каких значениях параметра α |
|
плоскости 3x − |
α y + |
5z − 1 = |
0 |
и |
αx − 4y − z + 2 = 0 перпендикулярны?
12.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(− 1;1; 2) параллельно плоскости x0y.
|
13. |
Составить |
уравнение |
прямой, |
которая |
проходит |
|
через точку |
||||||||||||||
A(3; − 2;1) и образует с осями координат равные углы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
14. |
Проверить, |
лежит ли |
прямая |
x − 1 = |
|
|
y + |
3 |
= z + |
2 |
|
на |
плоскости |
||||||||
|
|
|
− 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
4x + |
3y − |
z + 3 = 0 . |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
15. |
Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре |
||||||||||||||||||||
точки A(3;1;1), B(9; − |
2;1) , C(3; 3; 2) |
и D(7;1; 2) . В случае утвердительного от- |
||||||||||||||||||||
вета найти уравнение данной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16. |
При |
каких |
значениях |
коэффициентов |
|
|
|
A |
и |
|
B |
плоскость |
|||||||||
Ax + |
By + |
6z − 7 = |
0 перпендикулярна прямой |
|
x − |
2 |
= |
y + |
5 |
= |
|
z |
. Найти орт |
|||||||||
2 |
|
− |
4 |
3 |
||||||||||||||||||
вектора нормали. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x + |
|
y − |
z = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
17. |
Найти |
угол |
между |
прямой |
|
|
и |
|
|
|
плоскостью |
||||||||||
|
|
− 3y |
+ |
|
|
z = 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
− 3x + 5y + 4z + 2 = 0.