MMATAN01

2x

П р и м е р 7. График функции y = 1 + x2 получается делением графика y = 2x на график y = 1 + x2. Прежде всего заметим, что

2x

функция y = 1 + x2 — нечетная. Поэтому достаточно построить ее график при x ≥ 0, а затем симметрично продолжить относитель-

но начала координат. При любых x имеем очевидное неравенство

2x

≤ 1. Следовательно, график функции расположен в поло-

1 + x2

се −1 ≤ y ≤ 1. Отмечаем две характерные точки графика: y = 0 при x = 0 и y = 1 при x = 1 (во второй точке графики в числителе и в знаменателе имеют общую точку, кроме того, из выше сказанного следует, что частное в этой точке принимает наибольшее значение, равное 1). Легко видеть, что при стремлении x к +∞ дробь

2x

y = 1 + x2 стремится к 0, а график имеет горизонтальную асимп-

тоту y = 0. Учитывая все эти особенности, легко начертить график частного (рис. 2.29).

штрихпунктирная линия). Отметим, что на бесконечности предельные значения этой дроби равны отношению коэффициентов в числителе и знаменателе при старшей степени x2 и равны 1. Следовательно, график имеет горизонтальную асимптоту y = 1. На интервале (−∞, −2) график в числителе и график в знаменателе имеют одинаковый знак. Отношение положительно (график частного лежит выше оси x). При приближении к точке −2 числитель стремится к конечному значению, а знаменатель к нулю. Следовательно, график частного будет стремиться к +∞. Прямая x = −2 — вертикальная асимптота. Аналогично заключаем, что прямая x = 1 также вертикальная асимптота. На интервале (−2, 1) слева от точки x = −1 вспомогательные графики имеют разные знаки и их отношение отрицательно, справа от точки x = −1 вспомогательные графики имеют равные знаки и их отношение положительно. График частного на этом интервале строим с учетом того, что x = −2 и x = 1 — вертикальные асимптоты. На интервале (1, +∞) слева от точки x = 2 вспомогательные графики имеют разные знаки и их отношение отрицательно, справа от точки x = 2 вспомогательные графики имеют равные знаки и их отношение положительно. График частного на этом интервале строим с учетом того, что x = 2 — вертикальная асимптота, а y = 1 — горизонтальная асимптота.

тоты x = ±1 и одну горизонтальную асимптоту y = −1.

Задачи для самостоятельного решения

Построить графики функций

102

откладываем от точки A (с учетом знака) на основном чертеже перпендикулярно к оси x. Получим точку C1 графика сложной функции. Аналогично получается точка C2 и другие точки графика. Все эти точки соединяем плавной линией. Очевидно, что это построение можно проводить, если на обоих чертежах берется один и тот же масштаб. На практике часто этот процесс упрощается, если использовать характерные особенности (закономерности) графиков функций и предельные переходы. При этом совпадение масштабов может быть и необязательно.

Рис. 2.32

Рис. 2.33

1

1. График функции y = e x получается как суперпозиция графиков y = x1 и y = ex (рис. 2.33). На чертеже слева возьмем точку

105

графика сложной функции, например (1, e). Начнем перемемещаться от точки x = 1 по оси абсцисс в сторону возрастания x. Тогда,

как видно из графика, величина x1 стремится к нулю, оставаясь по-

ложительной. Но если аргумент у показательной функции стремится к нулю, то ее значение стремится к 1. Следовательно, график сложной функции будет асимптотически приближаться к прямой y = 1. Аналогично, двигаясь по оси x от точки 1 к точке 0, получаем, что значение сложной функции неограниченно возрастает. Возьмем теперь точку слева от оси ординат, например (−1, e−1). Двигаясь от

точки −1 к точке 0, видим, что величина x1 стремится к −∞. Но

тогда, если аргумент у показательной функции стремится к −∞, то сама функция стремится к нулю (чертеж справа), не достигая нулевого значения. Этот факт на основном рисунке отражен стрелкой.

Если на основном чертеже устремить x к −∞, то величина x1 стре-

мится к 0 и показательная функции (чертеж справа) приближается к 1. Таким образом, при приближении к −∞ график сложной функции асимптотически приближается к прямой y = 1, располагаясь ниже этой прямой.

2.На рис. 2.34 слева сплошной линией изображен график сложной функции y = ln(x − 1)(x − 2)2(x − 3)3, пунктиром — график функции y = (x −1)(x −2)2(x −3)3. График имеет две вертикальные асимптоты x = 1 и x = 3.

3.График функции y = arctg (ln x) изображен на рисунке 2.35 (слева).

4.Для построения графика функции y = arcsin(sin x) заметим, что это задание этой функции равносильно следующему

Таким образом, график функции y = arcsin(sin x) состоит из отрезков прямых y = (−1)nx + nπ, n Z, для которых −π2 ≤ y ≤ π2 (рис.

5.График обратной функции x = y − ln y получается из графика функции y = x − ln x симметричным отображением последнего относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 2.37).

6.При построении графика функции с параметрическим заданием x = x(t), y = y(t) рекомендуется графики x = x(t) и y = y(t) располагать друг под другом и строить в одном масштабе, как это сделано на рисунке 2.38 слева. Перемещаясь вдоль оси t в сторону возрастания параметра, замечаем, что координата x возрастает от −∞ до x = 0, координата y убывает от +∞ до y = 0. Это отмечено на основном графике (рис. 2.38 справа). Двигаясь далее вдоль оси

t, видим, что x возрастает от 0 до 1, y возрастает от 0 до 3227 , а затем x и y убывают до −∞, причем кривая проходит через начало

107

Рис. 2.36. График функции y = arcsin(sin x)

Рис. 2.37. График функции x = y − ln y

координат, что и показано на основном графике.

7. Полярные координаты (r, ϕ) определяются полярной осью, которая вращается на плоскости вокруг фиксированной точки O, называемой полюсом (рис. 2.29). За начальное положение ϕ = 0 обычно принимают горизонтальное положение оси (как и в тригонометрической системе). Положительными считаются углы, отсчитываемые от начала против часовой стрелки, а отрицательными – по часовой стрелке. Положение точки с координатами r и ϕ находится следующем образом: вначале полярную ось поворачиваем на угол ϕ от начального положения а затем откладываем на ней точку на расстоянии r = r(ϕ) от полюса вдоль положительного направления оси, если r > 0, или на расстоянии |r| вдоль отрицательного направления оси, если r < 0. Для того чтобы построить график функции r = r(ϕ), заданной в полярных координатах, нужно для различных значений угла ϕ найти точки по указанному выше правилу и затем соединить

108

x

x=2t-t 2

Рис. 2.38. График функции, заданной параметрически x = 2t − t2, y = 2t2 − t3

ϕ

ϕ=0

Рис. 2.39. Полярные координаты

их плавной линией (при необходимости учитывая характерные для данной функции особенности).

8. При построении графика функции r = 10 sin 3ϕ составим таблицу значений этой функции

Вращая полярную ось от положения ϕ = 0 до ϕ = π , замечаем, что значение r возрастает от 0 до 10. При этом точка с6координата-

109

Рис. 2.40. График функции r = ϕ, ϕ [−2π, 2π], в полярных координатах

Рис. 2.41. Кривая r = 10 sin 3ϕ в полярных координатах

ми (r, ϕ) будет перемещаться по кривой в направлении, указанном

ном направлении полярной оси. Продолжая этот процесс, получим кривую, изображенную на рисунке 2.41. Стрелками указано, как перемещается точка (r, ϕ) по этой кривой, когда возрастает ϕ. В силу периодичности функции 10 sin 3ϕ обход по кривой будет совершаться неограниченное число раз.

110