УМК
.PDFРешение. Так как lim(x +1) = 0 (докажите это самостоятельно), то со- |
||||||||||
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
||||
гласно определению 2.10, |
функция (x +1) бесконечно малая при |
x → −1, а |
||||||||
|
1 |
|
|
(x ≠ −1) |
|
1 |
|
|
|
|
так как функция sin |
|
|
|
ограничена sin |
|
|
≤ 1 , |
то данная |
||
x + |
1 |
x +1 |
||||||||
|
|
|
|
|
функция f(x) представляет собой произведение бесконечно малой функции на ограниченную. По предыдущей теореме это означает, что f(x)− бесконечно
малая функция при x → −1.
Понятие бесконечно большой и бесконечно малой функций тесно связа-
ны между собой. А именно имеет место следующая теорема: |
|
|||||||||
Теорема 2.2. |
1) Функция, обратная бесконечно большой при x → x0 , |
|||||||||
есть бесконечно малая, т.е. если |
lim f(x) = ∞, то |
lim |
1 |
|
= 0 . |
|||||
f (x) |
||||||||||
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
||||
2) Функция, |
обратная бесконечно малой при |
x → x0 , |
есть бесконечно |
|||||||
большая, т.е. если |
lim f(x) = 0, то lim |
1 |
|
= ∞. |
|
|
|
|
||
f (x) |
|
|
|
|
||||||
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
||||
Данные утверждения остаются в силе и при x → ∞. |
|
2.7.5. Вычисление пределов функций
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоре-
мах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x) и |
lim g(x), то: |
Теоремы 2.3.-2.6. Если существуют пределы |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
1) |
lim [f (x)± g(x)]= lim f (x)± lim g(x). |
|
|||||||||||||
|
x→x0 |
f(x) |
g(x) = |
x |
→x0 |
x→x0 |
|
|
|||||||
2) |
lim |
lim f(x) lim g(x). |
|
|
|||||||||||
|
x→x0 |
[ |
C f(x) |
] |
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
||||||
3) |
lim |
= C lim f(x), C R. |
|
|
|||||||||||
|
x→x0 |
[ |
|
|
|
|
|
] |
x→x0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
f(x) |
|
|
|
lim f(x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
||||||
4) |
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→x0 |
|
g(x) |
|
|
|
lim g(x) |
|
|
x→x0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. |
|
Теоремы верны также и в случае, когда x0 является одним |
|||||||||||||
из символов ∞, + ∞ или − ∞. |
|
|
|
|
|
Замечание 2. Если функция является элементарной и предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента.
81
Замечание 3. Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
ПРИМЕР 2.38. |
x→1( |
|
+ 4 |
) |
. |
|
||
Найти lim 5x2 + 6x |
|
|
||||||
Решение. lim 5x |
2 + 6x + 4 |
) |
= lim5x2 + lim 6x + lim 4 = |
|||||
|
x→1( |
|
x→1 |
x→1 |
x→1 |
|||
= 5lim x lim x + 6lim x + 4 = 5 1 1 + 6 1 + 4 = 15. |
|
|||||||
x→1 x→1 |
x→1 |
|
|
|
|
|
|
Из решения данного примера видно, что нахождение предела этой функции свелось к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Сказанное остается справедливым и в более общем случае. Если рассмот-
реть целую |
рациональную функцию |
|
(многочлен) |
|
|
вида |
|
P |
(x) |
= a |
0 |
xn + |
|||||||||||||||||||||
+ a1xn−1 + a 2 xn−2 +K+a n , (a 0 ≠ 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то ее предел при x → x0 |
равен значе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
нию многочлена в этой точке, т.е. |
lim Pn (x) = Pn (x0 ). (Рекомендуем показать |
||||||||||||||||||||||||||||||||
это самостоятельно). |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пользуясь этим свойством, легко убедиться, что предел всякой дробно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональной функции |
|
Pn (x) |
при x → x0 |
равен |
Pn (x0 ) |
, если только зна- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Qm (x0 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Qm (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x0 ) |
|
|||||||||||
менатель не |
обращается в нуль |
при |
x → x0 , |
т.е. |
|
lim |
|
|
Pn (x) |
= |
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(Qm (x0 ) ≠ 0), где Qm (x) = b0 xm + b1xm−1 +K+bm . |
|
x→x0 |
Qm (x) |
|
Qm (x0 ) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.39. lim |
4x3 − 3x +1 |
|
= |
|
4 1 − 3 1 +1 |
= |
2 |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5x4 − 3x |
2 + 4 |
|
|
5 |
1 − 3 1 + |
4 |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.40. lim |
x2 − 4 |
= |
|
4 |
− 4 |
= |
0 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2x +1 |
2 |
2 +1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Будем говорить, что отношение двух функций |
|
f(x) |
|
|
есть неопределен- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
g(x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ность вида |
0 |
или ∞ , если числитель и знаменатель дроби одновременно стре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности - значит
f(x)
вычислить предел отношения g(x), если он существует, или установить, что он не существует.
82
2.7.5.1. Раскрытие неопределенностей вида |
0 |
|
|||||||
0 |
|
||||||||
|
x2 |
+ 6x + 8 |
|
|
|
|
|||
ПРИМЕР 2.41. Найти lim |
. |
|
|
|
|
||||
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|
|||
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Пределы числителя и знаменателя при x → −2 равны нулю. |
|||||||||
Следовательно, имеем неопределенность вида |
0 |
. Для раскрытия неопределен- |
|||||||
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ности разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий |
|||||||||||||||||||
множитель x + 2 . |
|
Имеем lim |
x2 |
+ 6x +8 |
= lim |
|
(x + 2)(x + 4) |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
|
( |
|
|
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
x→−2 |
x3 +8 |
|
|
x→−2 |
+ |
2 − |
|
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2) x |
2x |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
x + 4 |
= |
|
− 2 + 4 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→−2 x2 − 2x + 4 |
|
|
(− 2)2 − 2 (− 2)+ 4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы сократили на множитель x + 2 , который при x → −2 стремится к нулю. Однако из определения предела следует, что аргумент x стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая, поэтому x + 2 ≠ 0 и сокращение правомерно.
ПРИМЕР 2.42. |
Найти предел lim |
x2 +5x −14 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
4 + x −18 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
+ 7) |
|
|
|||||||
Решение. |
lim |
x 2 +5x −14 |
|
= lim |
|
|
|
(x − 2)(x |
|
= |
||||||||
x 4 + x −18 |
|
(x |
− 2)(x3 + 2x |
2 |
+ |
4x +9) |
||||||||||||
|
|
x→2 |
|
x→2 |
|
|||||||||||||
= lim |
|
x + 7 |
|
= |
|
9 |
= |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→2 x3 + 2x2 + |
4x + 9 |
33 11 |
|
|
|
|
|
|
Из рассмотренных двух примеров следует следующее правило:
Чтобы раскрыть неопределенность вида 00 при x → x0 функции, за-
данной в виде отношения двух многочленов, необходимо и в числителе и в знаменателе выделить множитель x − x0 и сократить дробь на него.
ПРИМЕР 2.43. Найти предел lim |
|
sin2 x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
x→π1+cos3 x |
|
|
|
||||||
Решение. lim |
|
= |
|
0 |
|
= lim |
|
|
1−cos2 x |
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ cos3 x |
|
0 |
|
|
|
|
|
x) |
||||||||||
|
x→π1 |
|
|
|
x→π (1 + cos x)(1 −cos x + cos2 |
|
|||||||||||||
= lim |
1− cosx |
= |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1− cosx + cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→π |
|
|
3 |
|
cos3x −cos x |
|
|
|
|
||||||||||
ПРИМЕР 2.44. Найти предел lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
cos x −1 |
|
|
|
83
|
Решение. lim |
cos3x −cos x |
|
= |
|
|
|
0 |
|
= lim − 2sin 2x sin x |
= |
|
0 |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos x −1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
− 2sin |
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2sin x cos x 2sin |
|
|
|
|
|
|
4sin x cos |
|
x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
cos |
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
8sin |
|
cos |
|
cosx cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
2 |
2 |
2 |
|
|
= lim8cosx cos2 |
|
|
= 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ПРИМЕР 2.45. Найти lim1 − |
|
|
|
x +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение. Для раскрытия неопределенности |
|
|
избавимся от иррацио- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нальности |
|
в |
числителе |
|
|
|
путем |
умножения числителя |
|
и |
знаменателя |
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x +1. |
|
Получим |
|
lim1− |
x +1 = 0 = lim |
(1− |
|
x +1)(1+ |
x +1) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1+ |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
|
|
|
− x |
= lim |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 x(1 + x +1) |
x→0 |
1 + x +1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ПРИМЕР 2.46. Найти предел lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x − |
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение. lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1+ x − 1− x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
x( 1+ x + |
|
|
|
1 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
x( |
1+ x + |
1− x) |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
1+ x − 1− x)( |
|
|
1+ x + |
1− x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
2 |
( |
1 + x + |
1 − x |
) |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ПРИМЕР 2.47. Найти lim |
2 − |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 3 − |
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( |
Решение. Умножая числитель и знаменатель на произведение |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 + |
|
x |
)( |
3 + |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2x +1 , получим lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 3 |
− |
|
2x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
= lim |
|
|
(2 |
− x)(2 + x)(3 + 2x + |
1) |
|
= lim |
(4 − x)(3 + |
2x +1) |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( |
3 |
− |
2x + |
)( |
3 |
+ |
)( |
2 + |
x |
) |
( |
2 + |
x |
) |
|||||||||||
x→4 |
|
x→4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2x +1 |
|
|
(9 − 2x −1) |
|
|
|||||||||||||||||
= lim |
3 + |
2x +1 |
= |
6 |
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( |
|
) |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
2.7.5.2. Раскрытие неопределенностей вида ∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
При вычислении пределов отношения двух многочленов при x → ∞ для |
|||||||||||||||||||||||||
раскрытия неопределенности вида |
|
∞ |
числитель и знаменатель дроби надо де- |
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
||||||||||||||||||||||||
лить на x в старшей степени; величина дроби от этого не изменится. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.48. Найти lim |
|
x2 + 2x + 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
− 3x + 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 2x2 |
|
|
|
|
|
|
∞
Решение. Имеем неопределенность вида ∞ . Разделив числитель и зна-
менатель дроби на x2 , получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2 |
|
+ |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
+ 2x + 3 |
= lim |
|
|
= |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x→∞ 2x2 − 3x +5 |
x→∞ |
2 − |
3 |
+ |
5 |
|
|
|
|
|
|
lim |
2 |
|
− |
+ |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim1+ lim |
|
|
|
+ lim |
|
|
|
1 + 0 + 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
x→∞ |
x→∞ x |
|
|
x→∞ x2 |
= |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim 2 |
− lim |
3 |
+ lim |
5 |
|
|
|
|
2 − 0 + 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
x→∞ x |
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ПРИМЕР 2.49. Найти предел |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
−2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x2 + 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|
|
3 |
+ 0 + |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ 3x 2 + 4x +5 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.50. |
|
|
|
|
Найти предел lim |
x3 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x3 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 0 |
= ∞. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
lim |
|
|
= lim |
|
x3 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x 2 −3 |
|
|
x→∞ |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ПРИМЕР 2.51. |
|
|
Найти предел дробно-рациональной функции |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
a 0 x n + a1x n−1 +K+ a n |
, a 0 ,b0 ≠ 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ b0 x m + b1x m−1 +K+ bm |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
+ |
1 |
|
+K+ |
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
a0 xn |
|
+ a1xn−1 +K+a n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→∞ b |
|
xm |
+ b |
xm−1 +K+b |
m |
|
|
|
x→∞ |
|
xm |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
+ |
|
|
|
+K+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
+ |
|
a1 |
+K+ |
an |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
n < m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n−m |
|
|
|
|
x |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim x |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, n = m . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
b0 |
+ |
+K+ |
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xm |
|
|
∞, n > m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если |
n < m |
|
|
При вычислении этого предела учтено, что lim xn−m = ∞, если n > m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
a n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, если |
||||
|
|
a0 + |
|
+K+ |
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
xn |
= |
. Следует также отметить, |
что во всех приме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
bm |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
b0 + |
|
+K+ |
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рах использованы свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
ПРИМЕР 2.52. Найти предел
|
|
|
|
|
8 |
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
||
|
x8 + |
5x 4 − 4 |
|
x |
|
1+ |
|
|
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
x 4 |
|
x8 |
|
|||||||||
Решение. lim |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
4x5 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
x→∞ |
x→∞ |
|
|
|
5 |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
|
|
|
x4 1 + |
5 |
|
− |
|
|
4 |
|
|
1 + |
5 |
|
− |
|
4 |
|
|
1 |
|
x4 1 + |
5 |
|
− |
4 |
|
|
|||||
= lim |
x4 |
|
|
x8 |
= lim |
x4 |
|
x8 |
|
= lim |
lim |
x4 |
x8 |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→∞ |
|
|
5 |
+ |
|
|
|
|
x→∞ |
+ |
|
|
x→∞ x |
x→∞ |
4 + |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 0 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7.6. Первый замечательный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Функция |
|
sin x |
не определена при x = 0, так как числитель и знамена- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x
тель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функции при x → 0. Теорема 2.7. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой
дуге, выраженной в радианах, равен единице, т.е.
lim sin x = 1
x→0 x
Данное равенство называют первым замечательным пределом. С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.
ПРИМЕР 2.53. Найти предел lim |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. lim |
tgx |
= lim |
sinx |
lim |
1 |
|
=1 |
1 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
x |
x→0 x |
x→0 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ПРИМЕР 2.54. Найти предел lim sinkx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
sin(kx) |
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. lim |
sinkx |
= lim k |
sinkx |
= k lim |
|
|
= k 1 = k |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(kx) |
|
||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
x |
|
x→0 |
kx |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kx→0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ПРИМЕР 2.55. Найти предел lim |
1−cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. lim |
1−cosx |
|
= lim |
|
2sin |
2 (x 2) |
= lim |
|
sin(x 2) |
sin |
x |
= |
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
sin(x 2) |
|
limsin |
x |
=1 0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
x 2 |
|
x→0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 2.56. Найти предел lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||
|
|
|
|
cos 2 |
|
|
1− x = t, x =1− t |
|
|
|
|
cos |
2 |
2 |
t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
lim |
= |
|
= lim |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1 1− x |
|
|
x →1 t → 0 |
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
sin |
2 t |
= |
π lim |
sin 2 t |
= π |
1 = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
t |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t→0 |
|
|
|
2 t→0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПРИМЕР 2.57. Найти предел lim |
|
x2 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 arctg(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
lim |
x 2 − 4 |
= |
|
|
arctg(x + 2)= t, x + 2 = tgt |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→−2 arctg(x + 2) |
|
|
|
x → −2 → t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= lim (tg t − 2)2 − 4 = lim |
tg t(tg t − 4) |
|
= lim |
tg t |
lim(tg t − 4) = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
t→0 |
|
|
t |
|
|
t→0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t→0 t |
t→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
= 1 (− 4) |
= −4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.7.7. Второй замечательный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема 2.8. Функция 1 + |
|
|
при x → ∞ стремится к пределу e, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 + 1 x = e.
x→∞
x
Данное равенство называют вторым замечательным пределом. Если положить 1x = α, то при x → ∞ имеем α → 0 (но α ≠ 0) и мы получаем
1
lim(1 + α)α = e.
α→0
Это другая форма записи второго замечательного предела. С помощью второго замечательного предела раскрываются неопределенность вида 1∞ .
|
+ |
3 x |
|
ПРИМЕР 2.58. Найти предел lim 1 |
|
|
|
|
|||
x→∞ |
|
x |
88
|
|
3 x |
|
x = 3t |
|
|
|
1 |
3t |
|||
|
|
|
|
|||||||||
Решение. lim 1 |
+ |
|
|
= |
x → ∞t → ∞ |
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
x |
|
|
t→∞ |
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
t |
3 |
|
1 |
t |
|
|
1 |
t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= lim |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
lim 1+ |
|
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
t→∞ |
|
t |
t→∞ |
|
|
t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e e e = e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕР 2.59. Найти предел limx 1−2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
limx 1− 2x = lim(1− |
2x) |
|
= |
1∞ |
= |
|
||||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= lim(1 + t)− |
2 |
|
= lim (1 + t) |
1 |
|
= e−2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t |
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
||
lim 1 |
+ |
|
|
= |
. |
|
|
||||
t→∞ |
|
|
t |
t = −2x |
= |
x → 0 t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
2 2x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПРИМЕР 2.60. Найти предел lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
− 2 2x+1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2x+1 |
|
∞ |
|
|
|
t |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
x +3 |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
+3 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞t → 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim(1 + t)− |
10 |
−5 = lim (1 + t) |
1 |
−10 |
lim(1 + t)−5 |
= e−10 1 = e−10 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 2.61. Найти предел lim(tgx)tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tgx |
|
|
|
2(t +1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx =1+ t, tg2x = |
= − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lim(tgx) |
tg2x |
= |
|
∞ |
|
= |
1− tg2 x |
t(t + 2) |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
t |
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(t+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2(t+1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(t +1) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= lim(1 + t)− |
|
|
= lim (1+ t) |
|
|
|
|
|
|
t+2 |
= e−1, так как lim− |
|
= −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
t(t+2) |
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
t + 2 |
|
89
2.7.8. Раскрытие неопределенностей вида ∞ − ∞, 0 ∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неопределенности ∞ − ∞ и |
|
0 ∞ путем элементарных преобразований |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сводятся к неопределенностям вида |
0 |
|
|
и |
∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ПРИМЕР 2.62. Найти предел |
lim ( |
x2 + 4x − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
lim ( |
x 2 |
+ 4x − x)= |
|
∞ −∞ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
lim |
|
x2 + 4x − x)( x2 + 4x + x) |
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
= |
∞ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
4x |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
+ 4x + x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
4 |
|
= |
|
4 |
= 2 |
|||||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x 1 + |
4 |
+ x |
|
|
x |
→+∞ |
1 + |
4 |
|
+1 |
1 |
+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
1 |
+ |
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПРИМЕР 2.63. Найти предел lim(2cosec2x −ctgx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. lim(2cos ec2x −ctgx)= lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∞ −∞ |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin2x |
|
|
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= lim |
|
2 − |
2 cos2 x |
|
= lim |
sin2 x |
|
|
|
= lim |
|
sin x |
|
= |
|
0 |
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 sin x cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
x→0 sin x cosx |
|
|
x→0 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.64. Найти предел lim(1− x)tg |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. lim(1− x)tg πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− x)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
0 ∞ |
|
= lim |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
limsin πx lim |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= 1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
2 |
x→1 |
cos |
πx |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
(1 − x) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
π x→1 |
sin |
(1 − x) |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90