Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

1 − cos 2x

если x ¹ 0

3) f (x) =

x 2

;

A, если

x = 0

−

4) f (x) = e x 2 , если x ¹ 0 ;

A, если

x = 0

5) f (x) =

ln(1 + 2x), если x ¹ 0

;

A, если

x = 0

6) f (x) = x × sin

+1,

если x ¹ 0

;

A, если

x = 0

7) f (x) = e x

+ 2,

если

x < 0

;

A + x, если

x ³ 0

+ A, если - 3 £ x < 2

8) f (x) =

;

x < -3, x ³ 2

B x

если

+ 2,

если

£ 1

cos

9) f (x) =

;

+ Bx, если

> 1

2, sin x,

если x £ -

< x <

10) f (x) = A sin x + B, если -

;

если

cos x,

+1,

если x £ 1

;

11) f (x) =

- Ax

, если x > 1

1 - x sin

если x ¹ 0

x 2

12) f (x) =

;

+ A, если

x = 0

131

13) f (x) (1 + x)n -1, если x ¹ 0, n Î N ;

x = 0

A, если

[ln(1 + x) - ln(1 - x)], если x ¹ 0

14) f (x) = x

;

+ A, если x = 0

x + sin

+ 2,

если x ¹ 0

15) f (x) =

;

+ B,

если

x = 0

e x - e−x

16) f (x) =

, если x ¹ 0

;

A, если x = 0

A, если x ≤ −1

2 +1, если -1 < x £ 2 ;

17) f (x) = x

B + x, если x > 2

если x £ -1

A x

18) f (x) = x 2 +1,

если -1 < x £ 2 ;

B, если

x > 2

π x

£ -1

A × sin

, если x

4 + 4, если -1 < x < 2 ;

19) f (x) = x

B cos px , если x ³ 2

+ A

, если x < -1

20) f (x) = x 3 , если -1 £ x £ 1

;

+ Bx

+1, если

x > 1

(1 + 2x) -1

, если

x ¹ 0

21) f (x) =

;

x = 0

A, если

132

, если x ¹ -1

22) f (x) = 1 + 2

;

(x −1)2

Ax, если x = 1

, если x < -1

A x

23) f (x) = arcsin x,

если -1 £ x £ 1;

+ B, если

x > 1

A x + 4, если x ≤ −2

2 - 4

24) f (x) =

если

- 2 < x < 2 ;

x -

, если x ³ 2

B x

-16

, если x ¹ 2

25) f (x) = x - 2

;

+1,

если x = 2

- A

+1,

если x £ -1

26) f (x) = B, если

-1 £ x £ 2

;

+1,

x > 2

если

e x 2

если x < -1

27) f (x) = Ax + B, если -1 £ x £ 1;

x > 1

sin p x,

если

x − 4

если x ¹ 4

x - 2

;

28) f (x) =

x, если x = 4

A cos

133


A			, если x < −1

	1 + x 2
		π x , если − 1 ≤ x ≤ 1;
29) f (x) = Bsin
		6
Ax 2		+ 1, если x > 1


A x + 1, если x < 0
		+ 1, если 0 ≤ x ≤ 2
Bx 2
30) f (x) =		;
x 3 + A, если 2 < x ≤ 3

	если x > 3
B x + 27,

Задание №15

Исследовать на непрерывность функции в указанных точках и построить графики

1)y =

2)y =

3)y =

4)y =

5)y =

6)y =

7)y =

8)y =

9)y =


2x				= 1, x 2	= 3;
	; x		1

x 2 − 2x − 3
2x + 1				= 2 , x 2 = 4 ;
	; x		1

x 2 − 3x + 2
x − 5				= 1, x 2	= 3;
	; x		1

x 2 − 5x + 4
x − 10				= 2, x 2	= 4 ;
	; x		1

x 2 − 2x − 8
x + 5				= 3, x 2	= 5;
	; x		1

x 2 − 4x − 5
x + 3				= 3, x 2	= 5;
	; x		1

x 2 − 4x + 3
x + 6				= 0, x 2	= 2;
	; x		1

2x 2 − x − 6
x + 3				1 = 1, x 2 = 3 ;
		; x

2x 2 − 5x + 3
x − 14				= 2, x 2	= 4 ;
	; x1

x 2 − x − 12

y = 16

; x1 = 2, x 2

= 6 ;

16)

x−2

y = 3

; x1 = 4, x 2

= 6 ;

17)

x −4

y = 9

; x1

= 3, x 2

= 8 ;

18)

x −3

y = 7

; x1

= 3, x 2

= 5 ;

19)

x −3

y = 8

= 2, x 2

= 5;

; x1

20)

x −2

y = 2

; x1

= 1, x 2

= 4;

21)

x −1

y = e

; x1 = 0, x 2 = 2 ;

22)

y = e

; x1 = 1, x 2

= 3;

23)

1−x

24)

y =

; x1 = 1, x 2 = 3;

1 + e x −1

134

x − 17

10)

y =

; x

1 = 3, x 2 = 5;

−

y = e

(x −1)2

; x1 = 1, x 2

= 3 ;

2 − 9x − 5

25)

y =

; x1 = 0, x 2 = 2 ;

11)

y = 4 x−5 ; x1

= 5, x 2

= 7 ;

26)

2 − e−

x 2

y = 3

= 2, x 2

= 3;

y = 1 − e

; x1 = 0, x 2

= 1;

x −2

12)

; x1

27)

x 2

y =

= 0, x 2

= 2 ;

y = 7

; x1

= 4, x 2

= 5;

28)

; x1

13)

x−4

ln x

−

14)

y = 8 x −3 ; x1

= 3, x 2

= 6;

29)

y = e

x 2 ; x1 = 0, x 2

= 2 ;

y =

1 − x − 1

; x1 = 0, x 2 = −2 .

y = 9

; x1

= 7, x 2

= 9 ;

30)

15)

x −7

Задание №16

Построить график функции, применяя операции над графиками

1) y = 1 − 2 lg

;

11)

y = 1 − 3

x −3

;

21)

y = 3 − tg x

;

y = π − arccos x ;

2) y =

lg(x − 2);

12)

22)

y = 2 sin x + 2;

3) y = log22

x − 1

;

13)

y = −2arctg x + 1;

23)

y = tg2x + 3;

4) y = −2 + log3 (x + 5);

14)

y =

arcsin(x + 1)

24)

y = ctg − x

;

y = − log2 x + 1;

15)

y = 2 arccos x + π

25)

y =

;

x +

x − 1

y = 2 − lg

1 − x

;

16)

y = arctg

;

26)

y = −

;

6 − x

y = 2

− 1;

y =

x + 2

17)

2arctg x

27)

;

− x

y = −52x + 1;

18)

y = arcsin

;

28)

y =

x + 3

;

1 − x

y =

y = 1 + 2x −5 ;

19)

y = −2 cos x

−

29)

;

− x

135

10) y = 3 - 3	x	;	20) y = ctg	2	x +1;	30) y =	x + 3	.


			3				3 - x

Задание №17

Построить график функций, заданных параметрически

=1 - t

=1 - t 3 ;

=t + 1

=2(cos t - sin t)

=2(cos t + sin t);

=3cos t

;

=4 sin t

=t 2 - 2t

;

= t 2 + 2t

= cos t

;

= t + 2 sin t

= 3t 2

;

= 3t - t 3

= t 2 +1 = t 3 - t ;

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

= 2 sin 2 t

;

= 2 cos3 t

= ln t

= t 2 -1;

= 3t 2 +1

;

= 5t 3

= t 2

= t - t 2 ;

= R ×sin 2t

;

= 2R × sin 2 t

= t 3 - t

=t 2 + 2

=10 cos t

;

= sin t

= t × cos t

;

= t × sin t

x = 2(2 cos t - cos 2t)

21) ( ) ;

y = 2 2 sin t - sin 2t

x = cos

;

22)

y = sin

23) x =

2 cos

t ;

y = 2 sin t

1 - t

x =

;

24)

y = 1 - t

x =

1 + t

;

25)

3t 2

y =

1 + t

x = 2(t - sin t)

;

26)

2(1 - cos t)

y =

2t - t

x =

;

27)

y =

- t

x =

28)

;

y =

136

	× cos				3		t				2
x = 2	× cos						t	;	x = 2 t			;
9)								;	19)			;
				3								2
y = 2 × sin				3			t		y = t - t			2
y = 2 × sin							t		y = t - t
		2	-1							2	- 2t		+1
x = t			-1			;			x = t		- 2t		+1
10)			- t			;			20)		-1		;
y = t			- t						y = t		-1
		3								3
		3								3

29)	x = 2(cos t + sin t)		;

	y = 2(cos t - sin t)
30)	x = t − sin t
		.
	y = 1	- cos t

Задание №18

Построить график функции (в полярной системе координат)

1)ρ = 1 − cos ϕ ;

2)r = 2 × cos 2j;

3) r =	3	;
	2 + sin j

4)r = 2 × 2 cos 2j ;

5)r = e2ϕ ;

6)r = 3 × sin 3j;

7)ρ = 2(1 + cos ϕ);

8)ρ = 4ϕ ;

9)r = 2 × cos 3j;

10)r = 2 × sin 2j;

11)r = j2 ;

12)r = 2 + sin j;

13)	r =		4			;
13)	r =	1	+ cos j			;
14)	r = 2 cos3 j;
15)	r =		2		;

		1	- cos j
16)	r = 2 sin ϕ ;
			2
17)	r = 2 × cos ϕ ;
			2
18)	ρ = 2 + cos 2ϕ ;
19)	r =	1	+ sin ϕ	;
19)	r =			;
			cos j
20)	r = sin ϕ ;
			2

21) r = 2 × cos ϕ ;

22)r = 2 × cos j +1;

23)r = 2jπ ;

24)r = 2 - cos 4j;

25)r = 2 × sin 2 ϕ ;

26) r = 2 × cos2 ϕ ;

−ϕ

27)ρ = 2 π ;

28) r = 4 ; sin 2j

29)r = 2 × sin 3 j;

30)r = cos j + sin j.

Задание №19

Применяя теоремы о свойствах непрерывных функций на отрезке, решить следующие задачи.

1) Показать, что уравнение x 3 - 3x +1 = 0 имеет на отрезке [1;2]

действительный корень.

137

2) Доказать, что любой многочлен Pn (x) нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень.

3)Используя свойства непрерывных функций, доказать, что уравнение

x3 - 3x = 1 имеет хотя бы один корень на отрезке [1;2].

4)Доказать, что любой многочлен четной степени имеет хотя бы два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициента при его старшем члене.

5)Показать, что уравнение x × 2x = 1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1.

6)Показать, что уравнение 2x = 4x имеет корень на отрезке [0;12].

7)Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = x 3 +1 на отрезке [1;4].

8)Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = e x +1 на отрезке [0;1].

9)Найти наименьшее значение функции y = (x + 4)3 на отрезке [0;1].

10)Найти отрезок значений функции y = x 2 + 4x + 6 , если x [− 2;0].

11)Найти отрезок значений функции y = x + sin x , если x Î 0; p .

12)Для какого m уравнение x 2 - x - ln x + m = 0 имеет хотя бы один корень на отрезке [1;2].

13)Для какого a уравнение x × ln x = a имеет хотя бы один корень на отрезке [2;3].

14)Для какого p уравнение x 3 - 3x + p = 0 имеет три вещественных

корня.

15) Найти наибольшее значение функции y = x 3 -12x на отрезке

[− 2;4].

16) Показать, что уравнение x = a sin x + b , где 0 < a < 1, b > 0 имеет

по меньшей мере один положительный корень и причем не превосходящий b + a .

17) Найти наибольшее значение функции f (x) =	1	, x Î[0; ¥).
	3 + x 2

138

18)Для какого p уравнение p x 3 - 2x +1 = 0 имеет хотя бы один действительный корень на отрезке [1;2].

19)Сколько корней имеет уравнение a e x = x 2 при 0 < a < 3.

20)Для какого q уравнение x 3 - 2x + q = 0 имеет три действительных

корня.

21)Для какого q уравнение x 3 - 2x - q = 0 имеет только один

действительный корень.

22) Определить наименьшее значение функции y = arctg x + x для

xÎ 0; p .

23) Определить наибольшее значение функции y = sin 4 x + cos4 x -1

для x Î 0;

24)

Определить

наибольшее

значение функции

y = (x 2 +1)ln x для

x [1;4].

25)

Для

какого

уравнение

arcsin x = −x + p

имеет

хотя бы

один

действительный корень.

26)

Для

какого

уравнение

arctgx = a × x

имеет

ровно

три

действительных корня.

27)

Для

какого

уравнение

ex = 2x + a

имеет

ровно

два

действительных корня.

sin 2 b

28) Найти наименьшее значение функции y = lim 1 +

+ lim

α→0

β→0

на отрезке [0;3].

29)Сколько действительных корней имеет уравнение x 4 - 7x - 5 = 0 ?

30)Показать, что уравнение x × 3x = 1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1.

139

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. -

М: Наука. 2000 - 430 с.

2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -

М.: Наука. 2002 - 576 с.

3.Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей

математики. – М.: Высшая школа, 1998. – т.1. - 328 с.

Дополнительная литература:

1.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа, 2000.

2.Черняк Ж.А., Черняк А.А., Феденя О.А., Серебрякова Н.Г. Контрольные задания по общему курсу высшей математики. – Изд.дом

«Питер», 2006.

Учебные пособия кафедры:

1. Гимаев Р.Г., Умергалина Т.В. Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной. Уфа: УГНТУ,200571с.

2.Сахарова Л.А., Савлучинская Н.М., Якупов В.М. Расчетное задание по математике. Введение в анализ. Уфа: УГНТУ, 2000 – 24 с.

3.Гимаев Р.Г., Жданова Т.Г. Практикум. Введение в анализ. Уфа,

УГНТУ, 2000 – 38 с.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019413.18 Кб3Указ по такт подг.doc
#
07.05.2019378.37 Кб3УМК по дисциплине Римское право.doc
#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf