Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

8) lim (tg x - sec x);

7) lim

;

x→ π

x→1 1 - x3

x -1

(

- 2 );

9) lim

x +

x -

x ;

10) lim x

+ 2 -

x→∞

(

)

11) lim (sin

x +1 - sin

x );

12)

lim

x→∞

1 - x ;

(

(x + a )(x + b) - x);

x→±∞

13) lim

14) lim x × ctg(p × x) ;

x→±∞

x→0

15) lim

16) lim tg

πx

× sin

x − α

;

- ctgx ;

x→0

sin x

x→α

17) lim

× tgx ;

18)

lim

x × arcctgx ;

- x

x→π

x→+∞

19) lim

20) lim sin 2x × ctgx ;

+ arctgx ;

x→−∞

x→π

21) lim 1 ×

1 + x ;

22) lim x ×

a x

-1 ;

x→0 x

1 - x

x→∞

23) lim x 2

1 - cos

x→∞

3.2.20. Найти следующие пределы.

1) lim

arcsin 3x

;

2) lim

sin 2

(x - 1)

;

arctg 6x

2 -1

x→0

x→1

3) lim

sin x

;

4) lim

ln x − 1

;

x→π x - p

x→e x - e

5) lim

e x - e − x

6) lim

esin 2x - esin x

;

sin x

x→0

e x -cosx

- 2

7) lim

;

8) lim

8 + 3x

)

sin3x

4 16 + 5x -

x→0

9) lim

e2x -1

;

10) lim

ln cos x

;

+ x 2 )

(

)

x→0

x→0 ln(1

ln 1 -

111

-1

ln(2x 2 + 3x - 26)

11) lim

(1 + x)3

;

12) lim

;

x→0 (1 + x)3 (1 + x)2 -1

x→3

- 7x +12

13) lim

-1

;

14) lim

1 − cos 4x

;

(

)

x→0

2 sin 2 x + x × tg7x

x→

arcsin 1 -

15) lim

ln cos x

;

16) lim

arctg(2x 2 + 3x - 5).

x 2

x→0

x→1

x 2 + 5x - 6

1) y =

3.2.21.

Доказать

непрерывность

следующих функций:

2) y = 3

4) y = a x

5) y = loga x

y = arcsinx

3) y = cos x

7) y = arccosx

8) y = arctgx

9) y = arcctgx

3.2.22. Найти точки разрыва функций и построить схематично

их

график.

2) y = x +

x + 2

;

1) y = x2 - 2x + 1;

x + 2

x - 1

- 1

3) y =

4) y =

x− 2

;

x2 - x3

x−2

+ 1

5) y =

sin x

;

6) y = arctg

;

x - 4

7) y = lg (x2 + 3x);

8) y =

;

sin p x

при 0 £ x £ 1

2 x

9) y =

;

10) f(x) = 4 - 2x

при 1 < x < 2,5

1 +

x−1

- 7

при 2,5 £ x < +¥

11) f (x) =

[ ]

12) f (x) =

sin x

, если x ¹ 0

f (0)

= 1

f (x) =

sin x

, если x ¹ 0

13) f (x) =

- [

]

14)

f (0) = 1

112

f (x) = sin

, если x ¹ 0

f (x) =

, если x ¹ 1

15)

16)

1 + e x−1

и f (0) = произвольное

f (1) = произвольные

17) f (x) = x sin

, если x ¹ 0

18) f (x) = e−

, если x ¹ 0

и f (0)

= 0

и f (0) = 0

f (x) = x ln x 2 , если x ¹ 0

2x + 5 при - ¥ < x < -1

20) f(x) =

19)

( )

= a

при - 1 £ x < +¥

f 0

ОТВЕТЫ

1)[4; + ∞)

2) (0;1] 3)[− 9; − 5] 4)

(− ∞; 4) U (4; ∞)

−

[2; ∞)

3.2.1.

;

9)[e−4 ; ∞)10){− 1;1}

7)[2; ∞) 8) −

;

3.2.2.

1)четная

2)нечетная 3)общего вида

4)нечетная

5)общего

вида

6)четная 7)четная 8)общего вида 9)нечетная10)общего вида

3.2.3.

1) = −8 π

2)не явл. периодической

3) T = π

4) T = 4 π

5) T = π 3

6) T = π 7) T = π 8)периодическая, наименьшего положительного периода нет

9) T = 2 π 10)непериодическая

3.2.4.

1) f (g (x)) = x, x > 0; g (f (x)) = x,

x R ;

2) f (g (x)) = 6x − 14,

g (f (x)) = 6x − 3;

3) f (g (x)) =

cos x

g (f (x)) = cos x;

4) f (g (x)) = (x + 2)2 , g (f (x)) = x 2 + 2;

5) f (g (x)) =

x − 3

, g (f (x)) = −

, g (f (x)) = 4 − x

2x + 1

10 − 3x

1) y =

x − 5

2) y = 3

3)нет обратной 4) y =

5) y =

3.2.5.

x + 2

− x

x + 1

6) y = 3 + log2 x

113

3.2.10. 1) xn =																	1			; 2) xn = 2(−1)n													;		3) xn							=		n −1					;		4) xn = n2 +1;
3.2.10. 1) xn =																				; 2) xn = 2(−1)n													;		3) xn							=							;		4) xn = n2 +1;
																	n!																													n							8) xn = n × cos π(n −1);
5) xn = (-1)n × n ;																				6) xn =								2n				;		7) xn = 1 + (-1)n ;
5) xn = (-1)n × n ;																				6) xn =							2n -1					;		7) xn = 1 + (-1)n ;
												n 2n + 1															2n -1					π(n −1)																							n n2											2
												n 2n + 1																				π(n −1)																							n n2													(−1)n
9) xn = (-											1)										;10) xn = sin																					;11) xn = (-1)																	;12) xn = n													;1
9) xn = (-											1)										;10) xn = sin														4							;11) xn = (-1)														2n			;12) xn = n													;1
														2n -1																					4																					2n
3) xn =					2n - 1 2																					= 3			n	+		(- 1)						n
																				;14) xn																				.
												n								;14) xn																				.
												n
3.2.11.					1)0; 2)											1		;		3)		9		;		4) -					3	;	5)			3				;		6) − 2;								7)10;					8)			m		;		9)3x 2 ;10) 6;11)
3.2.11.					1)0; 2)											2		;		3)				;		4) -						;	5)			2				;		6) − 2;								7)10;					8)					;		9)3x 2 ;10) 6;11)
																2				16										5						2																						n
1															m					3 × 6													1																	1					1				3							2
1					2										m					3 × 6							2						1					;16) 3;17) -												1					1				3							2
	;12)								;13)									;14)										;15)																								;18)					;19)						;20)				.
6	;12)		2						;13)						n			;14)				2						;15)																						4		;18)					;19)						;20)				.
6			2												n							2												2a																4					2				5							5
					1																														3																		3		30
					1																														3										2								3		30
3.2.161)											; 2) ∞ ;									3) 0;				4) –1;									5)						; 6)								;	7)							;			8) 1 , если x → +∞
3.2.161)					5						; 2) ∞ ;									3) 0;				4) –1;									5)		5				; 6)						3		;	7)					2		;			8) 1 , если x → +∞
;	-1		,				если											x → −∞ ;																	9)					1;10)								1		;11)					ln 5;12)									ln	8	¸ ln				6		;13)
;	-1		,				если											x → −∞ ;																	9)					1;10)										;11)					ln 5;12)									ln		¸ ln						;13)
																																																2																7						5
										;15)0;16) x +													a		.
∞ ;14)						2																	a
∞ ;14)						2
																						2
																	3						1							25							m																					1						25					1
	3.2.17.													1)			3		; 2)				1	;		3)				25		;		4)			m				;	5)			-				2		;				6)			1	; 7)					25	;	8)			1		; 9)

																	4						8							2																		4										2						9						2
																	4						8							2								n										4										2						9						2
2;10)			1					;11) cos a ;12)																	− 24;13)										-				cos 2a							(a ¹ (2k +1) π , k Î Z) ;14)																								1		;15)
2;10)								;11) cos a ;12)																	− 24;13)										-											(a ¹ (2k +1) π , k Î Z) ;14)																										;15)
				p						(a ¹ (2k +1) π , k Î Z) ;16)																													cos4 a																			2												4
-		sisa																																								-	1				;17)						0;18)								2	;19)							1			;20)
-		cos2 a																																								-					;17)						0;18)									;19)										;20)
		cos2 a																				2																				12																	2											3
											3
cos3 a ;21)													.
cos3 a ;21)													.
											2
3.2.18.			1) e ; 2) e−3 ; 3) emk ;																											4) 0 , если x → +∞ ; ∞ , если																															x → −∞ ;									5) ∞ ,
																																																																		3						1
																																																						6) e2 ;
			x → +∞ ;																															x → −∞ ;																												7) e 2 ;
если																				0		,			если																																													8)			;
если																				0		,			если																																													8)			;

114

9)1;10) ectga			(a ¹ kp , k Î Z);11) e−2 ;12) e ;13) a × ln a ;14)
	1				;16) e2 ;17)		;18)1;19) e ;20)	1		.
		loga e ;15)		e		e


	a								e

3.2.19. 1)1; 2)1; 3)


1		1
	;10)2;11)0;12)		, если
2
		2
x → +∞ ;		+ ∞ ,	если

; 4)2;

5) −

;

6) + ∞ ;

7)1;

8)0;

a + b

x → +∞ ;

− ∞ ,

x → −∞ 13)

если

x → −∞ 14)

;15)0;16) −

;17)1;18)1;19)–

1;20)2;21)1;22) ln a ;23)						1	;
1;20)2;21)1;22) ln a ;23)						2	;
						2
3.2.20. 1)	1	;	2)0; 3)–1; 4)	1	;	5)2; 6)1; 7)		3	;	8)1,6; 9) −	1	;10) −	1	;11)	9	;12)–
3.2.20. 1)	2	;	2)0; 3)–1; 4)	e	;	5)2; 6)1; 7)		2	;	8)1,6; 9) −		;10) −		;11)	25	;12)–
	2			e				2		2		2			25

15;13) –2;14) 8 ;15) − 1 ;16)1.

9 2

115

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1

Вычислить предел функции натурального аргумента

1)	lim	(2 − n)2 + (2 + n)2		;
1)	lim	2n 2 + 2n + 1		;
	n→∞	2n 2 + 2n + 1
2)	lim	(1 + n)3 + (n + 3)3		;
2)	lim	(1 + n)4 − (n + 3)4		;
	n→∞	(1 + n)4 − (n + 3)4
3)	lim	(2n + 1)3 − (2n + 3)3				;
3)	lim	(2n + 1)2 + (2n + 3)2				;
	n→∞	(2n + 1)2 + (2n + 3)2
4)	lim (n + 7)3 − (n + 2)2			;
	n→∞	n 3 + n + 1
5)	lim	(n + 1)2 + (n − 1)2
5)	lim	n 2 + n	;
	n→∞	n 2 + n
6)	lim	(n + 6)3 − (n + 1)3			;
6)	lim				;
	n→∞	(2n + 1)2 + (n − 4)2
7)	lim	(n + 1)3 − (n + 1)2 ;
	n→∞	(n − 1)3 + (n + 1)3
8)	lim	(1 + 2n)3 − 8n 3	;
8)	lim	(1 + 2n)2 + 4n 2	;
	n→∞	(1 + 2n)2 + 4n 2
9)	lim	(n + 2)3 − (n − 2)3		;
	n→∞	(n + 5)2 + (n − 5)2

10)	lim	(2n + 1)3 + (3n + 2)3		;
	n→∞	(2n + 3)3 − (n − 3)3
11)	lim	(n + 1)3 − (n − 3)3	;
	n→∞	(n + 4)2
12)	lim (2 + n)3 + (n − 4)3		;
	n→∞	n 3 + 1

16)	lim	n 3 − (n + 1)3	;
16)	lim		;
	n→∞ n 2 + 3n + 1
17)	lim	(1 − 4n)2		;

		(n −1)3 − (n + 2)3
	n→∞	(n −1)3 − (n + 2)3
18)	lim (n + 4)3 − (n − 2)3			;
	n→∞	3n 2 + 2n + 3
19)	lim	(2n + 3)3 − (2n −1)3				;
19)	lim	(2n + 1)2 + (2n + 3)2				;
	n→∞	(2n + 1)2 + (2n + 3)2
20)	lim	2(n + 1)3 − (n + 2)3			;
20)	lim	(n − 6)3 + n 3			;
	n→∞	(n − 6)3 + n 3
21)	lim	(n + 1)2 + (n + 2)2 − (n + 3)3					;
	n→∞	(3 − n)3
22)	lim	(n + 3)2 + (n + 4)2		;
22)	lim	(3 − n)3 + (3 + n)3		;
	n→∞	(3 − n)3 + (3 + n)3
23)	lim	(2n + 3)2 + (3n + 1)2				;
23)	lim	n 2 + n + 1				;
	n→∞	n 2 + n + 1

24)lim (n + 2)4 − (n − 2)4 ; n→∞ (n + 2)3 + (n − 2)3

25)lim (n + 3)3 + (n + 5)3 ;

n→∞ (n + 3)4 − (n + 5)4

26)lim (n + 10)3 − (n − 5)3 ; n→∞ (n + 10)2 + (n − 5)2

27)lim (2n + 5)3 − (2n − 3)3 ; n→∞ (2n + 5)2 + (2n − 3)2

116

13)	lim	(2n +1)3 + (3n +1)3			;	28)	lim (n +1)3 - (n -1)3		;
	n→∞	(2n + 4)3 - (n - 3)3					n→∞	n 2 +1
14)	lim	4n 3 - n		;		29)	lim	(n -15)3 + (n - 20)3		;

								(n -15)4 - (n - 20)4
	n→∞	(n +1)4 - (n + 4)4					n→∞	(n -15)4 - (n - 20)4
15)	lim	(1 + 3n)3 - 27n 3	;			30)	lim	(2 - n)3 + (2 + n)3 .
	n→∞	(1 + 3n)2 + n 2					n→∞	(n +1)2 + (n -1)2

Задание №2

Вычислить пределы функций натурального аргумента

lim n (

);

n 2 +1

n→∞

lim (3

- 3

);

(n + 2)2

(n - 3)2

n→∞

lim (

);

n 2 + 4n -1 -

n 2 - 4

n→∞

lim(3

- 3

)× n 2 ;

4 + n 3

2 + n 3

n→∞

lim n (

);

n 2 + 4

n 2 + 3

n→∞

lim (

);

n 2 + 3n -

n 2 - 4n + 3

n→∞

(

);

lim

n + 5

n + 4

n→∞

lim (

- n);

n(n + 8)

n→∞

(

);

lim

n + 3

n + 4

n - 2

n→∞

lim n 2 (

);

10)

n 4 + 4 -

n 4 +1

n→∞

- 3

n(n + 2)

);

lim

(n +1)2

11)

n→∞

(

);

12)

lim

n 3 + 2

n 3 +1

n 3 -1

n→∞

(

13)

lim

(n 2

+1)(n 2 + 2) -

(n 2 -1)(n 2 - 2));

n→∞

(n 2 -

14)

lim

(n 2 +1)(n 2 - 2));

n→∞

117

lim n ×(3

- 2n);

15)

5 + 8n 3

n→∞

lim (

)× n ;

16)

(n + 2)(n +1)

(n -1)(n + 3)

n→∞

lim (n -

);

17)

n(n + 2)

n→∞

lim (3

- 3n)× n ;

18)

4 + 27n 3

n→∞

lim(

(n +1)(n + 2) -

);

19)

n 2 + 5

n→∞

lim (

- n);

20)

n 2 - 3n + 6

n→∞

lim (n - 3

)× n 2

21)

n 3 - 5

n→∞

lim (3

- 3

)× (3

+ 4);

n 2

22)

n + 2

n - 3

n→∞

lim (n -

);

23)

(n +1)× (n + 2)

n→∞

lim (

);

24)

(n + 3)(n +1)

(n + 2)(n + 4)

n→∞

lim (

);

25)

(n 2 + 2)(n 2 - 4) -

n 4 - 6

n→∞

lim (n - 3

)× (n 2 +1);

26)

n 3 - 9

n→∞

lim (3

- 4n)× (n 2 + 4);

27)

7 + 64n 3

n→∞

lim (

- 2n);

28)

4n 2 - 3n + 2

n→∞

lim (

)× (n +1)×

n 3 + 4 -

n 3 - 3

29)

n ;

n→∞

lim (n

)×

30)

n + 3

n(n +1)(n + 2)

n + 4

n→∞

Задание №3

Вычислить предел функции натурального аргумента

n +1

- n 2

+ 2

n 3

+ 7 + 3

n 2 +1

1) lim

;

16) lim

;

n→∞ 4

n +1

- 5 n 5

+ 4

n→∞ 4 n 3

+ 5 +

n 2 +1

118

lim

n 8 + 4 -

n +10

;

n→∞

+ 2 +

-1

lim

n 2

n 3 + 4

;

n→∞

+ 4 - n

n 2 - 5

lim

n + 6

;

n→∞

+ 6 +

+ 2

- 3 n 3 + 4

lim

n + 4

;

n→∞ 7

+ 2

- 5 n 5 +

n 2 + 2

lim

n + 2

;

n→∞

+ 4 +

lim

n 2 +1 + 2n 3

;

n→∞

+ n + 2 - n

n 5

- 3

27n 6 + n 2

lim

;

(n + 4

)×

n→∞

n +1

n 2 + 2n +

n 3 + 4 -

lim

n +1

;

n→∞

+ 5 -

n -1

- 3 27n 3 + n

10) lim

3n +1

;

- n

n→∞

5 n

n 2 + 4

11) lim

n +10

;

- 4

n→∞ 4 16n 4 +1

n 4 +1

12) lim

6n 3 - n 5

+ 4

;

n→∞

+ 3

- n

81n 4 - n 2 +1

13) lim

3n +1

(n + 3

)× 6 - n + 4n 2

n→∞

4n 5 + 4 -

14) lim

n - 3

;

n→∞ 6

+ 3 +

n + 3

17)

lim

4n 2 - 4

n 3 +1

;

n→∞ 3

+ n

+ n - 5n

n 4

25n 4 + 9

18)

lim

11n

;

n→∞ (n - 7

)×

n 2 + n +

4n 2 - 4

19)

lim

n 3

;

n→∞ 3

+ n

+1 - 6n

n 7 + 5 -

20)

lim

n - 5

;

n→∞ 7

+ 5 +

+ 2

n 2

+ 2 - 5n 2

21)

lim

;

n→∞ n

n 4 - n +

n 6

+ 4 +

lim

n - 4

22)

;

n→∞ 5

+1 -

- 6

- 9n 2

23)

lim

;

n→∞ 3n -

4 9n8 +1

n 2 + 9

lim

4n + 3

24)

;

n→∞ 3

+ 4 -

n 4

+ 2 +

25)

lim

n - 2

;

n→∞ 4

+ 2 +

- 3 8n 3 + 5

lim

5n + 2

26)

;

n→∞

4 n + 7 - n

27)

lim

4 + n 2 - 3

27n 3 + 9

;

n→∞ 4

+ 4 - 2

-1

n 8

+ 4 - 2 n 4 +1

28)

lim

;

n→∞

8 n8 +1 +

n - 6

29)

lim

n 3 +1 - 3n

;

n→∞ 2n -

4 n 4 - n +

119

15) lim

4n + 1

− 3

27n 3

+ 4

30) lim

4n 2

−1 − n

;

n→∞ 4

− 3 n 3 + n

n→∞ 5 n

− 2n

Задание №4

Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

lim

3x 3 − 5x 2 + 2

lim

2x 3

− 5x 2 − 1

lim

3x 5

− x 2 + x

;

11)

;

21)

;

− 5x 2 −

− 5x 2 +

x→∞ 2x 3

x→∞ 3x 3

x→∞

x 5 − 2

lim

3x 2

− 2x + 1

lim

5x 2

− 2x 3

lim

6x 3

− 2x + 7

;

12)

;

22)

;

− x + 2

− 8x 3

x→∞ 5x 2

x→∞ 3x 2

x→∞ 3x

− 5x + 2

lim

2x 4

+ 5x 2 − 2

; 13) lim

5x 4

− 2x 3 − 4x

;

23) lim

7x 4

− 2x 3 + 2

− 2x 3 − 4x

x 4 + 3

x→∞ 5x 4

x→∞ − 2x 4 + 5x 2 − 3

x→∞

lim

5x 2

− 3x + 1

lim

3x 2

+ x − 1

lim

x 5

+ 2x 2 − 3

;

14)

;

24)

;

+ x − 5

− x +

x→∞ 3x 2

x→∞ 5x 2

x→∞ 3x

+ 6x + 5

lim

4x 3 − 2x + 1

lim

x 3

+ 3x + 2

lim

3x 2

+ x 2 − 2

;

15)

;

25)

;

+ 3x 2 −

− 2x 2 +

x→∞ 2x 3

x→∞ 8x 3

x→∞ 3x

+ 4x + 1

lim

3 − 7x 2 + 5x 3

;

16)

lim

2 + 5x 2 − 3x 4

;

26)

lim

x 2

+ 2x − 15

2x − x 3

− 7x 2 + 5x 4

+ 7x −15

x→∞ 2 +

x→∞ 3

x→∞ 2x

lim

4 + 5x 2 − 3x 5

;

17)

lim

8 − 6x − x 5

;

27)

lim

8x 3

− 3x 2 + 9

6x − x 5

+ x 2 + 3x 5

x→∞ 8 −

x→∞ 4

x→∞ 2x 5 + 2x + 5

lim

3x 4

− 2x 2 − 7

lim

9x 4

+ 3x + 5

lim

x 4

− 5x + 2

;

18)

;

28)

+ 3x + 5

+ 3x 2 − 1

x→∞ 9x 4

x→∞ 3x 4

− 2x + 8

x→∞ 2x

lim

8 − 2x + 5x 4

;

19)

lim

3 − x − 5x 3

;

29)

lim

6x 5

− 4x 3 + 8

+ 3x 2 + x 3

− 3x 2 −1

x→∞ 2 + 3x 2 + x 4

x→∞ 2

x→∞ 2x 5

10) lim

3x + 14x 2

lim

2x − 8x 2

lim

x 2

− 4x + 3

;

20)

;

30)

+ 2x + 7x 2

x→∞ 1 + 2x + 7x 2

x→∞ 1

x→∞ 3x

− 5x + 12

Задание №5

Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

1) lim

3x 2

+ 8x + 1

11) lim

3x + 14x 2

; 21) lim

3x 2

+ 3x + 1

;

− 8x 2 + 5

+ 2x 2 + 7x 3

x→∞ 2x

x→∞ 1

x→∞ x 3

− 8x + 2

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019413.18 Кб3Указ по такт подг.doc
#
07.05.2019378.37 Кб3УМК по дисциплине Римское право.doc
#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf