MMATAN01

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение теоремы для точной верхней границы.

Допустим, что y / E и y = sup E. В силу определения верхней грани выполняется:

1.( x E) : x ≤ y;

2.( ε > 0)( xε E) : y − ε < xε.

Откуда следует, что

y − ε < xε ≤ y.

Таким образом, любая окрестность (ε-окрестность) точки y содержит некоторую точку xε E, причем xε = y, так как y / E. Следовательно, y — предельная точка множества E, не принадлежащая множеству E, так что множество E не замкнуто. Но это противоречит условию теоремы.

1.12. Счетные и несчетные множества

Определение 1.53. Пусть X — множество любой природы. Будем говорить, что:

Определение 1.54. Пусть X — множество любой природы. Последовательностью {xn} в множестве X, xn X, называется функция натурального аргумента

xn : N → X.

Из этих двух определений следует, что множество X будет счетным множеством тогда и только тогда, когда все его элементы можно расположить в последовательность {xn}.

Теорема 1.11

Всякое бесконечное подмножество счетного множества X счетно.

51

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что E X и E — бесконечно. Расположим элементы x множества X в последовательность {xn} с различными членами. Построим последовательность {nk} следующим образом.

Пусть n1 — наименьшее натуральное число, такое, что xn1 E, а n2 — наименьшее натуральное число, такое, что n2 > n1, xn2

E и xn2 = xn1 . Если n1, n2, . . . , nk−1 уже выбраны, то пусть nk — наименьшее натуральное число, nk > nk−1, и такое, что xnk E,

xnk = xn1 , xnk = xn2 , . . . , xnk = xnk−1 .

Полагая f (k) = nk, k = 1, 2, . . ., мы получим взаимнооднозначное соответствие между E и N, т.е. E N.

Теорема 1.12

Пусть {En} — последовательность счетных множеств; положим

Д о к а з а т е л ь с т в о. Расположим каждое множество En в последовательность {xnk }, k = 1, 2, 3, . . . , и рассмотрим бесконечную таблицу.

Эта таблица содержит все элементы множества S. Элементы таблицы можно расположить в последовательность (множество X) так,

52

как указывают стрелки:

X = {x11, x21, x12, x31, x22, x13, x41, x32, x23, x14, . . .}.

Множество X счетно. Очевидно, что S X, а так как En S, то S

—бесконечное, и по теореме 1.11 S счетно.

Сл е д с т в и е. Множество Q всех рациональных чисел счетно. Действительно, рассмотрим последовательность множеств {En}:

Теорема 1.13

Пусть X — множество всех последовательностей, элементы которых 0 и 1. Множество X — несчетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E — любое счетное подмножество множества X, и пусть E состоит из последовательностей

s1, s2, s3, . . .

Построим последовательность s следующим образом. Если 1-я цифра в s1 равна 0 (соответственно 1), то положим в s на первом месте 1 (соответственно 0); если 2-я цифра в s2 равна 0 (соответственно 1), то положим в s на втором месте 1 (соответственно 0) и продолжим этот процесс бесконечно: для любого натурального n, если n-я цифра в sn равна 0 (соответственно 1), то пусть n-я цифра в s равна 1 (соответственно 0). Тогда последовательность s отличается от каждого элемента множества E хотя бы одним элементом, значит, s / E. Но s X, так что E — собственное подмножество множества X, и X не может быть счетно (потому что в противном случае оно было бы своим собственным подмножеством, что невозможно).

53

С л е д с т в и е. Множество действительных чисел несчетно.

В самом деле, если представить действительные числа в двоичной системе как числа с бесконечной дробной частью, то множество последовательностей X из предыдущей теоремы будет подмножеством множества действительных чисел и, следовательно, R не может быть счетным, ибо в противном случае по теореме 1.11 и множество X станет счетным.

Определение 1.55. Множество X будем называть множеством мощности к о н т и н у у м, если X R.

1.13. Некоторые общие понятия алгебры

Этот раздел не является обязательным при изучении анализа. Он рассчитан на лиц, желающих расширить свои познания в математике.

Группы

Определение 1.56. Операцией или действием на множестве X называется отображение

o : X × X = X2 → X

или в других обозначениях

o : (x, y) → x y, x X, y X, x y X.

Определение 1.57. Множество X называется полугруппой, если на нем введена операция, которая обладает свойством ассоциативности, т.е.

54

Определение 1.58. Множество X с введенной на нем операцией “o” называется группой, если выполняются аксиомы группы:

Гр. 1. ( x X, y X, z X) : (x y) z = x (y z) — ассоциативность операции.

Гр. 2. ( θ X)( x X) : θ x = x θ = x — элемент θ называется нейтральным элементом.

Гр. 3. ( x X)( xs X) : x xs = xs x = θ — элемент xs

называется симметричным элементом.

Группа называется коммутативной или абелевой, если выполняется следующая аксиома коммутативности

Гр. 4. ( x X, y X) : x y = y x.

Если группа коммутативна (абелева), то операция обозначается знаком + (плюс) и называется сложением. В этом случае θ = 0 называется нулем, а xs = −x противоположным элементом.

Если группа некоммутативна, то операция обозначается знаком ·( ) и называется умножением. В этом случае θ = 1 называется единицей, а xs = x−1 называется противоположным элементом.

Теорема 1.14

1.Нейтральный элемент группы единственен.

2.Симметричный элемент определен единственным образом.

До к а з а т е л ь с т в о.

1.Пусть θ и θ — нейтральные элементы. Тогда

θ= θ θ = θ θ = θ .

2.Пусть xs и xs — симметричные элементы. Тогда

xs = θ xs = (xs x) xs = xs (x xs) = xs θ = xs.

55

П р и м е р ы

1) Множество действительных чисел R — коммутативная (абелева) группа относительно операции сложения. В этом случае аксиомы группы совпадают с известными аксиомами для действительных чисел:

Гр. 1. (x + y) + z = x + (y + z).

Гр. 2. Нейтральный элемент θ = 0 и

0 + x = x + 0 = x.

Гр. 3. Симметричный элемент xs = −x и

x + (−x) = (−x) + x = 0.

Гр. 4. x + y = y + x.

2) Множество {f } строго возрастающих отображений

на

f : [0, 1] → [0, 1], f (0) = 0, f (1) = 1,

с операцией, которая равна суперпозиции двух отображений

(f1 f2)(x) = f1(f2(x)),

является группой. Докажем это.

Отметим, что (f1 f2)(x) принадлежит множеству {f }. Действительно, неравенство x1 > x2 влечет за собой неравенство f2(x1) > f2(x2), а следовательно, неравенство

f1(f2(x1)) > f1(f2(x2)),

т.е. (f1 f2)(x) — строго возрастающая функция. Кроме того,

(f1 f2)(0) = f1(f2(0)) = f1(0) = 0, (f1 f2)(1) = f1(f2(1)) = f1(1) = 1.

Проверим аксиомы группы:

56

Гр. 1. (f1 f2)(x) f3(x) = f1(f2(x)) f3(x) = f1(f2(f3(x))) = f1(x) f2(f3(x)) = f1(x) (f2 f3)(x).

Гр. 2. Введем нейтральный элемент θ(x) ≡ x. Тогда

(θ f )(x) = θ(f (x)) = f (x) = f (θ(x)) = (f θ)(x).

Гр. 3. Симметричным элементом для f (x) является обратная функция f −1(x). Тогда в силу свойств обратной функции

(f f −1)(x) = f (f −1(x)) = x = θ(x), (f −1 f )(x) = f −1(f (x)) = x = θ(x).

Эта группа не является абелевой (коммутативной), т.е., вообще говоря,

(f1 f2)(x) = (f2 f1)(x).

Покажем это на простом примере. Пусть

и (f1 f2)(x) = (f2 f1)(x).

Кольца и поля

Определение 1.59. Кольцом называется множество X произвольной природы с введенными на нем двумя операциями: сложением и умножением. При этом относительно сложения это коммутативная (абелева) группа, а относительно умножения выполнены аксиомы дистрибутивности. Иными словами, выполняются следующие аксиомы (первые четыре аксиомы — это аксиомы абелевой группы):

K1. ( x X, y X, z X) : (x + y) + z = x + (y + z).

57

K2. ( 0 X)( X) : 0 + x = x + 0 = x.

K3. ( x X)( − x X) : x + (−x) = (−x) + x = 0.

K4. ( x X, y X) : x + y = y + x.

K5. ( x X, y X, z X) :

(x + y) · z = x · z + y · z, x · (y + z) = x · y + x · z.

Теорема 1.15

Для любого x из кольца справедливо соотношение

x · 0 = 0 · x = 0.

До к а з а т е л ь с т в о. Имеем

x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0.

Откуда следует, что 0 = x · 0. Аналогично

0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x

и 0 = 0 · x.

Определение 1.60. Кольцо называют ассоциативным, если умножение ассоциативно, т.е. выполняется аксиома

K6. ( x X, y X, z X) : x · (y · z) = (x · y) · z.

Определение 1.61. Кольцо называют коммутативным, если умножение коммутативно, т.е. выполняется аксиома

K7. ( x X, y X) : x · y = y · x.

Определение 1.62. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполняется аксиома

K8. ( 1 X)( x X) : 1 · x = x · 1 = x.

58

Определение 1.63. Кольцо с единицей называют кольцом с обратным элементом x−1, если выполняется аксиома

K9. ( x X, x = 0)( x−1 X) : x · x−1 = x−1 · x = 1.

Теорема 1.16

1.Если в кольце существует единица, то она единственна.

2.Если в ассоциативном кольце с единицей существует обратный элемент, то он единственный.

До к а з а т е л ь с т в о.

1.Пусть 1 и 1 — две единицы кольца. Тогда

1 = 1 · 1 = 1 .

2.Пусть x−1 и x−1 — обратные для x элементы. Тогда

x−1 = (x−1 · x) · x−1 = x−1(x · x−1) = x−1.

Определение 1.64. Кольцо называется областью целостности, если из равенства x · y = 0 следует, что хотя бы один из сомножителей x и y равен 0.

Определение 1.65. Полем называется коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый отличный от нуля элемент x имеет обратный элемент x−1.

Иными словами, поле есть кольцо, в котором отличные от нуля элементы образуют относительно операции умножения коммутативную группу. Эта группа носит название мультипликативной группы поля.

Очевидно, что любое поле есть область целостности. Действительно, если x = 0 и x · y = 0, то

x−1 · (x · y) = 0 (x−1 · x) · y = 0 1 · y = y = 0.

П р и м е р ы

1) Множество действительных чисел R является полем. В самом деле, выполняются все необходимые для этого аксиомы:

59