6. Понятие о фононах

Колебания кристаллической решетки – это тепловые колебания атомов любого кристаллического тела, находящегося при температуре, отличной от абсолютного нуля. Колебания решетки представляют собой упругие волны различной длины. На больших частотах, когда длина упругой волны сопоставима с межатомным расстоянием, начинает сказываться дискретная атомная структура и проявляются квантовые эффекты.

Порции, кванты энергии упругих колебаний кристаллической решетки, были названы фононами. Фононы обладают энергией Е_фони импульсомp_фон:

Е_фон= hν_фон;p_фон= h/λ_фон,

где h– постоянная Планка,ν_фон и λ_фон– частота и длина волны фонона. Нижняя граница частот фонона определяется размерами кристалла и скоростью звука, верхняя – удвоенным периодом кристаллической решетки а;для кристаллов полупроводников составляет примерно 10¹³Гц, при= 2а ≈ 10^-9м.

Энергия колебаний кристаллической решетки примерно равна сумме энергий фононов. Число фононов с определенной энергией линейно возрастает с температурой.

Использование понятие «фонон» оказалось очень удобным для описания процессов, связанных с кристаллической решеткой. Фононы могут взаимодействовать друг с другом и другими частицами, например электронами, частично или полностью передавая им свою энергию; при этом могут возникать новые фононы, и т.д. рассеяние носителей заряда при взаимодействии с фононами – основной механизм электросопротивления кристаллических проводников

Лабораторная работа № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО КРИСТАЛЛА

Цель работы: теоретическое и экспериментальное изучение зависимостей концентрации, подвижности носителей заряда и электропроводности полупроводникового кристалла от температуры с использованием эффекта Холла.

Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь

1. Концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике

Средняя энергия, получаемая электроном от тепловых колебаний решетки, примерно равна kT. Если уровень Ферми находится в пределах запрещенной зоны, то полупроводник является невырожденным. Для невырожденного полупроводника E_c-E_F> kТ ≈ 0.026 эВ при Т = 300 К и в выражении (В.4) можно пренебречь единицей в знаменателе и записать его в виде

f_n(E) = exp[-(E – E_F)/kT]

Концентрация электронов, находящихся в зоне проводимости, равна произведению числа имеющихся уровней на вероятность их заполнения. При обычных температурах заняты уровни вблизи дна зоны проводимости, так что в качестве энергии Е можно подставить энергию Е_с. Тогда концентрация электронов в зоне проводимости

n_о=Nc exp[-(E_c–E_F)/kT] (1.1)

где N_c– эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенное ко дну зоны. Например для германия Ge Nc = 1,04·10¹⁹см^-3; аналогично для дырок в валентной зоне:

p_o = Nv·exp[-(EF – Ev)/kT], (1.2)

где Nv– эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны; для GeNv= 6,0·1018 см^-3; N_cи N_vзависят от температуры пропорционально Т^3/2.

Из соотношений (1.1) и (1.2) следует, что концентрация носителей заряда для конкретного полупроводника определяется положением уровня Ферми. Положение уровня Ферми в условиях теплового равновесия можно определить из условия электронейтральности, согласно которому суммарный заряд всех заряженных частиц кристалла полупроводника должен быть равен нулю. В случае собственного полупроводника условие электронейтральности можно выразить уравнением

n_o=p_o. (1.3)

Подставляя (1.1) и (1.2) в уравнение (1.3), получим

. (1.4)

После логарифмирования (1.4) находим, что

. (1.5)

Из (1.5) видно, что уровень Ферми в собственном полупроводнике при Т = 0 К расположен в середине запрещенной зоны. Собственная концентрация носителей заряда с учетом (1.1), (1.2) и (1.3) равна

. (1.6)

Зависимость ni от Т удобно строить в полулогарифмических координатах. Логарифмируя (1.6) находим

.

Если по оси абсцисс отложить 1/Т, а по оси ординат lnn_i, то получится прямая, тангенс угла которой определяется величиной ΔEg/2k. На рис. 1.1 приведены зависимости от Т дляGeи арсенида галлияGaAs. Видно, что n_iсильно зависит от ΔEgи Т.

Соотношение n_o =p_{o =} n_i является математической формулировкой закона, названного законом действующих масс. Этот закон справедлив для любого невырожденного полупроводника и показывает, что при данной температуре произведение равновесных концентраций электронов и дырок есть величина постоянная и зависящая только от свойств полупроводника. В частном случае собственного полупроводника n_o= р_o, но во многих других случаях n_o≠ р_o, и закон действующих масс позволяет вычислить концентрацию одного из носителей заряда, если известна концентрация носителей заряда противоположного знака.