Глава III. Механика твердого тела

§ 17. Момент инерции

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

. (17.1)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm, и моменты инерции тела определяется интегралом

, (17.2)

где - расстояние от элементаdm до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью плотности, гдеm - масса однородного тела, V - его объем.

Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение дает среднюю плотность

.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (17.2) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела.

Рассмотрим результаты интегрирования для простейших(геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Рисунок 17.1

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массыm с плотностью Высота дискаh. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки dr и массойdm. Для него. Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:

а) через центр стержня - 

б) через начало стержня - 

Рисунок 17.2

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно осипараллельной оси. Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

(17.3)

§ 18. Кинетическая энергия вращения

Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью . Кинетическая энергия тела:

(18.1)

где - момент инерции тела относительно осиz.

Если тело совершает поступательное или вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна:

(18.2)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.

§ 19. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения действует сила(рис.19.1). Разложим эту силу на две составляющие:и

Рисунок 19.1

Сила пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей  телобудет совершать вращательное движение вокруг оси. Расстояниеот оси вращения до линии, вдоль которой действует силаназывается плечом силы.

Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы на плечоr

С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора проведенного в точку приложения силына эту силу. Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен

. (19.1)

То есть момент силы есть векторная величина. Вектор момента силы направлен по оси вращения в сторону, определяемую правилом буравчика. Направление поступательного движения буравчика (правого винта) укажет направление вектора момента силы.

С учетом, что, момент силы.

При повороте тела под действием силы на бесконечно малый уголточка приложения силы А проходит путьи работа равна:

.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:

Тогда или, где,откуда

- уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Сравнивая со вторым законом Ньютона, можно сделать следующий вывод: только здесь вместо силы выступает момент силы, вместо ускорения выступает угловое ускорение и вместо массы выступает момент инерции. Отсюда следует физический смысл момента инерции как меры инертности тела во вращательном движении.