Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Понятие функции, свойства функции.

2.Элементарные функции.

3.Неявное и параметрическое задания функции

4.Преобразование графиков функции

5.Графики функции в полярных координатах

6.Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности

7.Предел числовой последовательности

8.Предел функции

9.Односторонние пределы

10.Бесконечно большие и бесконечно малые функции

0∞

11.Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей 0 , ∞

12.Первый замечательный предел

13.Второй замечательный предел

14.Эквивалентные, бесконечно малые и их применение при вычислении пределов

15.Определение непрерывности функции

16.Непрерывность элементарных функций

17.Точки разрыва функции и их классификация

18.Свойства функций непрерывных на отрезке

102

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1.

Найти

множество значений

функций.

1) f (x) = x 2 − 8 x + 20

2) f (x) = 2−x 2

3) f (x) = 2 cos x − 7

4) f (x) =

+ 4

5) f (x) =

arctg x

7) f (x) =

6) f (x) =

8) f (x) = sin x × cos x

+ 2

x 2 + 4

5 - x

9) f (x) = e x 2 −2 x −3 10) f (x) =

3.2.2. Какие из следующих функций четные,

какие нечетные, а какие – общего

1) f (x) =

sin x

2) f (x) = x 5 + 3 x 3 - x

3) f (x) =

4) f (x) = arcsin x

вида

5) f (x) = sin x + cos x

6) f (x) =

- 2

7) f (x) =

8) f (x) = x × e x

x 2

9) f (x) =

-1

10) z (y) = ln y3

3.2.3. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее

наименьший

положительный период,

если он существует

1) f (x) = cos

2) f (x) =

3) f (x) = tg (2 x − 1)

4) f (x) = sin

- ctg x 5) f (x) = sin 3x cos 3x

6) f (x) = cos 2 x - sin 2 x

7) f (x) =

sin 2 x

8) f (x) = 10

9) y =

sin 5x

10) y = ln

cos 4x - 2

1) f (x) = e x ,

g(x) = ln x

3.2.4. Найти сложные функции f (g (x)), g (f (x)), где

2) f (x) = 3 x + 1,

g(x) = 2 x − 5

3) f (x) =

g(x) = cos x

4) f (x) = x 2 , g(x) = x + 2 5) f (x) =

, g(x) =

x − 1

- 3

103

3.2.5. Какие из следующих функцией имеют обратные? Для таких

функций найти

обратные функции 1) y = 3 x + 5

2) y = x 3 − 2

3) y =

4) y =

x − 2

5) y =

6) y = 2x −3

1 − x

3.2.6.

Путем

преобразования

графиков

построить

графики

3x + 1

1) y = tg

−

2) y = 2 arccos

x − 1

3) y =

4) y = − log

2 (2x − 1)

6x − π

5) y = 2

arctg x

+ π

6) y = cos

7) y

3 − 2x 8) y =

x − 4

+ 2

3.2.7. Построить кривые,

заданные

полярной системе координат

1)ρ = ϕ

2) ρ =

3) ρ = sin ϕ

4)ρ = cos ϕ

5) ρ = 2 sin 3ϕ

6) ρ = 1 − cos 2ϕ

7)ρ =

− 3 cos ϕ

x = t 2

3.2.8. Построить кривые, заданные в параметрическом виде

y =

− t

x = 2t		x = a cos t
2)	+ t	3)
y = 1	+ t	y = b sin t

x = a(t − sin t )
4)	− cos t)
y = a(1

x = a 3 cos3 t

= 3 3

y a sin t

3.2.9. Написать пять первых членов каждой из последовательностей, заданных их общими членами

1) xn

;

2) xn =

n + 2

;

2n +

n3 + 1

3) xn = 1 + (-1)n ×

;

4) xn = n × (1 - (-1)n ) ;

3n + 5

5) x

;

6) x

n =

( 1)n arcsin

n ;

2n - 3

+ p

7) xn

sin

p × n

8) xn =

2n -1

;

9) xn

;

10) xn = arcsin

(-1)

;

(n +1)!

104

																					n	p × n																				2 + (-1)n						1
	11) xn = cos (-1)																													;								12) xn		=							-		;
	11) xn = cos (-1)																					4								;								12) xn		=	2		- (-1)		n		-		;
																						4																			2		- (-1)					n
	13) xn = -n ×[2 + (-1)n ];																																					14) xn		=			n2	cos2 p × n ;
	13) xn = -n ×[2 + (-1)n ];																																					14) xn		=	1 + n2			cos2 p × n ;
																																									1 + n2							3
	15) xn				=						n			;																								16) xn		= (- 1)n−1						n + 1				.
	15) xn				=				2n+1					;																								16) xn		= (- 1)n−1										.
									2n+1																																						n2
	3.2.10. Зная несколько первых членов последовательности, написать
формулу общего члена:
1)1,					1					,				1							,						1								,K;
1)1,										,											,														,K;
				1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3× 4
2)			1	,	2				,				1	,			2				,... ;
2)		2		,	2				,			2		,			2				,... ;
		2										2
3)		0		,			1		,				2	,						3	,...;
3)		0		,	2				,			3		,							,...;
					2							3					4
4)		2 , 5 , 10 , 17,...;
5)		−1 ,						2				, − 3 ,									4,...;
6)		2		,			4		,				6	,						8	,...;
6)		2		,	3				,			5		,							,...;
					3							5					7
7)		0		,	2				,			0		,			2,...;
8)1 , 0									, − 3 , 0													, 5 ,								0			, − 7 , 0,...;
9)		- 3 ,							5			,				-		7			,		9		, -							11			,... ;
9)		- 3 ,							3			,				-					,				, -										,... ;
									3								5					7											9
10)		0,				2			,1,					2			,0,-									2		,-1,-									2		,0,...;
10)		0,		2					,1,								,0,-					2						,-1,-											,0,...;
				2								2										2											2
11)		-		1	, 1 , -										9				, 1 ,-										25		,			9		,...;
11)		-		2	, 1 , -														, 1 ,-												,					,...;
				2								1		8										1			32						16
12)		1 ,			2				,			1		,			4				,			1		,...
12)		1 ,			2				,					,			4				,					,...

13)1, 2 1 , 2 7 , 3 1 , 3 6 , K 4 9 16 25

14)2, 10, 26, 82, 242, 730, K

105

3.2.11. Ограничены ли последовательности:

(- 1)

{2 n};

;

512

;

4) 2n +

;

+ n

5) -

;

6) (-1)n

;

p × n

p(n -1)

sin

;

× cos

;

5n +1

p × n

;

10)

× cos

;

- 9n

11)

{ln n} ;

12)

{(- 1)n sin n}.

Ответы обоснуйте.

3.2.12. Используя определение предела, докажите, что:

1) lim

n + 1

= 0;

lim

= 2 ;

n→∞

n→∞ n +

3) lim

n -1

= 1;

lim q n = 0 , если

< 1;

n→∞ n

n→∞

p × n

= 0 ;

4n 2 +1

lim

cos

lim

;

n→∞ n

n→∞ 3n 2 + 2

+ 4

+ (-1)n

lim

= 1;

lim

= 1;

n→∞

lim

= 0 ;

10)

lim

(n +1)2

;

2n 2

n→∞ n

2 +1

n→∞

11) lim

3n - 1

= 1;

12) lim

3n + 4

n→∞ 3n

n→∞

2n + 1

3.2.13. Используя определение предела, доказать, что:

1) lim (x2 + 3) = 7 ;	2) lim (x 2 - 3x)= 0 ;
x→−2	x→3

106

3) lim

= 1;

4) lim lg x = 0 ;

x→1

x→1 x

5) lim

x 2 -1

;

6) lim

x − 1

;

x→2 x 2 +1 5

x→3 2(x +1)

7) lim

sin x = 1;

x→π

8) lim x × sin

= 0 ;

x→0

9) lim cosx = 1;

10) lim C = C (f (x) = C = const).

x→0

x→x0

3.2.14. Используя определение предела доказать, что:

1) lim

x + 1

= 1;

2) lim

x − 1

;

x→∞

x→∞ 3x + 2

3) lim

2x − 1

;

4) lim

sin x

= 0;

x→+∞ 3x + 2

x→∞

5) lim

= 0;

lim

-1

= 1;

→∞ x 2 +1

x→+∞ x 2 +3

lim

100

= 0 ;

8) lim

× cos

= 0 ;

→−∞ x - 2

x→∞ x

lim e

1x = 1;

10) lim

= 0.

→+∞

x→−∞ x

3.2.15. Найти пределы

1) lim

x 3

- x 2 - x +1

2) lim

x 2 + 2x - 8

;

x 3 - 8

x→1 x 3

+ x 2 - x -1

x→2

3) lim

2x 2 -11x + 5

;

4) lim

x5 + 2x 4 + x2 - 3x - 10

;

x→5 3x 2 -14x - 5

x→−2 x 4 + 2x3 + 3x2 + 5x - 2

5) lim

1 -

;

6) lim

tgx

;

1 + tgx

x→1 1 - 3 x

x→0 1 -

7) lim (1 + x)5 - (1 + 5x)

;

8) lim

x m -1

; m, n Î N ;

x→0

x 2 + x 5

x→1 x n -1

9) lim

(x + h)3 - x3

;

10) lim

8x 3 -1

;

6x 2 - 5x +

x→0

x→

107

3 - 4

x -1

-1

12) lim

11) lim

;

x→81 9 -

x→1

x 2 -1

-1

13) lim

, n, m Î N ;

14) lim

2 + x

2 - x

;

x→1 m x

x→0

3 2 + x -

3 2 - x

x - a

15) lim

;

16) lim

;

x→а

x 2 - a 2

x→1

x -1

- 4

7 + x3

3 + x 2

1 + x 2

1 - 2x

17) lim

;

18) lim

;

x -1

x + x 2

x→1

x→0

- 1

sin 2 x

(1 + x)3

20) lim

19) lim

;

x→π 1 + cos3 x

x→0

3.2.16. Найти пределы.

1) lim

+ 3x2 + 4x - 1

2) lim

x8 + 7x6 - 1

;

x→∞

5x3 + 6x + 7

x→∞ x

6 + 4x4 + 5

+ 2x

x2 + 1 +

3) lim

;

4) lim

;

-3x3 +

x→∞ x4

x→∞ 4 x3 + x - x

3x + 1

5) lim

;

6) lim

;

x→∞ 5x

+ 3 x

x→∞

3x +

7) lim

(2x - 3)20 × (3x + 2)30

;

lim

2x + 3

;

(2x +1)50

x→∞

x→±∞ 2x - 3

+ 3

+ 4

x + x +

lim

9) lim

;

10)

;

2x +1

x→±∞

x +1

x→+∞

11) lim

1 - 5x

12) lim

8x - 7 x

;

x→∞ 1

- e x

x→∞ 6x -

+ 4

x 7 + 3

2x 3

-1

13) lim

1 +

-1

;

14)

lim

;

x→+∞

x8 + x 7 +1 - x

x→−∞

15) lim

3 x4

+ 3 - 5 x3 + 4

;

x→∞

3 x7

+ 1

108

	1		a		2a		(n -1)× a
16) lim		x +		+ x +		+ ... + x +		.

x→∞			n		n
	n						n

3.2.17. Найти пределы.

1) lim

sin 3x

;

2) lim

1 -

1 - x

;

x→0 sin 4x

x→0

sin 4x

3) lim

1 − cos5x

;

4) lim

tg m x

;

x→0

x 2

x→0 sin n x

5) lim

sin x − cos x

;

6) lim

cos x

;

p - 2 x

x→ π

p - 4x

x→ π

7) lim

1 − cos 5x

;

8) lim

tgx − sinx

;

x→0 1 - cos3x

x→0

9) lim

sin 5x − sin 3x

10) lim

1 + sin x − cos x

;

x→0

sin x

x→0 1 + sin p × x - cos px

11) lim

sin x − sin a

12) lim

tg 2 x - 3tgx

;

x→0 cos(x + p)

x - a

x→a

13) lim

tg(a + x)× tg(a - x) - tg 2a

;

x 2

x→0

14) lim

1 + tgx

1 + sin x

;

15) lim

sec x − sec a

;

x 2

x→0

x→a

x - a

- 3

1 -

16) lim

cos x

coosx

;

17) lim

cos x

;

sin 2 x

1 - cos

x→0

1 - sin

sin(x - π)

18) lim

;

19) lim

;

x→π cos

(cos

- sin

)

x→π 1 - 2cosx

sin(a + x) − sin(a − x)

21) lim

1 - cos x ×

20) lim

;

cos 2x

x→0

tg(a + x) - tg(a - x)

x→0

x 2

109

3.2.18. Найти пределы

x2 +1

2x − 5 x−1

+ 1

2) lim

;

1) lim

;

x→∞ 2x

+ 1

x→∞

x + 1 x

3) lim

1 +

;

4) lim

;

x→∞

x→±∞ 2x −

− 2x + 1 x

5) lim 1 +

;

6) lim

;

x→±∞

x→∞ x2

− 4x + 2

8) lim (tgx)tg2x ;

cos x x2

x→

7) lim

;

x→0

cos 2x

1 + tgx

sin x

x−a

9) lim

;

10) lim

;

x→0

1 + sin x

x→a

sin a

ctgx

11) lim

− x

;

12) lim

sin

+ cos

;

x→0

x→∞

13) lim

− a

;

14) lim

loga x − 1

;

x − a

x→1

x − 1

x→a

16) lim (1 + cos x)2sec x ;

x x−2

x→

15) lim

;

x→2

17) lim (1 + tg 2

)1 2x ;

18) lim (cos x)1 x ;

x→0

19) lim (cos x + sin x)1 x ;

20) lim (cos x)1 x2 .

x→0

3.2.19. Найти пределы

1) lim

− x cos ec

π + x ;

lim x

+ arctg x ;

x→ π 4

x→−∞

3) lim x ctg 2x ;

4) lim sin 2x × ctg x ;

x→0

x→π

5) xlim→+∞ (x −

);

6) xlim→∞ (

−

);

x2 + 5x

2 x2 + 1

x2 + 1

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2019413.18 Кб3Указ по такт подг.doc
#
07.05.2019378.37 Кб3УМК по дисциплине Римское право.doc
#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf