MMATAN01
.pdf
ϕ
Рис. 1.16. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Определение 1.36. Представление комплексного числа z в ви-
де
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos ϕ + i sin ϕ) |
(1.5) |
называется т р и г о н о м е т р и ч е с к о й |
формой ком- |
плексного числа. При этом угол ϕ = Arg z называется аргументом комплексного числа.
Нетрудно видеть, что
Arg z = arg z + 2kπ, k Z,
где arg z находится из соотношений (с учетом знаков a и b)
tg ϕ = ab , −π < ϕ ≤ π.
Используя тригонометрическую форму комплексного числа, мы докажем следующую теорему.
Теорема 1.7
Для комплексных чисел z1 и z2 справедливы соотношения
1. |
|z1 · z2| = |z1| · |z2|, Arg (z1 · z2) = Arg z1 + Arg z2. |
||||||||
2. |
z2 |
= |
|z2 |
|, Arg |
z2 |
|
= Arg z1 − Arg z2, z2 = 0. |
||
|
|
z1 |
|
z1 |
| |
|
z1 |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z1 = |z1|(cos α + i sin α) и z2 = |z2|(cos β + i sin β), α = Arg z1, β = Arg z2. Тогда
1.z1z2 = |z1|(cos α + i sin α)|z2|(cos β + i sin β) =
=|z1||z2|(cos(α + β) + i sin(α + β)).
2.z1 = |z1|(cos α + i sin α) = |z1|(cos(α − β) + i sin(α − β)). z2 |z2|(cos β + i sin β) |z2|
Откуда следует, что
|z1||z2| = |z1||z2|, Arg (z1z2) = α + β = Arg z1 + arg z2,
|
z1 |
|
= |
z1 |
||, |
Arg |
z2 |
||z2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
= α − β = Arg z1 − Arg z2. |
z2 |
С л е д с т в и е. Если утверждение 1 предыдущей теоремы применить последовательно к n одинаковым сомножителям, то получим формулу Муавра
[|z|(cos ϕ + i sin ϕ)]n = |z|n(cos nϕ + i sin nϕ), n N.
1.5.3. Показательная форма комплексного числа
Имеет место ф о р м у л а Э й л е р а
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, |
(1.6) |
которую мы примем без доказательства.
С помощью этой формулы тригонометрическую форму комплексного числа можно привести к виду
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z| eiϕ.
Учитывая, что cos ϕ и sin ϕ — периодические функции с периодом 2kπ, k Z, получаем
z = |z|(cos(ϕ + 2kπ) + i sin(ϕ + 2kπ)) = |z| ei(ϕ+2kπ).
32
Определение 1.37. Представление комплексного числа z в ви-
де
z = |z| eiϕ |
(1.7) |
называется п о к а з а т е л ь н о й формой комплексного числа.
Представление комплексного числа z в виде |
|
z = |z| ei(ϕ+2kπ) |
(1.8) |
будем называть показательной формой комплексного числа с периодом.
За м е ч а н и е. Легко видеть, что функция eiϕ — периодическая
спериодом 2kπ, т.е.
ei(ϕ+2kπ) = eiϕ.
1.5.4. Извлечение корня из комплексного числа
Определение 1.38. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое число β, которое будучи возведенным в n-ю степень дает число z,
βn = z.
√
Обозначение n z. Из определения корня следует соотношение
|
|
|
n |
|
|
√z |
= z, |
(1.9) |
|||
n |
|
|
|
||
полностью совпадающее с подобным соотношением для корней из действительного числа.
Пусть требуется извлечь корень n-й степени из комплексного числа z. Представим его в показательной форме с периодом
z = |z| ei(ϕ+2kπ).
Предположим, что его значение равно
√ |
|
|
iθ |
. |
(1.10) |
|
|||||
n |
z = ρ e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Тогда в силу (1.9) имеем
ρn ei nθ = |z| ei(ϕ+2kπ).
33
Последнее равенство возможно, если
ρn = |z|, nθ = ϕ + 2kπ.
Откуда находим ρ = n |z| (арифметическое значение корня – оно
единственно), θ = |
ϕ + 2kπ |
, и формула для вычисления корня (1.10) |
||||||||
|
n |
|
||||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
√ |
|
|
|
|
|
i ϕ+2kπ |
|
|
|
βk = |
n |
z = |
n |
|z| e |
|
n |
, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. |
(1.11) |
||
|
|
|
|
|||||||
Легко видеть, что в силу периодичности функции eiϕ, входящей в эту формулу, при других целых значениях k получаются те же значения корня, что и при одной из величин k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Таким образом, любое комплексное число z = 0 имеет ровно n различных значений. При z = 0 все эти значения сливаются в одно.
β
ββ
π
π |
π |
|
ϕ |
||
|
β
β
Рис. 1.17. Геометрическая интерпретация корня из комплексного числа
Корни n-й степени из комплексного числа допускают интересную геометрическую интерпретацию: значения корней n-й степени из числа z лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса n |z| с центром в начале координат (рис. 1.17).
34
√
П р и м е р. Вычислить все значения корня 6 1.
Р е ш е н и е. Представим число 1 в показательной форме с периодом
1 = e2kπi.
Применяя формулу вычисления корня (1.11), получаем
√6 |
|
|
i 2kπ6 |
, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. |
|
||||
βk = 1 = e |
|
|||
Откуда, используя формулу Эйлера (1.6), последовательно находим
β0 = e0 = 1,
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
β1 = ei |
3 |
= cos |
π |
+ i sin |
π |
|
= |
|
+ i |
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
2π |
|
|
2π |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
β2 |
= e |
|
3 |
= cos |
+ i sin |
= − |
+ i |
3 |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
β3 |
= eiπ = cos π + i sin π = −1, |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
i |
4π |
|
|
4π |
|
|
|
4π |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
β4 |
= e |
|
3 |
= cos |
+ i sin |
= − |
− i |
3 |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
i |
5π |
|
|
5π |
|
|
|
5π |
1 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
β5 |
= e |
|
3 |
= cos |
|
|
+ i sin |
|
|
= |
|
|
− i |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
Значения корней можно вычислить и используя геометрическую интерпретацию (рис. 1.18).
√
Наконец, 6 1 можно вычислить, решая уравнение z6 −1 = 0. Раскладывая z6 − 1 на множители, получаем
(z − 1)(z2 + z + 1)(z + 1)(z2 − z + 1) = 0
и корни находятся как решения следующих уравнений
z − 1 = 0, z + 1 = 0, z2 + z + 1 = 0, z2 − z + 1 = 0.
35
Рис. 1.18. Значения корней 6-й степени из 1
1.6. Евклидово конечномерное пространство
Определение 1.39. В соответствии с определением степени множества
Rk = R × R × · · · × R
kраз
есть множество упорядоченных наборов действительных чисел “длины k”
(x1, x2, . . . , xk ).
Числа x1, x2, . . . , xk называют координатами элемента
x = (x1, x2, . . . , xk ),
асами элементы x называют векторами или точками.
Вмножестве Rk определим следующие операции
I.Сложение
Если x = (x1, x2, . . . , xk ) и y = (y1, y2, . . . , yk), то
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xk + yk). |
(1.12) |
36
II. Умножение на действительное число
Если x = (x1, x2, . . . , xk ) и α R, то |
|
|
|
|
|
|
|||
|
αx = (αx1, αx2, . . . , αxk ). |
|
|
|
|
(1.13) |
|||
III. Скалярное произведение векторов |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
(x, y ) = x1y1 + x2y2 + · · · + xk yk = |
xi yi. |
|
(1.14) |
||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
IV. Норма (длина) вектора |
|
|
|
|
|
|
|||
x = x Rk = (x, x) = x12 + x22 + · · · + xk2 = |
|
xi2 |
|
1 |
|||||
. |
|||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.15)
V. Расстояние между точками x и y
d(x, y) = x − y = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xk − yk)2.
(1.16)
Множество Rk , в котором определены: сложение векторов, умножение вектора на действительное число, скалярное произведение векторов, норма и расстояние по формулам (1.12)–(1.16), называется конечномерным евклидовым пространством (k-мерным евклидовым пространством Rk ).
З а м е ч а н и е. Если в этом определении положить k = 1, то R1 совпадает с множеством действительных чисел, R1 = R. В этом случае скалярное произведение становится обычным произведением действительных чисел, а норма совпадает с обычным модулем,
x R = |x|.
37
1.7. Линейное пространство
Определение 1.40. Множество X называется л и н е й н ы м пространством, если в нем введены две операции: сложение двух любых элементов и умножение любого элемента на действительное число.
С л о ж е н и е. Для любых x X и любых y X существует элемент x + y X, называемый суммой элементов x и y, для которого выполняются следующие аксиомы сложения:
L1. x + y = y + x.
L2. x + (y + z) = (x + y) + z.
L3. Существует один нулевой элемент θ, удовлетворяющий условию x + θ = x.
L4. Для любого x X существует противоположный элемент −x, удовлетворяющий условию x + (−x) = θ.
У м н о ж е н и е н а ч и с л о. Для любого элемента x X и любого числа α R существует элемент αx X и выполняются следующие аксиомы умножения: если x X, y X, α R, β R, то
L5. α(x + y) = αx + αy.
L6. (α + β)x = αx + βx.
L7. (α · β)x = α(βx).
L8. 1 · x = x.
П р и м е р ы
1)Множество действительных чисел R — линейное пространство,
так как для x R, y R, z R аксиомы L1 − L8 — это аксиомы действительных чисел.
2)Множество функций f : [a, b] → R — линейное пространство, так как сложение функций и умножение функции на число производится над значениями функций, т.е. над действительными числами.
38
3) Евклидово k-мерное пространство Rk — линейное пространство, так как x + y Rk , αx Rk , если α R, и выполняются аксиомы L1 − L8.
Проверим их.
L1. x+y = (x1+y1, x2+y2, . . . , xk +yk) = (y1+x1, y2+x2, . . . , yk +xk) = = y + x.
L2. x + (y + z) = (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2), . . . , xk + (yk + zk )) = = ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2, . . . , (xk + yk) + zk)) = (x + y) + z.
L3. θ = (0, 0, . . . , 0) — нулевой элемент (нулевой вектор). Действительно, x + θ = (x1 + 0, x2 + 0, . . . , xk + 0) = (x1, x2, . . . , xk ) = x.
L4. −x = (−x1, −x2, . . . , −xk ) — противоположный элемент, так как
x+(−x) = (x1 +(−x1), x2 +(−x2), . . . , xk +(−xk )) = (0, 0, . . . , 0) = = θ.
L5. α(x + y) = (α(x1 + y1), α(x2 + x2), . . . , α(xk + yk )) = = (αx1, αx2, . . . , αxk ) + (αy1, αy2, . . . , αyk ) = αx + αy.
L6. (α + β)x = ((α + β)x1, (α + β)x2, . . . , (α + β)xk ) =
= (αx1, αx2, . . . , αxk ) + (βx1, βx2, . . . , βxk ) = αx + βx.
L7. (α ·β)x = (αβx1, αβx2, . . . , αβxk ) = α(βx1, βx2, . . . , βxk ) = α(βx).
L8. 1 · x = (1 · x1, 1 · x2, . . . , 1 · xk ) = (x1, x2, . . . , xk ) = x.
1.8. Евклидово пространство
Определение 1.41. Линейное пространство X называется евклидовым пространством (пространством со с к а л я р н ы м произведением), если определена функция
(x, y) : X × X → R,
которая каждой паре элементов x X и y X ставит в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением, и эта функция удовлетворяет следующим аксиомам скалярного произведения: если x X, y X, z X, α R, то
39
S1. (x, y) = (y, x).
S2. (x, y + z) = (x, y) + (x, z).
S3. (αx, y) = α(x, y).
S4. (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 x = θ.
П р и м е р ы
1)Множество действительных чисел R является евклидовым пространством, если под скалярным произведением понимать обычное произведение действительных чисел.
2)Пространство Rk — пространство со скалярным произведением. В нем уже введено скалярное произведение
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
(x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xk yk = xiyi. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
Проверим аксиомы скалярного произведения. |
|
||||||
k |
|
k |
|
|
|
|
|
i |
xiyi = |
|
|
|
|
|
|
S1. (x, y) = |
yixi = (y, x). |
|
|
||||
=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
k |
k |
|
i |
|
|
|
|
|
|
S2. (x, y + z) = |
xi(yi + zi) = (xi yi + xizi) = |
xiyi + xi zi = |
|||||
|
=1 |
|
|
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
(x, y) + (x, z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
S3. Если α R, то (αx, y) = |
|
|
i |
|
|||
|
αxiyi = α xi yi = α(x, y). |
||||||
|
|
|
i=1 |
|
=1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
i |
xi2 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
S4. (x, x) = |
и |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
||
|
|
|
x1 |
= 0 |
|
|
|
(x, x) = 0 |
|
|
|
x = (0, 0, . . . , 0) = θ. |
|||
|
|
. . . . . . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk = 0
40