MMATAN01

9. При построении кривой (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2) используются полярные координаты, совмещенные с декартовыми прямоугольными координатами (x, y), которые вводятся следующим образом: угол ϕ отсчитывается от положительного направления оси x, а r – это расстояние от начала координат до точки M (x, y) на плоскости (рис. 2.42).

ϕ

Рис. 2.42. Полярные координаты, совмещенные с прямоугольными

Заметим, что для этих полярных координат r изменяется в пределах 0 < r < +∞, а ϕ – в пределах одного оборота, ϕ0 ≤ ϕ < ϕ0+2π. Чаще всего полагают 0 ≤ ϕ < 2π.

Из рисунка 2.42 видно, что связь между декартовыми координатами x, y точки M (x, y) и ее полярными координатами устанавливают формулы

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ.

Построим теперь эскиз кривой, задаваемой в декартовой прямоугольной системе уравнением

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).

Переходя к полярным координатам, получаем

r4 = a2r2(cos2 ϕ − sin2 ϕ), r = a cos 2ϕ.

111

Рис. 2.43. Кривая, заданная уравнением (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2)

Задачи для самостоятельного решения

Построить графики функций

1

1.y = e x2 .

2.y = ln 11 −+ xx .

3.y = arcsin ex.

4.y = arctg ( tg x).

5.x = 2(t − sin t), y = (1 − cos t) (циклоида).

6.r = 2(1 + cos ϕ) (кардиоида).

3

7. (x2 + y2) 2 = 2xy. 112

Занятие 6. Гиперболические функции

Необходимые сведения

α

Гиперболические функции вводятся аналогично круговым (обычным тригонометрическим) функциям.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 2.44)

x2 + y2 = 1.

Синусом угла α называется ордината y точки M (x, y), лежащей на единичной окружности, такой, что радиус OM образует угол α с положительным направлением оси x. Косинусом угла α называют абсциссу x той же точки M (x, y) на единичной окружности:

x = cos α, y = sin α.

Если подставить такие координаты точки M в уравнение единичной окружности, то получим формулу, известную под названием “тригонометрическая единица”:

cos2 α + sin2 α = 1.

113

Напомним, что углом в круговой тригонометрии называется фигура, образованная вращением луча, выходящего из точки O, от начального положения, совпадающего с положительным направлением оси x. Величина угла (в радианной мере) равна длине дуги на единичной окружности, получаемой при вращении этого луча. Угол α считается положительным, если вращение луча происходит против часовой стрелки, и отрицательным, если вращение – по часовой стрелке. Вычисляя площадь сектора OM N для единичной окружности

SOM N = S = 12 αR2 = 12 α,

замечаем, что α = 2S, т.е. угол α равен удвоенной площади сектора единичной окружности, образованного при вращении луча вокруг точки O, взятой со знаком “+”, если вращение происходит против часовой стрелки, и со знаком “−”, если по часовой.

Рассмотрим теперь единичную гиперболу (точнее, ее правую ветвь) (рис. 2.45)

x2 − y2 = 1.

Углом t в гиперболической тригонометрии между лучами ON и OM называется число, равное удвоенной площади сектора OM N , взятой со знаком “+”, если точка M находится выше оси x, и со знаком “−”, если M ниже оси X. Ордината y точки M (x, y) единичной гиперболы называется гиперболическим синусом sh t, а абсцисса x — косинусом ch t гиперболического угла t:

y = sh t, x = ch t.

Если подставить эти значения в уравнение единичной гиперболы, то получим “тригонометрическую единицу” для гиперболической тригонометрии

ch 2t − sh 2t = 1.

Гиперболические тангенс th t и котангенс cth t определяются так же, как и в круговой тригонометрии

114

Используя определения гиперболических функций и гиперболическую тригонометрическую единицу, получаем формулы, похожие на формулы круговой тригонометрии:

Известно, что гиперболические функции можно выразить через показательные по формулам

Заметим, наконец, что так же как и в круговой тригонометрии, гиперболический косинус — функция четная, а гиперболические синус, тангенс и котангенс — функции нечетные.

Задание

1. Построить графики функций y = ch x и y = sh x.

2. Доказать следующие формулы гиперболической тригонометрии

2.1. ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y. 2.2. ch (x − y) = ch x ch y − sh x sh y.

115

Р е ш е н и я

1. При построении графиков функций y = ch x и y = sh x воспользуемся их выражениями через показательные функции

Используя операцию сложения, получаем графики гиперболических синуса и косинуса (рис. 2.46 и рис. 2.47).

2.1. При выводе формул гиперболической тригонометрии в основном используются идеи круговой тригонометрии. Тем не менее первую формулу докажем с помощью выражений гиперболических

116

=14 ( ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y+

+ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y) =

2.2. Пользуясь четностью косинуса и нечетностью синуса, из формулы пункта 2.1 получаем

ch (x − y) = ch (x + (−y)) = ch x ch (−y) + sh x sh (−y) =

=ch x ch y − sh x sh y.

2.3.Складывая почленно две формулы

ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y, ch (x − y) = ch x ch y − sh x sh y,

получаем ch (x + y) + ch (x − y) = 2 ch x ch y. Откуда следует

ch x ch y = 12 ( ch (x + y) + ch (x − y)).

2.4. Вычитая из первой формулы вторую

ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y, ch (x − y) = ch x ch y − sh x sh y,

получаем ch (x + y) − ch (x − y) = 2 sh x sh y. Откуда следует

sh x sh y = 12 ( ch (x + y) − ch (x − y)).

2.5. Введем обозначения x = u + v, y = u − v. Тогда

ch x + ch y = ch (u + v) + ch (u − v) =

= ch u ch v + sh u sh v + ch u ch v − sh u sh v =

= 2 ch u ch v = 2 ch x + y ch x − y .

2 2

117

2.6. Аналогично 2.5 получаем

ch x − ch y = ch (u + v) − ch (u − v) =

= ch u ch v + sh u sh v − ch u ch v + sh u sh v =

ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

y = x, получаем

ch 2x = ch 2x + sh 2x.

2.8. Складывая и вычитая почленно две следующие формулы

ch 2x = ch 2x + sh 2x, 1 = ch 2x − sh 2x,

получим 2 ch 2x = ch 2x + 1, 2 sh 2x = ch 2x − 1. Откуда следуют формулы понижения степени

следуют из формул понижения степени, если в них аргумент x за-

менить на x2 . При этом учитывается, что гиперболический косинус всегда положителен.

Задачи для самостоятельного решения

1.Построить графики функций y = th x и y = cth x.

2.Доказать следующие формулы гиперболической тригонометрии

2.1. sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y.

118