MMATAN01

Теорема 1.17

Характеристика поля всегда равна простому числу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть характеристика m — не простое натуральное число, т.е.

m = m1 · m2, 1 < m1 < m2 < m.

Тогда

(m1 · m2) · 1 = 0 (m1 · 1) · (m2 · 1) = 0.

Откуда следует, что либо m1 · 1 = 0, либо m2 · 1 = 0. Таким образом, m не является наименьшим натуральным числом, для которого выполняется m · 1 = 0. Полученное противоречие доказывает теорему.

Алгебры

Определение 1.66. Множество A называется алгеброй, если A является линейным (векторным) пространством над полем K и

вA введено умножение элементов : A2 → A, т.е.

: (x, y) → x y,

удовлетворяющее условиям “билинейности”:

( c1, c2 K)( x1, x2, y A)( y1, y2, x A) : A1. (c1x1 + c2x2) y = c1(x1 y) + c2(x2 y). A2. x (c1y1 + c2y2) = c1(x y1) + c2(x y2).

Иными словами, алгебра есть одновременно кольцо и векторное пространство с естественным согласованием кольцевого умножения и векторных операций (сложения векторов и умножения вектора на скаляр).

П р и м е р ы

1)Поле комплексных чисел C над полем действительных чисел R — алгебра размерности 2.

2)Кольцо квадратных матриц порядка n с элементами из поля K образует алгебру над этим полем порядка n2.

61

Изоморфизм

Определение 1.67. Две группы G1 с операцией 1 и G2 с опе-

f (x y) = f (x) f (y),

т.е. образом групповой операции в G1 является результат применения групповой операции в G2 к образам исходных элементов.

Определение 1.68. Два кольца K1 и K2 с операциями +1 , 1

и +2 , 2 называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное отображение K1 на K2, сохраняющее операции сложения и умножения, т.е. если для любых x K1 и любых y K1 выполняется

Определение 1.69. Две алгебры A1 и A2 называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное отображение A1 на A2, сохраняющее все операции, т.е. операция с объектами в A1 отображается в соответствующую операцию с объектами в A2.

Например, f (αxy) → αf (x)f (y).

Изоморфные группы, кольца, области целостности и поля в алгебре не различаются, так как все утверждения, верные в одной алгебраической структуре, верны и в изоморфной ей алгебраической структуре.

Вычеты по модулю m

Определение 1.70. Рассмотрим множество натуральных чисел N и некоторое фиксированное число m N.

Любое число n N можно представить в виде n = m · k + r, где k, r N и 0 ≤ r ≤ m − 1, если провести деление с остатком.

62

Назовем подмножество {m · k + r} N элементом нового множества и обозначим его через er, т.е. er = {m · k + r}. Конечное множество {e0, e1, e2, . . . , em−1} называется множеством вычетов по модулю m. В этом множестве вводятся операции сложения и умножения элементов следующим образом:

С л о ж е н и е

def

er1 er2 = {m · k1 + r1 + m · k2 + r2} = {m(k1 + k2) + r1 + r2} = er3 ,

где r3 определяется из условия r1 + r2 = m · k3 + r3. У м н о ж е н и е

def

er1 er2 = {(m · k1 + r1) · (m · k2 + r2)} =

= {m · (k1k2 + r1k2 + r2k1) + r1r2} = er4 ,

где r4 определяется как остаток от деления произведения r1 ·r2 на число m.

Ясно, что числа r3 и r4 в определении сложения и умножения вычетов по модулю m определяются однозначно числами r1 и r2 и не зависят от чисел k1 и k2, т.е. от выбора представителей в классе вычетов по mod m.

Поскольку вычет er = {m · k + r} по mod m однозначно определяет число r и однозначно определяется им, то будем обозначать множество er числом r (0 ≤ r ≤ m − 1).

П р и м е р ы

1) Вычеты по mod 2.

0 = e0 = {2 · k + 0, k N}, 1 = e1 = {2 · k + 1, k N}.

Таблицы сложения и умножения представлены на рисунках 1.21 и 1.22.

2) Вычеты по mod 3.

0 = e0 = {3k + 0, k N}, 1 = e1 = {3k + 1, k N}, 2 = e2 = {3k + 2, k N}.

Таблицы сложения и умножения задаются рисунками 1.23 и 1.24.

63

7.Найти область определения E и множество значений f (E) следующей функции действительного переменного

f (x) = lg(1 − 2 cos x).

8. Функция y = sign x (функция знака) определяется следующим

образом:

−1, если x < 0;

sign x = 0, если x = 0;

1, если x > 0.

Построить график этой функции. Показать, что

|x| = x sign x.

9.Функция y = [x] (целая часть числа x) определяется следующим образом: если x = n+r, где n – целое число и 0 ≤ r < 1, то [x] = n. Построить график этой функции.

Найти образ f (E) множества E при отображении, заданном функцией действительного переменного:

10. f (x) = x2, E = [−1, 2].

11.f (x) = ctg πx4 , E = {x R, 0 < |x| ≤ 1}.

12.Найти f (0, 9), f (0, 99), f (0, 999), f (1), если

Ре ш е н и я

1.Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е.

3x − x3 ≥ 0.

После разложения на множители это неравенство принимает вид

Откуда следует

√ √

Окончательно имеем

+∞

E = [4k2π2, (2k + 1)2π2].

k=0

4. Решаем неравенство cos x2 ≥ 0.

−π2 + 2kπ ≤ x2 ≤ π2 + 2kπ.

5. Решая неравенство sin πx > 0, получаем

Если k = 0, то 0 < x1 < 1. Откуда следует x > 1.

68

Если k = ±1, ±2, . . ., то все члены неравенства

2k < x1 < 2k + 1

всегда имеют один и тот же знак. Используя в этом случае известное свойство неравенств, получаем

С учетом условия 0 ≤ x ≤ 2π получаем, что первое неравенство системы выполняется, когда

69