книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 5

получим выражение для критической скорости:

Яг "1/ 0 (1 + 'О'кЯг2)

/' phb (1 + кЯг2)

Вслучае, когда погонная постоянная нагрузка q0 движется по стержню с постоянной скоростью V слева направо, для описания на­ грузки используем функцию Хевисайда 0 (£). Функция нагрузки будет:

q { lr ) = q o [ l - U ( l - l a ) ] . Тогда

^/ 1+кЯг2

Критическая скорость перемещения фронта погонной нагрузки определя­ ется из такого же уравнения, что и для случая сосредоточенной силы: С0{2 Я 2V2/12= 0.

Вопрос о поведении трехслойного стержня под действием движу­ щихся сосредоточенной силы и погонной нагрузки рассмотрен в13. Здесь методом Бубнова решается уравнение из1 для случая свободного опирания без диафрагм. В работах14 и15 рассматривается свободно опертый стержень Бернулли—Эйлера. В15 для решения используется двойное преобразование Лапласа. В этих работах получены формулы для крити­ ческой скорости движения нагрузки.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость п колебания трехслойных оболо­ чек. М., 1973. 170 с.

2.Смирнов А. И. Колебания трехслонных балок. — Докл. АН СССР, 1967, т. 172,

№3, с. 561—564.

3.Насонкин 10. Д. Собственные колебания трехслойного стержня при различных

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 5, с. 851—855

--------------------------------------------------------------1----------------

УДК 611.71:539

Ю. А. Авдеев, С. А. Регирер

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОСТНОЙ) ТКАНИ КАК ПОРОУПРУГОГО ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Предложена модель пористого, насыщенного жидкостью пьезоэлек­ трического материала, которая может быть применена к исследованию костной ткани. Модель отличается тем, что пьезоэлектрический эффект, изменение пористости и перемещение жидкости рассматриваются как взаимосвязанные явления.

1. Рассмотрим двухфазную статистически однородную среду, состоя­ щую из твердого скелета, материал которого обладает пьезоэлектриче­ скими свойствами, и вязкой жидкости (электролита), заполняющей поры. Скелет и среда в целом анизотропны. Будем учитывать массообмен между фазами, приводящий к изменению пористости, пренебрегая диффузией и деталями химических реакций внутри фаз. Анализ ограни­ чен случаем равных и постоянных истинных плотностей фаз,, при равных температурах фаз и малых деформациях скелета (см. п. 3).

Запишем законы сохранения массы фаз в виде:

Здесь p — плотность среды, постоянная в силу сделанных предположе­ ний; С — массовая концентрация жидкости, численно равная пористости 0; V/J, ей — векторы скорости жидкой и твердой фаз; Q — скорость межфазиого массообмена («фазового превращения»). Вводя фильтрацион­ ный поток g h = C{vjJ — V h ) , из уравнений (1.1), (1.2) получим:

Введение производной ds/dt вдоль траекторий материальной частицы ске­ лета обусловлено тем, что деформации и скорости деформаций среды в целом измеряются по соответствующим величинам для скелета. Далее ис-

+ Sh-^-\ uk=Cv,J+ {\-C )vk = vh + gh, где uh — среднемассовая ско- дхи

рость среды. Уравнение (1.3) означает, что скорость объемной деформа­ ции скелета численно совпадает со скоростью притока жидкости, а урав­ нение (1.4) — что изменение пористости вызывается фазовым превраще­

нием и объемной деформацией.

Закон сохранения импульса для среды в линейном приближении имеет вид:

где fi — вектор внешних сил. В согласии с обычной теорией пьезоэлек­ триков1 в (1.5) не включены квадратичные по электрическому полю со­ ставляющие напряжений и объемных сил.

Зададим внутреннюю энергию U единицы массы среды (с полем) как функцию пористости 6*=С, энтропии 5, деформаций скелета ец, плот­ ности объемного электрического заряда ре, вектора электрической индук­ ции Dk и фильтрационного потока gh'.

U= и 0(С, S, eij, PetDh) +■ §k§h- (1-6)

Последнее слагаемое, в точности равное кинетической энергии относи­ тельного движения фаз, формально можно включать как во внутреннюю, так и в кинетическую энергию среды. Уравнения притока тепла и вы­ кладки, ведущие к установлению определяющих соотношений, в этих двух случаях будут различны, но окончательные результаты совпадают. Примем, по определению,

Здесь p, pt. — химические потенциалы; pif — эффективные упругие' на­ пряжения, связанные с твердой фазой2; Т — температура; Ек — элек­ трическое поле, входящее в уравнения Максвелла.

Уравнение притока тепла для среды с электрическим полем, без учета магнитного поля, имеет вид3 (р = const):

где qh — тепловой поток; jh — плотность электрического тока.

После подстановки (1.6), (1.7) в (1.8) и введения (для учета несжи­

Здесь e,j — тензор скоростей деформаций. Используя уравнение (1.4) п закон сохранения заряда

путем тождественных преобразований приводим ( 1.9) к виду:

8 52

где Gn — плотность потока энтропии; R — диссипативная функция. Пре­ небрегая в R членами третьего порядка (g3, g2dCldxk и т. п.) и конвекци­ онным током, получим приближенно:

5

2. В общем случае линейные связи между обобщенными термодина­ мическими силами Хг и потоками Yr представляются в виде:

5

где тензорные коэффициенты Ar-S удовлетворяют3 условиям симметрии Онзагера—Казимира и неравенствам, обеспечивающим неотрицательт ность R. Опуская некоторые перекрестные эффекты, из (2.1) получаем:

ji=A?- ■£г+А^Х?+А,?-*Х?+А1*-*Х?+Ацк*-ь^±.-, (2.4)

g,=A*. ■£.+Ац*-*Х?+Ац*-*Х?+Аф*Х?-, (2.5)

Уравнение(2.2) выражает закон изменения структуры материала с уче­ том влияния электрического поля. Уравнения (2.3) —(2.5) суть обобщен­ ные законы Фурье, Ома и Дарси. Реологическое уравнение (2.6) и закон Ома (2.4) содержат перекрестные члены типа необратимого пьезоэлек­ трического эффекта.

следует дополнительное условие Л^й3-5= Лгл/>5; Ащкъ,ъ =Anjk5’5.

Полная система определяющих соотношений состоит из (2.2) —(2.6)

853

В качестве простого примера анизотропии, допускающего существо­ вание всех перекрестных эффектов в (2.1), укажем текстуру класса оо. Если характеризовать выделенное направление единичным вектором 6,-, так что в перпендикулярной ему плоскости имеет место трансверсальная изотропия, и дополнительно предположить, что неравноправность на­ правлений + Ьг и —bi существенна только в коэффициентах А1-3, А1-4, А3'5, то получаются следующие общие формулы3 (bij = bibj):

Л д а5’ 5 = Л 16, 5б г А /+ Л 25.5(бг71бдН-бпбд0+^35’ ЧбиЬ/{г + б/(,&1-Л +

+Л 45-5 (dihbji+ б]кЬц+ &цЬjh+ bjibih) +Л 55- 5bijbiu.

Здесь Eijk — перестановочный тензор. Формулы (2.10) верны также для коэффициентов в (2.7), (2.8).

Полная система уравнений, описывающая в принятом приближении рассматриваемую среду, состоит из балансовых уравнений (1.3) — (1.5),

. дЕк дЕ{

(1.10), уравнений Максвелла (без учета магнитного поля)—--------— =0;

которых суть, вообще говоря, функции С, Т, ре, ег-д Dk.

3.Совершенно аналогичным образом может быть построена более об­ щая, но и существенно более громоздкая модель с учетом сжимаемости фаз, необратимых деформаций скелета и диэлектрической релаксации. При этом в качестве определяющих параметров среды нужно рассматри­ вать истинные плотности р^, ps фаз, связанные с пористостью 0 форму­ лами р^= Ср/0, ps= (1 —С)р/(1 —0), дфС. Внутреннюю энергию следует считать зависящей от 0, упругой составляющей деформации ег/ и пере­ менных, уже введенных (кроме ец) в (1.6). Наконец, в (1.7) последнее равенство следует заменить на 4jipdUo/dDh = E'il=}£=Eii. В конечном счете получится расширенная модель, обладающая некоторыми примечатель­ ными свойствами. В частности, и в соотношение (2.7) для упругих на­ пряжений (что хорошо известно в теории пористых сред2), и в (2.8) войдут слагаемые, пропорциональные давлению в жидкой фазе. Таким образом, пьезоэффект окажется связанным фактически не только с макро-, но и с микродеформациями скелета. В отличие от модели, рас­ смотренной выше, появятся необратимые деформации, связанные с при­ током массы к твердой фазе.

4.Представленные выше уравнения отражают некоторые важные черты материала кости: пьезоэлектрический и пироэлектрический эф­ фекты4, перемещение электролита в порах5, способность к перестройке под влиянием электрического поля4. Взаимосвязь пьезоэлектрического

эффекта и перемещения электролита, возможно, имеющая самостоятель­ ное физиологическое значение6, может, как видно из уравнений, быть су­ щественной при интерпретации экспериментальных данных. Так, при мгно­ венном приложении нагрузки к образцу скорость установления стационар­ ных распределений будет зависеть от диссипативных процессов. В модели, учитывающей только омическую проводимость и диффузию носителей заряда7, характерное время установления хе= е+/4л;71*3-3. Сообращепня размерностей показывают, что фильтрационному движению вязкой жидкости соответствует характерное время установления T / = L 2 / G * / 1 * 44 -

854

сменов во время летнего тренировочного сбора. После суток значения скорости С(,1)Г соответствовали начальным значениям скорости для каж­ дой группы спортсменов.

С учетом приведенных выше результатов эксперимент был поставлен следующим образом: перед физической нагрузкой в течение 4— 8 мин за­ меряли скорости с„ в ПНК и ЛНК испытуемого, после чего он бежал 5 мин на тредбане со скоростью 2 м/с. Сразу после бега вновь проводили измерения, и испытуемый бежал опять — со скоростью 4 м/с, после чего измерения повторяли в третий раз. Полученные результаты приведены в таблице и на рисунках 2 и 3.

Опыты проводились с семью спортсменами высокой спортивной ква­ лификации (группы I—V в таблице), 11 спортсменами низкой квалифи­ кации (группы VI, VII) и с семью людьми, практически не занимающи­ мися спортом (группа VIII). Все испытуемые — мужчины в возрасте от 19 лет до 21 года.

Результаты показали, что выполнение дозированных нагрузок сопро­ вождается повышением скорости ультразвука на большеберцовой кости тем большим, чем,больше интенсивность физической нагрузки, однако эти явления у обследованных различных групп выражены неодинаково. У нетренированных лиц бег на тредбане сравнительно мало изменял акустические свойства большеберцовых костей, и амплитуда изменения с„ на отдельных участках кости не имеет определенной закономерности.

ных специализаций. Таким об­ разом, адаптированная к физи­ ческим нагрузкам большебер­ цовая кость отвечает на на­ грузку как единая конструкция с максимальной амплитудой в зонах наибольшей нагруженности. Заметнее всего — более

Рис. 2. Изменение средней скорости с(Н)г в медиальной плоскости большеберцовых кос­ тей людей после выполнения бега на тредбане со скоростью 2 м/с (а) и 4 м/с (б).

I—VIII — номера групп согласно таблице.

857

Спортсмены

высокой

спортив­ ной квалпфпкации

рядник

Примечание. Над чертой — скорость ультразвука, км/с; под чертой — к о э ф ф и ц и е н т

вариации, %•

858