MMATAN01

Рис. 1.12. Решение неравенства |x| ≤ a

Рис. 1.13. Решение неравенства |x| ≥ a

Аналогично, решение неравенства |x| ≥ a — множество точек x, удаленных от начала на расстояние большее или равное a (рис. 1.13).

В этом случае справедлива формула

Следующая теорема очень важна в приложениях.

Теорема 1.3

(О модуле суммы). Модуль суммы нескольких слагаемых меньше суммы или равен сумме модулей этих же слагаемых.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем это утверждение сначала для двух слагаемых. Сложив почленно два очевидных неравенства

−|x| ≤ x ≤ |x|, −|y| ≤ y ≤ |y|,

получим

−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|.

Откуда следует, согласно формуле (1.1), что

Применим формулу (1.3) к сумме трех слагаемых

|x + y + z| ≤ |x + y| + |z| ≤ |x| + |y| + |z|.

Продолжая этот процесс придем к выводу, что утверждение теоремы справедливо для любого числа слагаемых.

21

1.4.3. Основные понятия в множестве действительных чисел

Определение 1.21

1. С е г м е н т о м [a, b] в множестве действительных чисел назовем множество

[a, b] = {x R : a ≤ x ≤ b}.

2. И н т е р в а л о м (a, b) в множестве действительных чисел назовем множество

(a, b) = {x R : a < x < b}.

3. П о л у и н т е р в а л о м [a, b) или (a, b] в множестве действительных чисел назовем множества

[a, b) = {x R : a ≤ x < b} или (a, b] = {x R : a < x ≤ b}.

Определение 1.22. ε-о к р е с т н о с т ь ю точки a в множестве действительных чисел называется интервал

(a − ε, a + ε).

Эквивалентные записи для ε-окрестности имеют вид:

a − ε < x < a + ε или |x − a| < ε.

Введем понятие расширенной системы действительных чисел, а вместе с ней понятие несобственных чисел.

Определение 1.23. Расширенная система действительных чисел состоит из множества действительных чисел R, к которому присоединены два несобственных числа −∞ и +∞, причем для них выполняются следующие свойства:

1) если x — действительное число, то −∞ < x < +∞ и

22

2) если x > 0, то

x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞,

2) если x < 0, то

x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞.

При этом любое действительное число будем называть конечным числом, а несобственное число — бесконечным числом.

З а м е ч а н и е. В дальнейшем под множеством действительных чисел R мы будем понимать расширенную систему действительных чисел.

1.4.4. Верхние и нижние границы числового множества

Отметим, что верхние и нижние границы вводятся только для подмножеств множества действительных чисел, так как только в этом множестве введены понятия больше и меньше.

Определение 1.24

1.Число M называется в е р х н е й г р а н и ц е й множества E R, если

( x E) : x ≤ M.

При этом множество E называется ограниченным сверху. 2.Число m называется н и ж н е й г р а н и ц е й множества

E R, если

( x E) : m ≤ x.

При этом множество E называется ограниченным снизу. 3.Множество E R называется о г р а н и ч е н н ы м , если

оно одновременно ограниченно и снизу и сверху.

Определение 1.25. Число M называется т о ч н о й в е р х- н е й г р а н и ц е й или верхней гранью множества E R, если одновременно выполняются два соотношения:

1.( x E) : x ≤ M.

2.( ε > 0)( xε E) : xε > M − ε.

23

Обозначение M = sup E.

(

ε ε

Рис. 1.14. К определению точной верхней границы

Определение 1.26. Число m называется т о ч н о й н и ж- н е й г р а н и ц е й или нижней гранью множества E R, если одновременно выполняются два соотношения:

1.( x E) : x ≥ m.

2.( ε > 0)( xε E) : xε < m + ε.

Обозначение m = inf E.

ε ε

Рис. 1.15. К определению точной нижней границы

П р и м е р ы

1)Пусть E = [0, 1]. Число M = 2 — верхняя граница множества E, но не является точной верхней границей.

2)Для сегмента [a, b] точная верхняя граница равна b, sup[a, b] = b, а точная нижняя граница равна a, inf[a, b] = a.

3)Для интервала (a, b) имеем sup(a, b) = b и inf(a, b) = a.

4)Единственный случай, когда точная верхняя граница совпадает с точной нижней границей, — это множество E R, состоящее из одной точки. Например, если E = {2}, то sup E = inf E = 2.

Из приведенных примеров видно, что точные границы множества E из R могут принадлежать множеству, а могут и не принадлежать ему.

24

В связи с этим возникает вопрос: когда же точные границы множества принадлежат этому же множеству? Ответ на этот вопрос мы получим позднее.

Для множества действительных чисел примем следующую аксиому.

Аксиома 1.1

Всякое ограниченное снизу множество E R имеет точную нижнюю границу.

Всякое ограниченное сверху множество E R имеет точную верхнюю границу.

Мы введем также понятия точных верхних границ и для неограниченных множеств.

Определение 1.27

1.Точная верхняя граница неограниченного сверху множества E R равна +∞.

2.Точная нижняя граница неограниченного снизу множества E R равна −∞.

1.4.5. Действительнозначные функции

Определение 1.28. Пусть X — множество любой природы. Функция

f : (E X) → R

называется д е й с т в и т е л ь н о з н а ч н о й функцией.

Если в предыдущем определении в качестве множества X взять множество действительных чисел, то приходим к понятию функции действительного переменного.

Определение 1.29. Функция

f : (E R) → R

называется функцией д е й с т в и т е л ь н о г о п е р е м е н- н о г о.

25

Определение 1.30. Пусть

f: (E X) → R

—действительнозначная функция. Точной верхней границей M функции f (x) на множестве E называется точная верхняя граница множества значений f (E) этой функции. На языке символики это означает:

1.( x E) : f (x) ≤ M.

2.( ε > 0)( xε E) : f (xε) > M − ε.

Обозначение точной верхней границы действительнозначной функции:

M = sup f (E) = sup f (x).

x E

Определение 1.31. Пусть

f: (E X) → R

—действительнозначная функция. Точной нижней границей m функции f (x) на множестве E называется точная нижняя граница множества значений f (E) этой функции или на языке символики:

1.( x E) : f (x) ≥ m.

2.( ε > 0)( xε E) : f (xε) < m + ε.

Обозначение:

m = inf f (E) = inf f (x).

x E

1.5. Комплексные числа

Определение 1.32. Комплексными числами называют упорядоченные пары действительных чисел (a, b), для которых введены действия:

1) сложение и вычитание

(a, b) ± (c, d) = (a ± c, b ± d),

26

2) умножение

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc),

Множество комплексных чисел обозначим через C.

Легко проверить, что для операций, введенных для комплексных чисел, выполняются все законы подобных же операций для действительных чисел. Далее, из определения видно, что для любых действительных чисел a и b имеем

т.е. комплексные числа вида (a, 0) обладают теми же арифметическими свойствами, что и действительные числа a. Мы можем поэтому отождествлять (a, 0) с a; это отождествление превращает множество действительных чисел в подмножество системы комплексных чисел, R C.

1.5.1. Комплексные числа

валгебраической форме

Определение 1.33. Обозначим упорядоченную пару (0, 1) буквой i, i = (0, 1), и назовем число i мнимой единицей.

Основные свойства мнимой единицы устанавливает следующая теорема.

Теорема 1.4

Если i = (0, 1), то

1.i2 = −1.

2.(a, b) = a + bi для любых действительных чисел a и b.

27

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя действия, введенные в

определении комплексного числа, получаем

1.i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

2.a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).

Доказанная теорема позволяет записать любое комплексное число с использованием обычных алгебраических действий.

Определение 1.34. Представление комплексного числа в виде

называется а л г е б р а и ч е с к о й формой комплексного числа.

Мы теперь можем обращаться с комплексными числами как с обычными алгебраическим выражениями вида a + bi, учитывая, что i2 = −1. Это особенно удобно при выполнении алгебраических операций. Например, деление комплексных чисел можно производить следующим образом

Приведем еще несколько важных понятий, связанных с алгебраической формой комплексного числа.

Определение 1.35. Пусть z = x + iy.

1. Неотрицательное число |z|, вычисляемое по формуле

|z| = x2 + y2,

называется модулем (абсолютной величиной) комплексного числа z.

2.Действительное число x называется реальной (действительной) частью комплексного числа z = x + iy и обозначается

x = Re z.

28

3.Действительное число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается

y= Im z.

4.Числа вида z = x + iy и z¯ = x − iy называются комплексносопряженными.

5.Числа вида z = x + iy и −z = −x − iy называются противоположными.

6.Число iy называется чисто мнимым числом.

За м е ч а н и е. Из определения комплексно-сопряженных чисел следует,что число a будет действительным тогда и только тогда, когда a = a¯, т.е. совпадает со своим сопряженным. Этот факт вытекает из совершенно очевидного соотношения a = a + 0i = a − 0i.

Установим теперь свойства комплексно-сопряженных чисел, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема 1.5

Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел есть числа действительные

z+ z¯ = 2Re z, z · z¯ = |z|2.

До к а з а т е л ь с т в о. Действительно

z + z¯ = (x + iy) + (x − iy) = 2x = 2Re z,

z · z¯ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 = |z|2.

Теорема 1.6

Для комплексно-сопряженных чисел справедливы следующие свойства:

1. Комплексно-сопряженное от суммы равно сумме комплексносопряженных, т.е.

z1 + z2 = z¯1 + z¯2.

29

2. Комплексно-сопряженное от произведения равно произведению комплексно-сопряженных,

z1 · z2 = z¯1 · z¯2.

3. Если a R, то

a · z = a · z¯.

4. Комплексно-сопряженное от степени с натуральным показателем равно степени комплексно-сопряженного, т.е. для любых n N

zn = z¯ n.

До к а з а т е л ь с т в о.

1.Пусть z1 = a + bi, z2 = c + di. Тогда z¯1 = a − bi, z¯2 = c − di и

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i = (a + c) − (b + d)i, z¯1 + z¯2 = (a − bi) + (c − di) = (a + c) − (b + d)i.

Из последних двух равенств и следует z1 + z2 = z¯1 + z¯2.

2.Доказывается аналогично свойству 1.

3.Следует из свойства 2, если учесть, что для a R выполняется a¯ = a.

4.Если в свойстве 2 положить z1 = z2 = z, то получим z2 = z¯ 2. Дальше доказательство проводится по индукции.

1.5.2. Комплексные числа

втригонометрической форме

Геометрически комплексное число z = (x, y) принято изображать точкой на плоскости с координатами (x, y) или радиусом-вектором этой точки (рис.1.16). Такой вектор можно характеризовать углом ϕ между осью x и направлением этого вектора и длиной этого вектора, равной |z|.

Из рисунка 1.16 видно, что x = |z| cos ϕ, y = |z| sin ϕ. Но тогда z = x + iy = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

30