MMATAN01

y

|y|=|lgx2|

Рис. 2.19

Рис. 2.20

10. График |y| = f (x). Функция f (x) должна принимать неотрицательные значения. Но при f (x) ≥ 0 выполняется f (x) = |f (x)|. Имеем

|y| = |f (x)|, где f (x) ≥ 0,

или, что то же самое,

y = ±f (x), где f (x) ≥ 0.

Часть графика функции y = f (x), которая лежит выше оси x, остается без изменения, и к ней добавляется ее симметрично отраженная относительно оси x часть (верхняя часть графика, f (x) ≥ 0, симметрично продолжается относительно оси абсцисс).

П р и м е р 10. График |y| = 5 sin x изображен на рис. 2.20.

91

Задание

Построить с помощью цепочки последовательных преобразований графики следующих функций

4.|y + π2 | = | arcsin |||x| − 1| − 1||.

Ре ш е н и я

1.Строим цепочку преобразований.

1

График y = lg 1 − x = − lg(1 − x) получается из графика y =

lg(1 − x) симметричным отображением относительно оси абсцисс. График y = lg(1 − x) = lg(−(x − 1)) получается из y = lg(−x)

сдвигом вправо на единицу.

График y = lg(−x) получается из графика y = lg x симметричным отображением относительно оси ординат.

Таким образом, мы должны последовательно построить графики (рис. 2.21):

1.y = lg x;

2.y = lg(−x);

3.y = lg(−(x − 1)) = lg(1 − x);

1

4. y = − lg(1 − x) = lg 1 − x .

√

√ 2. График функции y = 2 + 4 − x получается из графика y =

4 − x поднятием вверх на 2 единицы.

√

График функции y = 4 − x = −(x − 4) получается из графика y = √−x смещением на 4 единицы вправо.

График y = √−x получается из графика y = отображением относительно оси ординат.

Цепочка преобразований имеет вид:

92

Эти графики изображены на рис. 2.22.

3. График |x| + |y| = 1 или, что то же самое, |y| = 1 − |x|, получается симметричным продолжением относительно оси x верхней части графика y = 1 − |x|.

График y = 1−|x| получается симметричным продолжением правой части графика y = 1 − x.

Цепочка преобразований имеет вид:

1.y = 1 − x;

2.y = 1 − |x|;

3.|y| = 1 − |x|.

93

Рис. 2.22

Эти графики изображены на рис. 2.23.

4.График |y + π2 | = | arcsin |||x| − 1| − 1|| получается из графика

|y| = | arcsin |||x| − 1| − 1|| смещением вниз на π2 единиц.

График |y| = | arcsin |||x| − 1| − 1|| получается симметричным продолжением относительно оси x всего графика y =

arcsin |||x| − 1| − 1|.

График y = arcsin |||x| − 1| − 1| получается симметричным продолжением относительно оси y правой части графика y =

arcsin ||x − 1| − 1|.

График y = arcsin ||x−1|−1| получается смещением на единицу вправо графика y = arcsin ||x| − 1|.

График y = arcsin ||x|−1| получается симметричным продолжением относительно оси y правой части графика y = arcsin |x−1|.

94

График y = arcsin |x − 1| получается смещением на единицу вправо графика y = arcsin |x|.

График y = arcsin |x| получается симметричным продолжением относительно оси ординат правой части графика y =

arcsin x.

Итак, имеем цепочку преобразований (рис. 2.24):

1.y = arcsin x;

2.y = arcsin |x|;

3.y = arcsin |x − 1|;

4.y = arcsin ||x| − 1|;

5.y = arcsin ||x − 1| − 1|;

6.y = arcsin |||x| − 1| − 1|;

7.|y| = | arcsin |||x| − 1| − 1||;

8.|y + π2 | = | arcsin |||x| − 1| − 1||.

95

Рис. 2.24. Построение графика |y + π2 | = | arcsin |||x| − 1| − 1||

96

y = x + π2 и y = x − π2 ( на рисунке изображены редкой пунктирной

линией). При построении графика y = |x − 1| + |x + 1| учитывается, что сумма двух линейных функций есть линейная функция. Поэтому достаточно на каждом из отрезков (−∞, −1], [−1, 1], [1, +∞) указать две точки и провести через них прямую линию.

2. Умножение графиков. Умножаются графики функций y = f (x) и y = g(x) в наиболее характерных точках. Обычно в качестве таких точек берут те, в которых одна из функций принимает постоянное значение (чаще всего это 0, 1 или -1). Затем полученные в результате умножения точки на плоскости соединяют плавной линией с учетом поведения произведения f (x)g(x) (знакопостоянства, возрастания или убывания, поведения на границе области определения и т.д.).

П р и м е р 5. Построим график функции y = x · sin x. Умножаем функцию y = x (ее график изображен на рис. 2.27 пунктирной линией) на функцию y = sin x (график – штрихпунктир). Взяв точки, в которых sin x = 0, получаем точки A на оси x. В точках, где sin x = 1, имеем для произведения x sin x = x (точки B на прямой y = x). Аналогично получаются точки C на прямой y = −x. Соединяя эти точки плавной линией и затем продолжая через ось ординат этот график из правой части (функция y = x sin x — четная), получим график произведения x sin x (на рис. 2.27 изображен сплошной линией).

П р и м е р 6. Построим график y = cos x · sign (sin x). В силу определения функции знака

Откуда следует, что на интервале (0, π) второй множитель sign (sin x) равен 1, а на интервале (π, 2π) равен -1. Таким образом, произведение графиков на интервале (0, π) оставляет график косинуса без изменения, а на интервале (π, 2π) отображает график косинуса симметрично относительно оси x. Далее график продолжается периодически.

99

Рис. 2.27

При x = kπ получаем точки графика, лежащие на оси абсцисс (рис. 2.28).

Рис. 2.28

3. Деление графиков. Так же как и в случае умножения, отмечаются характерные точки графика. После чего строят график частного с учетом его особенностей (знакопостоянства, возрастания или убывания, поведения на границе области определения, поведение вблизи вертикальных асимптот, поведение на бесконечности и т.д.).

100