TEM

Аg = [exp(2πikr)/r] ΣnFn exp(-2πiKRn) (6.35)

Поскольку K = g + s, то

Аg = [exp(2πikr)/r] ΣnFn exp[-2πi(g+sg)Rn] (6.36)

Поскольку Rn есть целое число, согласно (6.4а) и (6.11), то, заменяя sg на s,

где s вектор отклонения для рефлекса g. В приближении больших Nx, Ny, Nz, сумму можно заменить интегралом, тогда

частности, если тонкие пластины преципитатов ориентированы тонкой стороной перпендикулярно пучку, то в направлении, перпендикуляром тонкой стороне

62

решетки α-Fe [21]. В дополнение к тяжам, в ДК видны пятна в положении запрещенных рефлексов 100. Эти рефлексы соответствуют стержням, перпендикулярным сфере Эвальда, узлов 220 обратной решетки от тонкого слоя Fe3O4 c

гцк структурой. Крестообразные сателлиты вокруг 110 рефлексов – стержни 311 и 131 рефлексов Fe3O4.

Дополнение 6.1.

Таблица Д6.1. Некоторые правила отбора для дифракции в распространенных структурах.

63

Дополнение 6.2. Схемы дифракционных рефлексов для типичных кристаллов и ориентаций пучка электронов [2].

Рис. Д6.2.1. Четыре схемы стандартных дифракционных картин для оцк структуры.

64

Лекция 7.

ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ.

Экстинкция. Колонковое приближение. Уравнения Хови-Уэлана. Решение уравнений Хови-Уэлана. Интенсивность прямого и дифрагированного пучков. Эффективный вектор отклонения. Лауэ зоны. Двойная дифракция. Дифракция в многофазных системах

Экстинкция

При рассмотрении амплитуды рассеяния в Л6 образец считался тонким, так, что потерями интенсивности в прямом и дифрагированном пучке пренебрегалось. Вместе с

впереди волнового фронта CD будет определяться суммой парциальных амплитуд с

67

учетом разности фаз. Мысленно разделим плоский фронт CD на зоны Френеля, края

где fpdx – амплитуда рассеяния на единицу площади плоскости CD, а r – расстояние от точки Р до этой плоскости. В действительности, рассеивают элементарные ячейки на плоскости АВ, и если n – число элементарных ячеек на единицу площади на АВ, то

где Fg – структурный фактор (6.24) для рефлекса g. Таким образом,

Физический смысл безразмерного параметра q – доля амплитуды первичного пучка, которая выбывает при дифракции на атомах плоскости АВ.

Радиус 1-й полупериодной зоны Френеля R =

ом плоскости рассеяния, состоящей из атомов, можно пренебречь.

Для типичных рефлексов низкого порядка в металлах Fg 10-7 см, n 1015 см –2, λ 0.0037 нм для Е0=100 кэВ, и cosθ 1. Тогда q 4·10-2. Поэтому пучок должен пройти примерно только 25 плоскостей, чтобы все электроны претерпели дифракцию. Для сравнения – в случае рентгеновской дифракции число плоскостей должно быть ~104. Т.о. потерями интенсивности в электронной дифракции можно пренебречь только в случае очень тонких кристаллов.

68

Поскольку имеются отклонения от точных условий Брэгга, то необходимо учитывать разность фаз между составляющими от разных плоскостей. Разность фаз между составляющими от 1-й и m-й плоскостей равна -2πK’·rm, где rm взято вдоль k’, т.е. вдоль направления дифрагированного пучка, рис. 7.5 [16]. Т.к. каждая составляющая равна iq, амплитудно-фазовая диаграмма будет правильным многоугольником или (поскольку q мало) окружностью с максимальной амплитудой 2mq/π, рис.7.6 [16]. Число плоскостей, дающих вклад в формирование дифрагированного пучка единичной амплитуды, равно m = π/2q. Длина экстинкции ξg определяется как удвоенное соответствующее расстояние в кристалле, т.е.

где а – расстояние между плоскостями АВ. Подставляя выражение для q и положив n/a = 1/Vc, где Vc - объем элементарной ячейки, получаем

Длина экстинкции служит мерой уменьшения интенсивности пучка с числом пройденных дифрагированным пучком слоев или с толщиной образца. Прямой пучок является частным случаем, соответствующим g = 0. Для отражений низкого порядка длина экстинкции составляет несколько десятков нм.

Колонковое приближение (column approximation)

В колонковом приближении выполняются большинство расчетов интенсивности

рис.7.7, определяется вкладом всех ячеек образца, лежащих в конусе с угловым раствором, определяемым несколькими зонами Френеля, диаметр которых, в свою

очередь, главным образом определяется длиной волны λ. Для первой зоны R = (λt)1/2, λ = 3.7 пм (Е0=100 кэВ), t = 100 нм, R 0.6 нм., а радиус области из нескольких зон ~ 2

нм. Т.о. раствор конуса мал, что дает основание для колонкового приближения, рис. 7.8.

Уравнения Хови-Уэлана

Разделив кристалл, имеющий n элементарных ячеек на единицу площади поверхности, на слои толщиной а, параллельные поверхности, и с учетом (7.4-7.6) для амплитуды дифрагированного пучка, обозначаемой здесь как φg, в приближении плоских волн получаем

где rn- означает позицию элементарной кристаллографической ячейки. Полная волновая функция есть суперпозиция прямого и дифрагированных пучков:

69

с векторами χg1, χg2 и т.д. Вектор χ0 соответствует g = 0, т.е. началу координат обратной решетки. Ограничимся в последующем рассмотрении только одним дифрагирующим пучком помимо прямого, т.е. т.н. двухпучковым приближением, которое легко и часто реализуется в эксперименте: наклоняем кристалл так, что в ДК присутствует только один сильный рефлекс с вектором отклонения s =0. Все другие пучки слабы, т.е. s >> 0 либо <<0. Соответственно, в динамической картине перекачки интенсивности их вклад тоже будет мал. Тогда, разделив образец на слои толщиной dz, изменения амплитуд φg

Первый член описывает вклад рассеяния в прямом направлении, а второй – вклад брэгговского рассеяния, а χ0-χD и χD-χ0 – соответствующее изменение волнового вектора. Длина экстинкции ξ0 соответствует рассеянию вдоль движения пучка, в том числе и дифрагированного

(IÆV, IIÆVI, рис.7.9), а ξg – рассеянию с изменением волнового вектора на g, (IÆIII, IIÆIV, рис.7.9). Уравнения

(7.9-10) могут быть преобразованы в систему динамически связанных уравнений для φ0 и φg. Вспоминая, что K = kD-k0 = (g + s) для идеального кристалла, а также в силу малости углов Брэгга, получаем:

d φg/dz = (πi/ξ0)φg + (πi/ξg)φ0exp(-2πisz) (7.11а) d φ0/dz = (πi/ξ0)φ0 + (πi/ξg)φg exp(2πisz). (7.11б)

Уравнения (7.10) называют уравнениями Хови – Уэлана

[22], а иногда Дарвина-Хови-Уэлана, поскольку Дарвин

[23] развил динамическую теорию для рентгеновских лучей еще в 1914.

Поскольку φ0 и φ0s, а также φg и φgs отличаются только фазовым фактором, который исчезает при вычислении интенсивностей, мы будем игнорировать различие. Тогда уравнения (7.13) могут быть скомбинированы и получено уравнение 2-го порядка для

Поскольку φ0s и φgs, а следовательно и φ0 и φg, связаны уравнением (7.13), то, подставляя (7.15) в (7.13), имеем

Мы можем также как и в (7.15) ввести

70