книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 5

чаи соответственно. Решение ищется в виде ряда по степеням е. Система уравнений Навье—Стокса сводится к линейным уравнениям Орра—Зоммер- фельда для каждого порядка малости. Результаты, полученные в работах4-5,

либо равным 1. Из-за сложности алгебраических вычислений, проводимых в лабораторной системе отсчета, конечные результаты для членов сте­ пени а2 даны лишь для предельно малых е и нулевого среднего расхода.

Решение можно представить в виде суперпозиции двух решений — решения, полученного при разложении по степеням Re (при а = 0), и ре­ шения при разложении по степеням а. (при Re = 0)3. Вычисления произ­ водятся в волновой системе отсчета, где форма волны стационарна. По­ лучены характеристики расход—давление и изучены условия возникнове­ ния застойных зон и возвратных течений.

Методом малого параметра в работе7 изучена зависимость КПД перистальтического насоса от Re и геометрических характеристик трубки. Метод малого параметра использовался и в работе8, в которой в гранич­ ных условиях дополнительно учитывался отток жидкости через стенку сосуда.

Численное решение задачи перистальтического насоса можно найти в работе9, в которой уравнения движения жидкости в приближении Стокса разрешаются с помощью метода конечных элементов. Был про­ веден нелинейный анализ перистальтического потока жидкости при нема­ лых а и е. Тот же численный метод был применен в работе10 для изучения зависимости расхода и перепада давлений от е.

Попытка решить задачу перистальтического транспорта для трубок произвольного поперечного сечения, в частности, когда сечение есть эл­ липс, сделана в работе11, в которой система нелинейных трехмерных урав­ нений Навье—Стокса сводилась к последовательности линейных краевых задач с операторами Лапласа и бигармоническими операторами. Пред­ ставлены результаты профилей скорости для эллиптического поперечного сечения.

Постановка задачи. Рассматривается движение вязкой несжимаемой гомогенной ньютоновской жидкости в цилиндрической трубке с круглым поперечным сечением, поток предполагается ламинарным. Вдоль стенки сосуда со скоростью с распространяется возмущение, имеющее вид бегу­ щей волны. Геометрия волны определяется двумя параметрами — а, е (рис. 1).

В настоящей работе расчеты проводились для бегущей синусоидаль­ ной волны. Течение описывается полной системой нелинейных дифферен­ циальных уравнений Навье—Стокса для вязкой жидкости

с граничными условиями прилипания на стенке

дф

ф= фш = const;

дп

889

Здесь z,r — аксиальная и радиальная координаты; г0 — средний радиус; ф, со — функции тока и вихря; t — время; h(z, t) = 1 + е sin[a(z —с/)] — координаты границы. Определяющие задачу величины в безразмерном виде будут: z = z'/rQ; r = rrjrQ\ h = h'lrQ\ t=(t'c)/ro\ u = u'/c; ф= ф//,('о2с); o>= (co'ro)/c; Q= Q'l{roc)\ p = p'/{pc2).

Задача определяется семью размерными параметрами. По я-теореме четыре их безразмерные комбинации полностью определяют решение ис­ комой системы. В качестве этих безразмерных параметров выбираются числа Рейнольдса Re и безразмерный расход Q, характеризующие дина­ мику течения, а также безразмерное волновое число а и степень радиаль­ ного пережатия е. Задача решается при Q= 0, что, если воспользоваться электромеханической аналогией, соответствует замыканию насоса на на­ грузку с бесконечным сопротивлением. Задача решается в системе коор­ динат, движущейся вместе с волной со скоростью с. Граничные условия в такой системе координат стационарны.

Численный метод решения. Для решения системы уравнений Навье— Стокса с граничными условиями прилипания используется схема пере­ менных направлений с монотонной аппроксимацией направленными раз­ ностями конвективных членов дивергентного типа. Задача определена в области, граница которой имеет форму бегущей перистальтической волны. Вводится прямоугольник, охватывающий эту область. Расчеты проводятся во всем прямоугольнике. Матрицы систем разностных уравне­ ний для вычисления функции тока и вихря имеют трехдиагональный вид. Для решения полученных алгебраических уравнений применяется метод прогонки. Разностный вид граничных условий получается с помощью простого сноса из точки пересечения границы с линией сетки в бли­ жайший узел сетки. Более подробное описание метода можно найти в работе12.

Выбор расчетных вариантов и обсуждение результатов. С помощью численного метода изучается перистальтическое движение жидкости в трубе со стенкой, деформирующейся по гармоническому закону, и про­ водится сравнение результатов численного моделирования с данными линейной теории. Сравнивались профили скоростей и градиенты давле­ ний. Числа Re и а предполагались малыми. При этом имеют место сле­ дующие выражения для профиля скорости и градиента давления вдоль трубки:

где фш— значение функции тока на стенке; и — аксиальная скорость;

ар I

-j----- градиент давления. На основе этих выражений и проводилось срав­

нение. Расчеты были проведены при варьировании характерных парамет­ ров в следующих пределах: е= 0,1-=-0,2; Re = 0,5-M; a = 0,3.

Анализ результатов показал, что имеется удовлетворительное совпа­ дение с линейной аналитической теорией в пределах точности разностной схемы. Однако имело место наличие ряда нелинейностей, что следует считать вполне естественным, так как хотя а и Re и полагались малыми, но были еще далеки от нуля. Уменьшать Re (до 0,1) было нельзя из-за расхождения численного процесса.

Сравнение на линейных участках показало, что отличие теоретиче­ ских результатов от результатов численного эксперимента не превышало погрешности схемы. На рисунках 2 и 3 показано, что расчетный и теоре­ тический профили аксиальной скорости практически совпадают. Одним из предположений линейной теории является отсутствие радиальной со­ ставляющей потока. Это подтверждают результаты расчетов; так, при

890

Re= 0,5; e= 0,l; a = 0,3 радиальная составляющая скорости не превышала по абсолютной величине 0,06 и в среднем была на два порядка ниже, чем аксиальная составляющая.

Сравнение радиальной и аксиальной составляющих безразмерной скорости показало, что на выходном сечении аксиальная составляющая равна 1,50, а радиальная — —0,021; на середине они равны 2,42 и —0,004, а на выходном сечении равны 1,86 и —0,030. Сравнение безраз­ мерных градиентов в .местах линейного изменения функции давления по­ казало, что по линейной теории они равны —0,5, —0,8, —2,1, а по чис­ ленному расчету------0,6, —0,7, —1,8, т. е. что расхождение не превышают погрешности схемы.

Сравнение расчетных градиентов давления по оси и по радиусу пока-

ной аналитической теории. Таким образом, можно сделать вывод, что имеется совпадение расчетных результатов с результатами линейной ана­ литической теории, следовательно, имеет смысл проводить расчет в не­ линейном случае, т. е. при немалых а, е и Re.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Shapiro А. Н., Jaffrin М. У., Weinberg S. L. Peristaltic pumping with long wave­

lengths at low Reynolds number. — J. Fluid Mech., 1969, vol. 37, p. 799—825.

2. Регирер С. А. О движении вязкой жидкости в трубке с деформирующейся стен­ кой. — Изв. АН СССР. Механика жидкостей и газов, 1968, № 4, с. 202—204.

3.Jaffrin М. Y., Shapiro А. Н. Peristaltic pumping. — Ann. Rev. Fluid Mech.,1971, vol. 3, p. 13—36,

4.Fung Y. C., Yih C. S. Peristaltic transport. — J. Appl. Mech., 1968, vol. 35,

p.669—675.

5.Yin F., Fung Y. C. Peristaltic waves in circular cylindrical tubes. — J. Appl. Mech., 1969, vol. 36, p. 579—587.

6.Zien T. F., Ostrach S. A long wave approximation to peristaltic motion. — J. Biomech., 1970, vol. 3, p. 63—75.

891

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979,.М 5, с. 893-899

УДК 620.1 + 539.3:678.5.06

С. Д. Волков

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТОВ

Специальные материалы, в которых максимальная возможная проч­ ность сочетается с достаточно большой пластичностью, нужны для мно­ гих конструкций. В этом отношении наиболее перспективны композиты (композиционные материалы)1-7. Прочность обеспечивает арматура, а пластичность — связующее.

Композиты бывают хаотически и направленно армированные. Коэф­ фициент использования высокой прочности арматуры имеет максималь­ ное значение у композитов, направленно армированных длинными тон­ кими волокнами. Вследствие масштабного эффекта прочность волокон арматуры тем больше, чем меньше их диаметр. При сравнительно боль­ шом диаметре удается получить размещение волокон, близкое к строго упорядоченному. В этом случае для описания свойств композита вполне достаточны традиционные методы феноменологической механики дефор­ мируемых твердых тел (где все величины и функции неслучайны). При диаметре волокон порядка 10-3мм поперечный размер волокна при­ мерно равен среднему размеру зерен мелкозернистой стали. На таком уровне размеров неизбежны случайные отклонения от задаваемого упо­ рядоченного расположения волокон арматуры, оказывающие существен­ ное влияние на свойства композита. Поэтому детерминированные мо­ дели традиционной механики деформируемых твердых тел не вполне адекватны эксперименту для особо прочных композитов. Кроме того,

Для прогноза свойств особо прочных композитов по указанным при­ чинам нужны более сложные по сравнению с детерминированными — статистические модели. Для описания их свойств требуется математи­ ческий аппарат теории случайных полей8-11. В статистической механике композитов новые модели и методы применяются для расчетов на проч­ ность и деформативность конструкций, определения макроскопических (эффективных) свойств композитов по заданным свойствам компонен­ тов и статистическим параметрам их взаимного расположения, вычис­ ления законов распределения случайных напряжений и деформаций в компонентах для оптимизации использования прочности арматуры, ис­ следования реологических свойств композитов с упругой арматурой и вязкой матрицей, анализа влияния начальных температурных и уса­ дочных напряжений на поведение композитных конструкций, использо­ вания технологических начальных напряжений для усиления конструк­ ций и решения других задач. Ниже приведен краткий обзор решений некоторых задач, не вошедших по разным причинам в указанные моно­ графии.

1. Рассмотрим сплошное упругое тело V с границей 5 — модель класса В29’п. Свойства ^^-окрестности любой точки М{х) данного тела, заданной неслучайным радиус-вектором х, описывают уравнения статистической краевой задачи

893

где о(х), е(х) — тензоры напряжений и деформаций; %(х) — Вектор перемещений; 0(jt) — тензор модулей упругости. Полагаем, что на гра­

Грина; Eij, ец, 0z-jmn — составляющие тензоров е(я), е (х) = <е(л:)> и 0(х); С= <0>, С* — изотропная часть тензора С; С** — девиатор тензора С;

0 = 0 —С; Ъ = Е — е.

При макроскопически детерминированных граничных условиях (^= {^))) детерминированных и однородных макросвойствах композита решение статистической краевой задачи (1), (2) в реализациях сво­ дится к вычислению итерационного ряда11

к определенному в статистическом смысле пределу. В частности, суще­

Существование и единственность решения (3) имеет важное прак­ тическое значение в задаче о вычислении макроскопических постоянных упругости композита по заданным свойствам компрнентов и статисти­ ческим параметрам их взаимного расположения. Например, в случае двухкомпонентного композита с детерминированными тензорами моду­

где D\= ([Я,(я) ]2> — дисперсия случайной индикаторной функции. Если дисперсия (4) мала, то допустимо ограничиться только первым слагае­ мым ряда (3). Этот случай соответствует решению краевой задачи (1),

(2) в корреляционном приближении9.

Для подавляющего большинства высокопрочных композитов корре­ ляционное приближение неприемлемо, так как велика разность между модулями упругости компонентов при сравнимых объемных содержа­ ниях. В расчет входит вся сумма (3). На примерах показано, что при достаточно больших значениях составляющих тензора (4) ряд (3) рас­ ходится (не дает искомых поправок к средним модулям упругости).

Из теории некорректных задач математической физики известны ме­ тоды улучшения сходимости аналогичных рядов. Однако они эффек­ тивны только при условии, что существует и является единственным ре­ шение исходной системы уравнений (1) при граничных условиях (2) независимо от конкретного способа его получения. Исследованию этой проблемы посвящена работа12.

Вычисление моментных функций различных порядков посредством ряда (3) можно практически осуществить только при дополнительных

894

специальных ограничениях, налагаемых на свойства среды. В задаче о макромодулях упругости введены три варианта ограничений: 1 ) пре­ дельная локальность невырожденных моментных функций случайных модулей упругости, 2) гипотеза сильной изотропии, 3) сингулярное при­ ближение. Результаты расчетов, выполненных с использованием этих вариантов ограничений, аналогичны и соответствуют эксперименту. Од­ нако в задаче о распределении напряжений и деформаций в каждом из компонентов все три варианта ограничений оказались слишком «жест­ кими».

Например, в случае линейно-упругого двухкомпонентного композита с детерминированными свойствами и не вполне упорядоченным распо­ ложением компонентов дисперсии напряжений и деформаций в каждом из компонентов должны быть отличными от нуля. Это следует из эле­ ментарных свойств полей напряжений и деформаций в неоднородных телах. Между тем, если принять любой из трех вариантов ограничений, расчетные дисперсии случайных напряжений и деформаций в каждом из компонентов оказываются равными нулю.

Таким образом, в обсуждаемой задаче нужны новые, менее жесткие ограничения. В поисках таких ограничений была использована экспе­ риментальная информация о статистических параметрах случайного взаимного расположения компонентов — построены моментные функ­ ции до четвертого порядка случайной индикаторной функции К(х) на образцах из хаотически и направленно армированных композитов. Как известно из теории случайных функций, подобная информация не явля­ ется исчерпывающей. Полную информацию содержит двухточечный закон распределения. Экспериментальные законы распределения иссле­ дованы в работе13. Результаты использованы для вычисления распре­ делений случайных напряжений и деформаций в отдельных компонен­ тах14. В этом расчете существенное значение имеет вычисление не только сингулярной части интегралов (сингулярное приближение), но также регулярной части (по областям, не содержащим особых точек). Пока­ зано, что в сингулярном приближении дисперсии напряжений и дефор­ маций в отдельных компонентах по-прежнему равны нулю. Размеры области статистической зависимости случайных деформаций (соответ­ ственно — напряжений) существенно больше, чем случайных модулей упругости.

Полученные в работе14 результаты относятся к хаотически армиро­ ванным композитам, где коэффициент использования прочности арма­ туры сравнительно мал. В работах15-17 метод расчета уточнен и обоб­ щен на направленно армированные высокопрочные композиты с раз­ личными вариантами армирования. Установлено, что случайные напряжения и деформации распределены в компонентах по близким к нормальным законам.

где |(x) — тензор второго ранга, имеющий значение | = ат в задачах термоупругости или £= е* в задачах о собственных напряжениях от усадки связующего; а(х) — тензор линейного теплового расширения; т(х) — случайная температура; е*(х) — тензор начальных усадочных деформаций.

Если распределение температуры заранее не известно, оно опреде­ ляется путем решения уравнения теплопроводности

V -х-V T= 0,

где х(х) — тензор случайных коэффициентов теплопроводности.

895

В работе18 рассмотрена задача о распределении случайной темпера­ туры в компонентах композита при отличном от нуля градиенте средней температуры. Случайные отклонения температуры от средней убывают с уменьшением размеров частиц арматуры и увеличением их числа при фиксированном объемном содержании компонентов.

Начальные технологические (усадочные) напряжения в случае одно­ родного в среднем армирования уменьшают несущую способность компо­ зитной конструкции и потому нежелательны. Как известно, при изготов­ лении композитов принимаются специальные меры для уменьшения собственных технологических напряжений, зачастую в ущерб другим ка­ чествам связующего (в частности адгезии). Между тем, для каждой кон­ кретной композитной конструкции можно выбрать специальный способ армирования с близкой к однородной в среднем структурой, обеспечи­ вающий увеличение несущей способности конструкции за счет собствен­ ных усадочных напряжений. Для этого достаточно, чтобы на участках концентрации напряжений от внешней нагрузки были собственные на­ пряжения обратного знака. В этом случае технологические напряжения полезны. Методика расчета усиливаемых собственными напряжениями конструкций приведена в работе19.

3. Статистические краевые задачи для линейно-упругих композитов (п. 1 и 2) относятся к низким температурам нагружения (эксплуата­ ции), когда реологическими свойствами компонентов можно пренебречь.

В некотором интервале температур допустимо пренебречь реологиче­ скими свойствами арматуры, но не связующего. Например, в случае стеклопластиков этот интервал содержит комнатную температуру. По­ этому в задачах теории композитов рассматриваются модели с линейно­ упругой арматурой и вязким связующим. Эти задачи сложнее задач ли­ нейной теории упругости и термоупругости.

Одна из актуальных для приложений задач состоит в том, чтобы предсказать процесс перераспределения напряжений в компонентах композита с течением времени (эффект длительной прочности). В ра­ боте20 исследован процесс релаксации начальных усадочных напряже­ ний в двухкомпонентном хаотически армированном композите с детер­ минированными свойствами компонентов и не вполне упорядоченным расположением арматуры в связующем. Установлено, что в ненагружепном внешними силами композите изменяются с течением времени сред­ ние напряжения в каждом из компонентов и их дисперсии. Этот про­ цесс увеличивает вероятность разрушения элементов арматуры.

В работе21 рассмотрена задача о релаксации напряжений в струк­ турно неоднородном стержне. Из решения задачи в моментных функциях определены среднее напряжение и дисперсия напряжений как функции времени. Установлено, что с течением времени дисперсия достигает мак­ симума.

В работе22 предложена методика прогноза диаграмм ползучести хао­ тически армированных композитов на основе известных свойств струк­ туры. На числовых примерах приведено сравнение с экспериментом.

Методы линейной вязкоупругости применялись ранее для расчета макросвойств композитов10. В работах23-25 применен метод Вольтерры— Работнова к задаче о напряжениях и деформациях в отдельных компо­ нентах композита с упругой арматурой и вязким связующим. Рассмот­ рены процессы релаксации напряжений в хаотически и однонаправлспно армированных композитах. Найдены как функции времени законы рас­ пределения напряжений и деформаций в компонентах. Показано, что они близки к нормальным законам.

Отметим, что в обсуждаемых задачах рассмотрен простейший ва­ риант, когда свойства компонентов детерминированы и изотропны. В дальнейшем целесообразно обобщить результаты — учесть анизотро­ пию и разброс физических свойств.

896