УМК

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= +∞, так как при x → −2 − 0 величина x2

− 4 является

x→−2−0 x2 − 4

положительной бесконечно малой, а обратная ей величина

является по-

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

ПРИМЕР 2.65. Найти предел lim x arcctgx
				x	→+∞
				∞ 0
				∞ 0
Решение. lim x arcctgx =				t = arcctgx, x = ctgt				= lim tctgt =
	x→+∞			x → +∞ t → 0 +				t→0+
= lim	t cost	= lim cost lim				t	= 1.
= lim		= lim cost lim					= 1.
t→0+ sin t		t→0+	t→0+ sin t

2.7.9. Следствия замечательных пределов

1. lim ln(1 + x) = 1

x→0 x

Доказательство. lim ln(1 + x) =

x→0 x

Мы здесь пользовались тем, что

дет обосновано ниже.

2. lim ax −1 = ln a

x→0 x

Доказательство. lim					a x −1	=
Доказательство. lim					x	=
				x→0	x
ln(1 + t)			−1
= ln a lim			= ln a .
= ln a lim	t		= ln a .
t→0	t
3. lim	(1 + x)α		−1	= α
3. lim		x		= α
x→0		x

limln(1 + x)x = ln e = 1.

x→0

lim ln t = ln a, справедливость этого бу-

x→a

a x −1 = t, a x = 1 + t
x =	ln(1 + t)	= lim	t ln a	=
x =	ln a	= lim	ln(1 + t)	=
	ln a	t→0	ln(1 + t)
x → 0 t → 0

(1 + x)α −1 = t, (1 + x)α = 1+ t

Доказательство.

lim

(1 + x)α −1

α =

ln(1 + t)

ln(1

+ x)

x→0

x → 0 t → 0

ln(1 + x)

α = αlim

ln(1 + x)

= lim

lim

= α.

ln(1 + t)

t→0 x

x→0

t→0

x→0

2.7.10. Эквивалентные бесконечно малые и их применение при вычислении пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.11.	Бесконечно малые функции α(x) и β(x) назы-
ваются эквивалентными при	x → x0 , если lim	α(x)	= 1.		Эквивалентность

	x→x0	β(x)
двух бесконечно малых обозначается так: α(x)~ β(x).				0
Теорема 2.9. При раскрытии неопределенности вида					можно и числи-
				0

тель и знаменатель этой неопределенности заменять величинами, им эквива-

лентными, т.е. lim

α(x)

= lim

α1

(x)

, где α1~ α и β1~ β.

β(x)

β1

x→x0

(x)

Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых при x → 0

lim

sin x

= 1

sin x ~ x , sinαx~αx.

x→0

lim

tg x

= 1

tg x ~ x , tgαx ~αx.

x→0

lim

arcsin x

= 1

arcsin x ~ x , arcsin αx ~αx.

x→0

lim

arctg x

= 1

arctg x ~ x , arctgαx~αx.

x→0

lim

ln(1 + x)

= 1 ln(1 +x) ~ x , ln(1+αx)~αx.

x→0

lim

a x −1

= 1 a x −1 ~ x ln a.

x ln a

x→0

7) lim

(1 +x)α −1

= 1

(1 +x)α −1 ~ αx.

x→0

αx

ПРИМЕР 2.66. Найти предел lim

sin5x

→0 sin3x

Решение. lim

sin5x

sin5x ~ 5x

= lim

x→0 sin3x

sin3x ~ 3x

→0

ПРИМЕР 2.67. Найти предел lim

tg22x

2 x

→0 sin

tg2x ~ 2x

Решение. lim

tg2 2x

= lim

(2x)2

=100

2 x

sin

x→0

sin

x→0 x

ПРИМЕР 2.68. Найти предел lim

xsin2x

(arctg5x)2

→0

Решение. lim

xsin2x

sin2x ~ 2x

= lim

x 2x

(arctg5x)2

arctg5x ~ 5x

x→0

x→0 (5x)2

ПРИМЕР 2.69. Найти предел lim ln(1+ 2xsin3x)

ln(1 + 2xsin3x)

→0

tgx2

ln(1

3x)

Решение. lim

sin3x ~ 3x

= lim

+ 2x

tgx

tgx 2 ~ x 2

x 2

x→0

ln(1 + 6x2 )

6x2

= lim

ln 1 +

)

6x2

= lim

x→0

(

x→0

ПРИМЕР 2.70. Найти предел lim

6x −2x

→0

(6x

−1 )~ xln 6

6x − 2x

6x −1

2x −

Решение. lim

= lim

−

−1)~ xln2

x→0

= ln 6 − ln 2 = ln 3.

2.8.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

2.8.1.Определение непрерывности функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестно-

сти.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12. Функция f(x) называется непрерывной в точке
x0 , если существует предел			lim f(x) и этот предел равен значению функции в
			x→x0
точке x0 , т.е.		lim f (x)= f (x0 ).
	x→x0
Так как		lim x = x0 ,	то последнее равенство можно записать в виде:
		x→x0
lim f(x) = f
lim f(x) = f	lim x , т.е. для непрерывной функции знаки функции и преде-
x→x0	x→x0

ла можно переставлять.

По аналогии с определением предела функции можно сформулировать определение непрерывности функции “на языке ε −δ”.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f(x)− f(x0 ) < ε.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, которая, по существу, является перефразировкой первого определения. Так как условия

x → x0 и x − x0 = x → 0 равносильны, то из определения 2.12 получаем
lim[f(x)− f(x0 )]= 0 или	lim y = 0, где	y = f(x0 + x)− f(x0 ) являет-
x→0	x→0
ся приращением функции f	(x) в точке x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.14. Функция f(x)		называется непрерывной в точке

x0 , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

x → 0, т.е. lim y = 0.

x→0

ПРИМЕР 2.71. Используя определение 2.12, доказать непрерывность

функции f(x) = 4x2 + 5x −1 в точке x = 1.
Решение.	Сначала найдем предел данной функции при x → 1:
lim(4x2 +5x −1)= 4lim x lim x +5lim x −1 = 4 +5 −1 = 8 .
x→1	x→1 x→1	x→1
Затем вычислим значение функции в точке		x = 1: f(1) = 4 1 + 5 1 −1 = 8.

Сравнивая полученные результаты, видим, что lim f(x) = f(1). Согласно опре-

x→1

делению 2.12, это означает, что данная функция непрерывна в точке x = 1.

ПРИМЕР 2.72. Доказать, что функция y = x3 непрерывна в произволь-

ной точке x0 .

y = (x0 +

x)3 − x03 = x03 + 3x02

Решение.

x + 3x0

x2 +

+ x3 − x03 = 3x02 x + 3x0 x2 + x3.

lim

y = 3x02

lim

x +3x

lim x

lim

x + lim x

lim

x lim x = 0

x→0

что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Функция f(x)

называется непрерывной в точке

f(x) = f(x

)

lim f(x) = f(x

справа (слева), если lim

) .

x→x0 +0

x→x0

−0

Если функция f(x) непрерывна в точке x0

и слева и справа, то она не-

прерывна в этой точке (убедиться в этом самостоятельно).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.16.

Функция f(x)

непрерывна в интервале (a,b),

если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке

[a,b]

, если она непрерывна в интервале (a,b)

, и непрерывна в точке a справа,

а в точке b слева, т.е.

lim f(x) = f(a),

lim

f(x) = f(b)

x→a+0

x→b−0

2.8.2. Непрерывность элементарных функций

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Рассмотрим некоторые из них.

ПРИМЕР 2.73. Целая рациональная функция (полином) Pn (x)= a0 xn +

+ a1xn−1 + a2 xn−2 +K+an , где n N , a0 ,a1 ,K,an − любые числа, является непрерывной в каждой точке числовой прямой, как сумма непрерывных функ-

ций a0xn ,a1xn−1 ,a2 xn−2 ,K,an .

ПРИМЕР		2.74.	Дробно-рациональная функция, т.е. функция вида
R(x) =	Pn (x)	, где P	(x),Q (x)− многочлены, непрерывна во всех точках
	Qm (x)
		n	m

x , в которых знаменатель отличен от нуля, как частное непрерывных функций.
Например, функция R(x) =	2x2 + 5x +1	непрерывна во всех точках x	,
	x2 −1
отличных от ±1.

ПРИМЕР 2.75.

Доказать непрерывность тригонометрических функций

sin x , cosx,tg x,ctg x.

sin x

непрерывна в любой точке x .

Решение. Покажем, что функция

Воспользуемся

определением

2.14

непрерывности.

Имеем

y = sin(x +

x)− sin x =

;

lim

= 2 lim

= 0, так как

= 2 cos x +

sin

cos x +

sin

x→0

sin

cos x +

≤ 1, lim sin

lim

x = 0, а

x→0

произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Таким образом, функция sin x непрерывна в любой точке x . Аналогич-

ным образом доказывается непрерывность функции cosx.

sin x

Функция tg x = cosx непрерывна, как отношение непрерывных функ-

ций sin x и cosx во всех точках, где cosx ≠ 0, т.е. во всех точках, кроме x = π2 + πn .

Аналогично, функция ctg x = cossin xx непрерывна во всех точках, кроме x = πn (n = 0,±1,± 2,K).

2.8.3. Точки разрыва функции и их классификация

Для непрерывности функции f(x) в точке x0 необходимо и достаточно

выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку x0 ;

2)функция должна иметь одинаковые односторонние пределы;

3)эти односторонние пределы должны быть равны значению функции в

точке x0 , т.е. должно выполняться условие
lim f(x) =	lim f(x) = f(x0 )	(*)
x→x0 −0	x→x0 +0

Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке x0 не является непрерывной.

Разрывы функций классифицируются следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.17. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные односторонние пределы, но хотя бы одно из равенств в условии (*) не выполнено.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.18. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере

одного из односторонних пределов или хотя бы один из них равен бесконечности.

ПРИМЕР 2.76. Найти точки разрыва функций

1, если	x > 0
	x = 0
y = signx = 0, если	x = 0
	x < 0
−1,если	x < 0

Решение. Данная функция задана с помощью нескольких формул. Если она имеет разрыв, то он возможен только в точке x = 0. Найдем односторон-

ние пределы в этой точке : lim signx =1, lim signx = −1. Таким образом,
x→0+	x→0−

точка x = 0 является точкой разрыва первого рода (рис. 2.1).

-1

Рис. 2.1

ПРИМЕР 2.77. Найти точки разрыва функций y = x2 1− 4

Решение. Данная функция непрерывна при всех значениях x , кроме x = ±2 (в этих точках она не определена). Вычислим односторонние пределы :

ложительной бесконечно большой;

-2

Рис.2.2

lim	1		= −∞,	так как при x → −2 + 0 величина x2 − 4 является
	−	4
x→−2+0 x2								x = −2 функция
отрицательной	бесконечно			малой. Следовательно, в точке
имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).
Аналогично			lim	1	= −∞, lim	1	= +∞.	И в точке x = 2

		x→2−0 x2 − 4			x→2+0 x2 − 4

функция имеет разрыв второго рода. (Рис. 2.2).

ПРИМЕР 2.78 Найти точки разрыва функций y = arcctg 1x

Решение. Функция определена, а следовательно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 0. В точке x = 0 функция имеет разрыв, выясним характер разрыва.

lim arcctg	1	= arcctg(+ ∞)= 0 ;
	x
x→0+
lim arcctg	1	= arcctg(− ∞)= π.
	x
x→0−

y
π
π 2
0	x
Рис. 2.3
Рис. 1.16
98

Следовательно, при x = 0 функция имеет разрыв первого рода, она терпит скачок (рис. 2.3). Величина скачка равна

lim f(x)− lim f(x)

π−0

= π.

x→0−

x→0+

x − 2

ПРИМЕР 2.79. Найти точки разрыва функций y =

x − 2

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кро-

ме точки x = 2 . Исследуем эту точку разрыва:

lim

x − 2

lim

−(x − 2)

= lim (−1)= −1;

x − 2

x→2−0

lim

x − 2

lim

(x − 2) =

lim 1 = 1.

x − 2

x→2+0

x − 2

x→2+0

В точке x = 2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 2.4). y

-1

Рис. 2.4

ПРИМЕР 2.80. Найти точки разрыва функций y

= x2 −16

x − 4

Решение. В точке x = 4 функция не определена, так как, выполнив под-

становку, получаем неопределенность 00 . В других точках дробь можно сокра-

тить на x − 4, так как x − 4 ≠ 0. Следовательно, lim	x2 −16	=
	x − 4
x→4−0

= lim x2 −16 = 8 .

x→4+0 x − 4

Таким образом, односторонние пределы функции при x = 4 равны; функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранен, если условиться, что y = 8 при x = 4 . В этом случае графиком функции является прямая y = x + 4.

	1
ПРИМЕР 2.81. Найти точки разрыва функций y = 2		x−1
	1			= 2−∞ = 0,
Решение. Функция не определена при x = 1.		lim 2	x−1
	x→1−0

lim 2 x−1 = 2+∞ = +∞.

x→1+0

При x = 1 функция терпит разрыв второго рода (рис. 2.5)

ПРИМЕР 2.82. Найти точки разрыва функций

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Но из этого не следует, что она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция неэлементарная. Она задана двумя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента x и может иметь разрыв в точке x = 2 , где меняется ее аналитическое выражение. Найдем односторонние пределы функции в этой

точке: lim f(x) =		−	1		2	= −2,	lim f(x)=	lim x = 2.
	lim			x
			2
x→2−0	x→2−0						x→2+0	x→2+0

Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой.

Поэтому в точке x = 2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 2.6).		y = x
y	y

		y = −	x	2	0	2	x
			x

		2
0	1	x

Рис.2.5	Рис.2.6

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019413.18 Кб3Указ по такт подг.doc
#
07.05.2019378.37 Кб3УМК по дисциплине Римское право.doc
#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf