УМК
.PDFОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13. Функция |
y = f (x) называется ограниченной на |
||||
множестве X, если существует такое число M > 0, |
что для всех x X вы- |
||||
полняется неравенство f (x) ≤ M . |
|
|
|
|
|
Например, функция |
y = sin x |
является ограниченной на всей числовой |
|||
прямой (sin x ≤1), а функция y = 2x +5 не ограничена на R . |
|||||
1.2.3. Основные элементарные функции и их графики |
|
||||
1. Степенная функция y = xα , α R . |
|
|
|||
Графики степенных функций, |
соответствующих |
различным показателям |
|||
степени, представлены на рис. 1.3. |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
y = x |
|
|
y = x 2 |
0 |
y = x3 |
0 |
|
|
x |
x |
|
x |
|
0 |
|
||
y |
|
|
y |
|
|
|
y = 1 |
|
|
y = |
x |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
0 |
|
x |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y = 3 x |
|
|
y = x 2 |
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
x |
|
Рис. 1.3 |
|
|
||
|
|
11 |
|
|
2. Показательная функция y = a x , a > 0, |
a ≠1; |
|
|
|
|||||
|
y |
|
(a >1) |
|
|
y |
(a |
<1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
Рис. 1.4 |
|
|
|
|
|
3. Логарифмическая функция y = loga x, |
a > 0, |
a ≠1; |
|
|
|||||
|
y |
(a >1) |
|
|
y |
(a <1) |
|
||
|
0 |
1 |
x |
|
|
0 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
Рис. 1.5 |
|
|
|
|
|
4. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, |
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y = sin x |
|
|
1 |
|
y = cos x |
|
|
1 |
|
|
|
π |
π |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||
− π |
|
|
π |
|
2 |
|
|
||
0 |
|
x |
2 |
0 |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- 1 |
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
y = tg x, y = ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
y = tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y = ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− π |
0 |
π |
|
x |
|
|
|
|
− π |
|
|
0 |
π |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Обратные тригнометрические функции |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
||||
y = arcsin x, |
D(f )= [−1;1], |
E(f )= |
|
|
; |
; |
|
|
|
||||||
− |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
D(f )= [−1;1], |
E(f ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
y = arccos x, |
= [0; π]; |
|
|
|
|
|
|||||||||
y = arctg x, |
D(f )= R, |
|
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
|
|||
E(f )= − |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
D(f )= R, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
y = arcctg x, |
E(f )= (0; π). |
|
|
|
|
|
|
|
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных величин с помощью конечного числа
13
арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.
Примерами элементарных функций являются: |
|
|||||||||
y = a x + b - линейная функция |
a, b R ; |
|
|
|||||||
y = ax2 + bx + c - квадратичная функция |
a, b,c R ; |
|
||||||||
y = a0 x n +a1x n−1 +K+a n - |
целая |
рациональная |
функция или |
|||||||
многочлен степени n |
a 0 ,K,a n R, |
n N ; |
|
|
||||||
y = |
a |
0 |
x n + a |
1 |
x n−1 +K+ a |
n |
, a 0 ,a n , b0 |
,K, bm R, |
n, m N − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b0 x m + b1x m−1 +K+ bm |
|
|
|
дробно-рациональная функция; частным случаем дробно-рациональной |
|||||||||
функции является дробно-линейная функция y = |
ax + b |
, a, b,c,d R . |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cx + d |
|
Примерами неэлементарных функций могут служить |
|||||||||
1, |
x > 0 |
|
|
|
|
|
x, |
x > 0 |
|
|
x = 0 , |
y |
= |
|
x |
|
|
x = 0 |
|
|
|
||||||||
y = sign x = 0, |
|
|
= 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, x < 0 |
|
|
|
|
|
− x, x < 0 |
|||
1.2.4. Обратная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть задана функция y = f (x) |
с областью определения D и множест- |
вом значений E . Тогда каждому значению x D соответствует единственное
значение y E . |
Пусть, |
в |
свою |
очередь, |
каждому |
значению |
y E |
||
соответствует единственное |
значение |
x D, |
тогда |
мы |
получаем |
новую |
|||
функцию x = ϕ(y) |
с областью определения E и множеством значений D (рис. |
||||||||
1.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
x1 |
y1 |
|
x1 |
|
y1 |
|
|||
x 2 |
|
|
y2 |
|
D |
x 2 |
|
y2 |
|
x3 |
D |
E |
y3 |
x3 |
|
y3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
|
Такая функция ϕ(y)называется обратной к функции f (x). |
|
||||||||
Из определения вытекает, что |
для функции |
y = f (x) существует |
|||||||
обратная функция тогда и только |
тогда, когда соответствие f |
между |
|||||||
множествами D и |
E является |
взаимно однозначным. |
Отсюда следует, что |
любая строго монотонная функция имеет обратную.
14
Чтобы найти функцию x = ϕ(y), обратную к функции y = f (x), достаточно решить уравнение f (x)= y относительно x (если это возможно).
|
ПРИМЕР 1.1. Для функции y = 3x +5 обратной |
функцией является |
||||
x = |
1 |
y − |
5 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
3 |
|
|||
|
ПРИМЕР 1.2. Для функции y = x 2 , x [0;+∞) обратной функцией яв- |
|||||
ляется |
x = y, y [0;+∞); заметим, что для функции |
y = x 2 , заданной в |
||||
промежутке (−∞;∞), обратной не существует, так как одному значению y со- |
ответствуют два значения x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Графики взаимно обратных функций y = f (x) и x = ϕ(y) симметричны |
|||||||||||||||||||
относительно прямой y = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , |
|||||||||||||||||||
кроме, быть может, самой точки x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ |
1.14. Число A |
|
называется |
пределом |
функции |
||||||||||||||
|
y = f (x) в точке x0 (или при x → x0 ), если для любого сколь угодно малого |
|||||||||||||||||||
числа ε > 0 найдется |
такое |
число |
|
δ > 0, |
что |
для |
всех |
x ≠ x0 , |
||||||||||||
удовлетворяющих неравенству |
|
|
|
x − x0 |
|
< δ, |
выполняется |
|
|
неравенство |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
f (x)− A |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Это |
|
определение предела дано на «языке ε −δ», его коротко можно запи- |
|||||||||||||||||
сать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)− A |
|
|
|
|||||
|
ε > 0 δ > 0, x : |
|
x − x0 |
|
< δ, x ≠ x0 |
|
|
< ε. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Предел функции записывают |
|
|
lim f (x)= A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: чис-
ло A = lim f (x), если для любой ε − окрестности точки A найдется такая
x→x0
δ− окрестность точки x0 , что для всех x ≠ x0 из этой δ− окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в ε − окрестности точки A (рис. 1.10)
15
y |
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A + ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
2 ε |
|
|
|
|
|
|
A −ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x0 −δ |
x0 |
|
x0 + δ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Рис. 1.10 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 1.3. Доказать, что lim (3x +5)=11. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Возьмем произвольное ε > 0 и найдем δ = δ(ε)> 0 такое, что |
|||||||||||
для всех x , удовлетворяющих неравенству |
x − 2 < δ, |
выполняется |
|||||||||
неравенство (3x +5)−11 < ε, то есть |
x − 2 |
< ε |
. Взяв δ = ε, |
видим, что для |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
ε |
3 |
|
|
всех x , удовлетворяющих неравенству |
x − 2 < δ |
|
δ = |
|
|
|
|||||
|
3 |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняется неравенство (3x +5)−11 < ε, следовательно, |
|
||||||||||
lim (3x +5)=11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
lim f (x)= A считается, что |
x стре- |
||||||
В определении предела функции |
|||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
мится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, |
чем x0 (слева от x0 ) или |
||||||||||
большим, чем x0 |
(справа от |
x0 ). |
Однако встречаются случаи, когда способ |
||||||||
приближения аргумента x к x0 существенно влияет |
на значение |
предела |
|||||||||
функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов. |
|
|
|||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Число |
A1 |
называется |
пределом |
функции |
|||||||
y = f (x) слева в точке x0 , если для любого числа ε > 0 найдется число δ > 0 |
|||||||||||
такое, что для всех x (x0 −δ; x0 ) выполняется неравенство |
f (x)− A1 < ε. |
||||||||||
Предел слева записывают так: |
lim |
f (x)= A1 или коротко f (x0 −0)= A1. |
|||||||||
|
|
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Аналогично определяется предел функции в точке x0 справа. Число A2 называется пределом функции y = f (x) справа в точке x0 , если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x (x0 ; x0 + δ) выполняется нера-
венство f (x)− A2 < ε. В этом случае пишут lim f (x)= A2 или коротко
x→x0 +0
f (x0 + 0)= A2 .
Пределы функции в точке x0 слева и справа называют односторонними пределами.
Очевидно, что если существует lim f (x)= A , то существуют и оба од-
x→x0
носторонних предела, причем A1 = A2 = A .
|
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела |
|||||||||||||||||
|
lim f (x)= A1 , |
lim f (x)= A2 и они равны, то существует предел |
||||||||||||||||
x→x0 −0 |
|
x→x0 +0 |
|
|||||||||||||||
|
lim f (x)= A = A1 = A2 . |
|
||||||||||||||||
x→x0 |
|
≠ A2 , то предел lim f (x) не существует. |
||||||||||||||||
|
Если же A1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
||||||||
|
Рассмотрим теперь поведение функции y = f (x) при неограниченном по |
|||||||||||||||||
абсолютной величине увеличении аргумента |
x , то есть при x → −∞, |
|||||||||||||||||
x → +∞, x →∞. |
|
|||||||||||||||||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Пусть функция y = f (x) определена в промежут- |
|||||||||||||||||
ке (−∞;∞). Число A называется пределом функции f (x) при x → ∞, если |
||||||||||||||||||
для любого числа ε > 0 существует такое число M = M(ε)> 0 , что для всех |
||||||||||||||||||
значений x , удовлетворяющих неравенству |
|
x |
|
> M , выполняется неравенство |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
f (x)− A |
|
< ε. В этом случае пишут lim f ( |
|
x)= A . Коротко это определение |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
можно записать так: |
|
|||||||||||||||||
|
ε > 0 M > 0, |
|
x |
|
> M |
|
f (x)− A |
|
< ε lim f (x)= A . |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x → +∞, то пишут lim f (x)= A , |
||||||||||||||
|
Если |
если же x → −∞, то пишут |
||||||||||||||||
|
lim f (x) |
= A . |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Функция y = f (x) |
называется бесконечно боль- |
шой (б.б.ф.) при x → x0 или говорят, что функция стремится к бесконечности при x → x0 , если для любого числа M > 0 существует число δ = δ(M)> 0, такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ, x ≠ x0 , выполняется неравенство f (x) > M . Или коротко
17
M > 0 δ > 0, x : |
|
x − x0 |
|
< δ, x ≠ x0 |
|
f (x) |
|
> M . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Записывают lim f (x)= ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если f (x) стремится к бесконечности при x → x0 и принимает лишь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положительные значения, то пишут lim f (x)= +∞; если же принимает лишь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
отрицательные значения, то lim f (x)= −∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→x0 |
|
|
|
|
|
y = f (x), заданная на всей числовой |
||||||||||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. Функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой, |
называется бесконечно большой при x → ∞, если для любого числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M > 0 найдется такое число |
|
|
N = N(M)> 0 , что при всех x , удовлетворяю- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
щих неравенству |
|
x |
|
> N, выполняется неравенство |
|
f (x) |
|
> M . Коротко: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
M > 0 |
|
N > 0, x : |
|
x |
|
> N |
|
f (x) |
|
> M lim f (x) |
= ∞. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → −3: |
|||||||
ПРИМЕР |
1.4. |
Функция |
|
|
|
|
есть б.б.ф. |
при |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
= −∞, |
lim |
|
|
|
|
= +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→−3−0 x +3 |
|
|
|
|
|
x |
→−3+0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ПРИМЕР |
1.5. Функция y = x3 |
является б.б.ф. при |
x → ∞, причем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim x3 |
= +∞, |
lim x3 = −∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1.4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19. Функция y = f (x) называется бесконечно малой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(б.м.ф.) при x → x0 , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению предела функции равенство (1.1) означает:
ε > 0 δ > 0, x : x − x0 < δ, x ≠ x0 f (x) < ε.
Принято б.м. функции обозначать малыми буквами греческого алфавита
α(x), β(x) и т.д.
Теорема 1.1. Пусть α(x),β(x),K, γ(x)− бесконечно малые функции при
x → x0 . Тогда:
1) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций
есть бесконечно малая функция, то есть
lim [α(x)+β(x)+K+ γ(x)]= 0;
x→x0
18
2) произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая, то есть
lim [f (x) α(x)]= 0, где функция f (x) ограничена при x → x0 ;
x→x0
3) произведение конечного числа бесконечно малых функций есть беско-
нечно малая функция, то есть
lim [α(x) β(x) K γ(x)]= 0;
x→x0
4) частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую
отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая, то есть |
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
α(x) |
= 0, где lim f (x)= A ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→x0 |
f (x) |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) Пусть α(x) |
и β(x)− две б.м.ф. при x → x0 . Это значит, что |
|
|||||||||||||||||||||||||
ε > 0 δ > |
0, x : |
|
x − x |
0 |
|
< δ |
1 |
, |
x ≠ x |
0 |
|
|
α(x) |
|
< ε . |
(1.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и δ2 > 0, |
x : |
|
x − x0 |
|
< δ2 , |
x |
≠ x0 |
|
β(x) |
|
< |
|
ε . |
(1.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пусть δ− наименьшее из чисел δ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
и δ2 . Тогда для всех x , удовлетво- |
ряющих неравенству x − x0 < δ, выполняются оба неравенства (1.2) и (1.3). Следовательно, имеет место соотношение
|
α(x)+β(x) |
|
≤ |
|
α(x) |
|
+ |
|
β(x) |
|
|
|
|
< ε + |
ε = ε. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
α(x)+β(x) |
|
|
|||||||||||||||||||
ε > 0 δ > 0, x : |
|
x − x0 |
|
|
|
< δ, x ≠ x0 |
|
|
< ε. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Это значит, |
что lim |
[α(x)+β(x)]= 0, то есть α(x)+β(x)− б.м.ф. при |
||||||||||||||||||||||
x → x0 . |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично |
|
проводится доказательство для любого |
конечного числа |
|||||||||||||||||||||
б.м.ф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Пусть функция f (x) ограничена приx → x0 . Тогда существует такое |
||||||||||||||||||||||||
число M > 0, что для всех x из δ1 − окрестности точки x0 |
выполняется не- |
|||||||||||||||||||||||
равенство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
≤ M . |
|
|
|
(1.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
|
ε |
Пусть α(x)− б.м.ф. при x → x0 . Тогда для любогоε > 0, а значит, и |
|||||||||
|
> 0 найдется такое число δ2 > 0 , что при всех x , |
удовлетворяющих нера- |
|||||||||
|
M |
||||||||||
|
|
x − x0 |
|
< δ2 , выполняется неравенство |
|
||||||
венству |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
< |
ε |
. |
(1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
δ2 . Тогда для всех x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и |
удовлетворяющих неравенству |
|
x − x0 |
|
|
< δ, x ≠ x0 , |
|
|
выполняются оба нера- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
венства (1.4) и (1.5) . Следовательно, |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) α(x) |
|
|
|
= |
|
f (x) |
|
|
|
|
α(x) |
|
|
< |
|
|
|
|
M = ε. А это означает, |
что произ- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ведение f (x) α(x) при x → x0 является бесконечно малой функцией. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Аналогичным образом доказываются остальные утверждения теоремы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
Теорема 1.2. Если α(x)− бесконечно малая функция при x → x0 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− бесконечно большая функция и наоборот: |
если |
f (x)− |
бесконечно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
большая функция при x → x0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− бесконечно малая функция. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Пусть |
|
|
α(x)− б.м.ф. при |
x → x0 , |
то |
есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim α(x)= 0 . |
Тогда |
ε > 0 δ > 0, x : |
|
x − x0 |
|
|
< δ, x ≠ x0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
α(x) |
|
< ε, |
|
|
|
> |
, то есть |
|
|
|
|
|
|
> M , где |
|
|
M = |
. А это означает, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
α(x) |
|
|
|
α(x) |
|
|
ε |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
является бесконечно большой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
что функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Аналогично доказывается обратное утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
Теорема 1.3. (о связи между функцией и ее пределом). Если функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке x0 имеет предел равный A, то ее можно представить как сумму |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа |
|
A и бесконечно |
малой |
|
функции |
α(x), т.е. |
если |
|
lim f (x)= A , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x)= A + α(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Обратно: если f (x)= A + α(x), то |
lim f (x)= A . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20