2. Концентрация носителей заряда

в примесном полупроводнике n-типа

В примесном плупроводнике уровень Ферми смещается от середины запрещенной зоны так, чтобы обеспечивалось условие электронейтральности кристалла. Уравнение электронейтральности для примесного полупроводника с учетом перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости имеет вид

n_o= +p_o (1.7)

В зависимости смещения E_Fи концентрации носителей заряда от температуры можно выделить три области: низких температур, истощения примеси и собственной проводимости.

В области низких температур средняя энергия тепловых колебаний кристаллической решетки kT << ΔEg, поэтому вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости чрезвычайно мала. В то же время для возбуждения электронов донора требуется энергия примерно в 100 раз меньшая, так как ΔE_d<< ΔEg/100. Поэтому в зоне проводимости появляются электроны практически только за счет ионизации донора и, следовательно, в уравнении (1.7) концентрацией дырок в валентной зоне можно пренебречь и записать (1.7) в виде

n_o=N_d⁺. (1.8)

Концентрация электронов в зоне проводимости определяется формулой (1.1). Ионизированный атом донора эквивалентен дырке на примесном уровне, поэтому для концентрации N_d⁺ можно записать соотношение, аналогичное (1.2),

N_d⁺ = N_dexp[-(E_F – Ed)/kT]. (1.9)

Подставляя (1.1) и (1.9) в уравнение электронейтральности (1.8) и решая относительно Е_F, получим

. (1.10)

Из (1.10) видно, что при Т = 0К равновесный уровень Ферми располагается по середине между дном зоны проводимости и уровнем донора. При повышении температуры уровень Ферми смещается к середине запрещенной зоны, так как N_d < N_c. Величина N_d, как правило, не превышает 10¹⁷см^-3.

Подставляя в (1.1) энергию Ферми (1.10), получим выражение для равновесной концентрации электронов в зоне проводимости в области низких температур

. (1.11)

На рис.1.2.а изображена температурная зависимость энергии уровня Ферми для полупроводника n-типа, а на рис.1.2.б – зависимость lnn₀от обратной температуры 1/Т. Низким температурам на рис.1.2 соответствует область, обозначенная цифрой 1. В этой области зависимость lnn₀от 1/Т имеет вид прямой, угол наклона которой определяется энергией ионизации примеси ΔЕ_d.

С повышением температуры концентрация электронов на уровне донора уменьшается из-за их переходов в зону проводимости – примесный уровень истощается. Уровень Ферми при этом смещается вниз. При полном истощении, когда N_d⁺= N_d, концентрация электронов в зоне проводимости равна концентрации донора, если концентрацией собственных носителей можно по-прежнему пренебречь. Уравнение электронейтральности (1.8) в этом случае примет вид

n₀ =N_d. (1.12)

Используя для n_oвыражение (1.1), и решая (1.12) относительно E_F, получим

(1.13)

Уровень E_F должен располагаться ниже уровня E_d, так как приE_F=E_d ионизирована лишь половина атомов донора. Однако за температуру истощения примеси принимают температуру T_s, при которой уровень Ферми совпадает с донорным уровнем (рис.1.2.а), т.е.E_F^s= E_d. Положив в (1.1) T = T_s, E_F =E_F^sиn=N_d/2, логарифмируя его и разрешая относительноE_F^s, получим

=,

Отсюда температура истощения примеси Т_sс учетомE_F^s= E_d.

. (1.14)

Из (1.14) видно, что T_sтем ниже, чем меньше энергия ионизации при-меси ΔE_dи ее концентрацияN_d. Для Ge, например, приN_d = 1017 см-3 и ΔE_d= 0,01эВ T_s≈ 32K.

Выше температуры истощения примеси концентрация электронов в зоне проводимости сохраняется практически неизменной и равной N_d, а уровень Ферми понижается приблизительно линейно с ростом температуры. На рис.1.2 области истощения примеси соответствует область, обозначенная цифрой 2.

Отметим, что в области истощения примеси концентрация неосновных носителей заряда р_o, связанная с возбуждением электронов валентной зоны, будет возрастать с увеличением температуры, поскольку остается справедливым закон действующих масс и р_o=/n_o, гдеn_iиn_oопределяются формулами (1.6) и (1.12) соответственно. Это выражение применимо при p_o<< n_o= N_d. При этом изменение n_oв результате перехода электронов из валентной зоны можно не учитывать в силу его малости.

Высокими температурами считаются температуры, при которых происходит столь сильное возбуждение собственных носителей, что их концентрация много больше примесных: n_i>> n_пр= N_d. Поэтому концентрацию электронов в зоне проводимости можно считать равной концентрации дырок в валентной зоне: n_o= p_o= n_i. Уровень Ферми в этом случае определяется соотношением (1.5), а концентрация носителей - (1.6). Можно приблизительно определить температуру перехода к собственной проводимостиT_i, если принять, что величинаE_F, определяемая (1.13), равна величинеEⁱ_F, определяемой (1.5)(рис.1.2.а). Из этого равенства можно получить, что

. (1.15)

Из (1.15) видно, что температура перехода к собственной проводимости тем выше, чем больше ΔEgи N_d. Для Ge при N_d= 10¹⁷см^-3температураT_i≈ 580K.

На рис.1.2 высоким температурам соответствует область, обозначенная цифрой 3. Видно, что в этой области lnn_oлинейно возрастает с увеличением температуры, причем наклон прямой согласно (1.6) пропорционален ширине запрещенной зоны.

Аналогичные соотношения можно получить и для полупроводника р-типа. Например, выражения для концентрации дырок в валентной зоне для областей низких температур, истощения примеси и собственной проводимости имеют вид

;;.