Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 5

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
10.51 Mб
Скачать

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, М 5, с. 819—834

УДК 624.071.4 + 539.411:678,5.06

Л. Н. Гузь, К. И. Шнеренко

ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ОСЛАБЛЕННЫЕ ОТВЕРСТИЯМИ

1. За последние 10—15 лет в области механики тонких оболочек опубликовано свыше 100 работ, в основном отечественных авторов, по­ священных вопросам распределения напряжений около отверстий в обо­ лочках из композитных материалов. Научные достижения в этой области являются ответом на задачи, возникшие в практике в связи с широким применением в технике армированных пластмасс. При проектировании и в процессе эксплуатации элементов таких конструкций важное значе­ ние имеют вопросы исследования влияния на напряженное состояние характерных деформативных свойств материалов — анизотропии, подат­ ливости на сдвиг и слоистой структуры. В задачах о концентрации на­ пряжений около вырезов, где существенную роль в напряженном со­ стоянии играет локальный изгиб и высокие градиенты деформаций, эти особенности материалов, несомненно, должны быть учтены1.

Для решения таких задач необходимо привлекать уточненные двух­ мерные теории, поскольку классическая гипотеза Кирхгофа—Лява не учитывает деформации поперечных сдвигов. С другой стороны, решение задач в уточненной постановке позволяет определить границы примени­ мости классической теории, необходимые при разработке рекомендаций для инженерных методов расчетов элементов тонкостенных конструкций.

Для построения уточненных прикладных теорий многослойных ани­ зотропных оболочек используются следующие предположения: 1) нор­ мальный элемент, перпендикулярный недеформнрованной срединной по­ верхности, в процессе деформации поворачивается на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины; 2) напряжения азз, действу­ ющие на площадках с нормалью, направленной по координатной ли­ нии у, малы по сравнению с другими. Эта модель, заимствованная из работы Тимошенко2, построена им применительно к поперечным коле­ баниям стержней и балок.

Следуя принятым допущениям, смещения по толщине оболочки можно представить в виде:

W = w ( a , р); t/i = Hf (a, Р ) - 6 y 0 t ( a , р ) + M v ) Y i ( a . Р) (1’ =!а >Р)*

где иа, ир, w — перемещения срединной поверхности; уа, ур — функции

 

 

 

1

dw

ua

сдвига; fa(у), fp(y) — некоторые заданные функции;0а = — •

 

 

n 1 dw

мр

t , \

*

можно

0р= — ------------- —

При разных значениях

величин /Ду)

и о

Вdp R р

получить различные теории. В частности, при 6 = 1, /а(у) =/р(у) =0 получаем классическую гипотезу Кирхгофа—Лява; при 6 = 0, fa(y) = ='/р(у) =у — кинематическую гипотезу Тимошенко.

Материалы оболочек типа стеклопластиков, металлопластиков, орга­ нопластиков в рассматриваемых исследованиях предполагаются одно­ родными ортотропными или трансверсально-изотропными с понижен­ ными сдвиговыми модулями. Армированные композиты, в том числе

52*

8 1 9

полученные намоткой, считаются линейно-упругими, однородными с неко­ торыми приведенными характеристиками, которые определяются экс­ периментальными или известными теоретическими методами. Деформа­ ции межслоевых сдвигов, за исключением трехслойных, учитываются для всего пакета оболочки в целом3-4.

2. Ортотропные оболочки без учета деформаций сдвига. Для много­ слойных оболочек, изготовленных из материалов с высоким модулем сдвига, при расчетах может быть использована классическая теория оболочек, позволяющая учитывать анизотропию свойств, но не учиты­ вающая поперечных сдвигов. В этом случае напряженно-деформирован­ ное состояние в области отверстий описывается уравнениями и соотно­ шениями, приведенными в монографиях3-5. Рассмотрим некоторые ре­ зультаты, полученные в данной постановке в основном в первом периоде развития теорий композитных оболочек.

Сферическая оболочка. Система разрешающих уравнений осесиммет­ ричных задач для оболочек с цилиндрической ортотропией приводится к виду6:

A(A-0<D=(V2- 1 ) - L ( A -

-

~

) ф.

(2.1)

где

сг

'

а

а а '

 

 

 

 

 

 

 

r = kа ; Ф = ш - И ' т р ;

12(1 -v ,v 2)

 

 

 

R2h2

E2

ЕХЕ2№

 

 

v2=

 

12v2(l —viv2)

Ey

В6 с применением метода малого

параметра

Ф(а) = 2 е-'ФДа) по-

 

 

 

 

 

/=о

 

строено решение уравнения (2.1) в цилиндрических функциях комплек­ сного переменного. В замкнутом виде получено выражение для коэффи­ циента концентрации напряжений на контуре кругового отверстия с уче­ том нулевого и первого приближений. На численном примере исследо­ вано влияние ортотропии на напряженное состояние в оболочке.

Заметим, что работа6 была первой работой по концентрации напря­ жений около отверстий в ортотропных оболочках. Аналогичный подход

для оболочек вращения приведен в7.

 

 

 

В работе8 получено точное

решение уравнения (2.1) в виде:

 

Ф= С] j Iv(x)dx + C2 / я ^ 1) (x)dx + C3J*5(A:)rfx+ C4,

(2.2)

где x = ij/i'a; Сь С2, С3, С4 — постоянные интегрирования; 5(х)

— функ­

ции Ломмеля.

 

 

 

 

 

В9, исходя из уравнения ортотропных оболочек со слабовыраженноп

 

1

д2

 

j Ф = 0 и метода возмущения

анизотропией10 Д ] A +(v21)—-

од2

— Ы 2

L

г2

 

формы границы3, построено решение для оболочки с криволинейным от­ верстием, подкрепленным широким ортотропным кольцом. Для нулевого приближения функция Ф выбиралась в виде (2.2), а для последующих — в виде:

Ф =

[Anr-n+ Bnrn+ CnHnil)(гх]/ —0 + Я п/п(г%У —t)]cos nQ.

 

£71= 1

Получены численные результаты для квадратного отверстия п кольца такой же формы.

Цилиндрическая оболочка. В работах1011 построено приближенное аналитическое решение для ортотропной оболочки в классической по­

8 2 0

становке. Рассматривалось уравнение оболочек со слабовыраженной анизотропией

 

Г/ d2

Е2

д2 \

д2

1

 

1 ( ^ + я Г - ^ ) д + 8 И Ы ^ “' р) =0'

где /г2= —

i 2(1—viv2) ;

ср(а, р) = го+-^- ] /

п Ред"

ставляя функцию ср(а, р) в виде ряда по малому параметру6 е, автор нашел общее и частное решения уравнений для нулевого и первого при­ ближений. Получена следующая формула для окружного усилия на контуре неподкрепленного отверстия:

7’0= рН-(7 2 (р — cos 2Q+ nk2(q+—

— cos 20) +

Г p — q

nk2

1

+ e |

c°s 40---- — [p + q—(3g —p)cos 40] j

В12 аналогичный метод распространен на случай температурных на­ грузок.

В работах13-22 на основе классической теории исследовано распреде­ ление напряженно-деформированного состояния около кругового отвер­ стия с помощью вариационных методов, причем работа17 была первой по концентрации напряжений около отверстий в ортотропной цилиндри­ ческой оболочке. В13-16 получен ряд результатов для оболочки, нагру­ женной сжимающим усилием, а в20-22 — при кручении. В этих работах исследовано влияние ортотропии и подкрепления края отверстия на рас­ пределение напряжений. Установлено, что анизотропия существенно влияет на величину напряжений. В19 с помощью метода Бубнова—Га- леркина исследовано влияние подкрепляющей накладки в области кру­ гового отверстия, контур которого подкреплен жестким кольцом.

В работах23-26 предложен алгоритм численного решения задач для ортотропных оболочек с прямоугольными отверстиями с применением метода конечных разностей, а в27-30 получены результаты на основании вариационных методов.

В31 изучены краевые эффекты в области пересечения двух ортотроп­ ных цилиндрических оболочек постоянной толщины. Задача для двоя­ копериодической системы отверстий рассмотрена в32.

Коническая оболочка. Аналитические решения для ортотропной ко­ нической оболочки построить не удается. В работах5*33-35 при решении задач для оболочки с отверстиями применялись вариационные методы.

Исходя из разрешающей системы уравнений смешанного типа тео­ рии пологих оболочек, в5 построено вариационное уравнение

оо

 

|

J{[Li (£),-ь)ш-1-Д/1ф]бш+ [L2{Aih)q> Дьш]6ср}А£^/ч20+

7'о

0

 

 

2л

 

 

+ 1 { [ - ( О г + С ,° - т г) б ( 1 - ~ ) +

 

о

 

 

+ (Qr+ Qr0—Pv)

^ }" г=Го^® =

где операторы5 L\{Dih), L2(Aih) зависят от жесткостей, a A/t — от

821

параметра конусности оболочки. При этом искомые решения представ­ ляются в виде рядов с конечным числом аппроксимирующих функций

»=££(Wu

cos /0

_

sin' /0

b

 

 

W-i

 

 

ф= фо + ££(

cos /0

-

sin /0

\

Фи ~

Ь Фо- p

)

которые удовлетворяют условиям однозначности перемещении и зату­ хают вдали от контура отверстия35.

В5 получены результаты для ортотропной оболочки с круговым от­ верстием при растяжении осевыми усилиями и при внутреннем давле­ нии. В34 рассмотрено кручение такой же оболочки. В этих работах ис­ следовано влияние ортотропии, конусности и размеров отверстия на величины и характер напряженного состояния. Доказано, что ортотропия материала существенно влияет на картину распределения напря­ жений около отверстия в количественном и качественном отношениях.

Оболочки вращения. В работе7 предложен метод решения задач осе­ симметричной деформации йологих ортотропных оболочек вращения. При этом задача сведена к решению уравнения относительно комплек­ сной функции Ф:

(дд _ гд„)ф = _ ^ _ ^ 2 _ ( д

2

d \ л

kAZ

(2.3)

-------- ) ФН-------

 

a

da '

DT

 

Решение уравнения (2.3) построено методом последовательных приблн-

°о

жений. Функция ф находилась в виде Ф= 2 е^’Ф^Да), где в качестве

малого параметра выбрана величина е=

EQ— E,.

Исследована степень

 

Ег

 

влияния ортотропии на величину прогиба в оболочке.

В11 рассмотрен подход к решению осесимметричных задач ортотроп­ ных оболочек вращения положительной кривизны. Применен метод асимптотического интегрирования (метод эталонных уравнений) сис­ темы уравнений Новожилова, имеющих малый параметр при старшей производной.

В работах36-37 на основе классической теории ортотропных оболочек вращения исследовалось осесимметричное напряженное состояние обо­ лочек переменной толщины. Разрешающее уравнение для возмущенного напряженЦого состояния выбиралось в виде:

d2ф

1

■dm

 

Г

2vo—0,5

3

 

1

dp2

р

_JL +

L

----2

h ' -----— (/г')2------ h " -

dp

 

p/i

 

4h 2

У }

2h

V2_ J _______Ыo2

1

_ /hr_

V2—1

Ф»

Vi p2

y i + e p 2

 

/i

ph

 

 

где xo— kRE2h

*; k2= 12(1 —\’IV2I

XE2~X\ h'=~^p- Для

решения данного

уравнения применялся метод последовательных приближений, где за нулевое приближение выбиралось решение для оболочки постоянной толщины. Определено напряженное состояние (с учетом нулевого и пер­ вого приближений) на контуре подкрепленного отверстия в стеклопла­ стиковой эллипсоидальной оболочке. Исследовалось влияние парамет­ ров переменности толщины и жесткостей подкрепляющего кольца для оболочки со слабо выраженной анизотропией.

822

В38 рассмотрен подход к решению задач для оболочек вращения с учетом разномодульности материала, а в39 — с учетом осесимметрич­ ного нагрева материала.

В работе40 предложен подход к расчету ортотропных пологих оболо­ чек с периодической системой отверстий. Получены матрицы Грина для периодических задач.

3. Трансверсально-изотропные оболочки. В настоящее время доста­ точно полно исследованы вопросы о напряженном состоянии в транс­ версально изотропных оболочках. Для ряда задач здесь удалось по­ строить точные аналитические решения. Большинство из них вошло в обобщающие монографии3-4-41-42.

В работе1 впервые дана постановка задач для трансверсально-изо­ тропных оболочек с отверстиями, получена разрешающая система урав­ нений в виде:

к

ДДф —£7iAftOy = 0; ДД^ср— — Д^ср —/СДДш= AZ— — Z;

(3.1)

2К

D{ 1 -v) Х = 0,

где ф — функция напряжений; до — прогиб; %— функция сдвига.

В4-43 получены граничные условия для края отверстия, подкреплен­ ного упругим кольцом с учетом деформаций поперечных сдвигов.

Сферическая оболочка. В1-44 построено решение

системы уравнений

(3.1) для пологой оболочки в виде:

 

ф=&1+&2+ /2; w = ~j?h Дф+Ь,

(3-2)

где g1, g2 — решение уравнений Гельмгольца; fb \f2 — гармонические функции. Показано, что в зависимости от значения корней характери­ стического уравнения функции (3.2) могут иметь разный вид. С по­ мощью асимптотических представлений получены формулы для окруж­ ных усилий и моментов для неподкрепленного отверстия

pR I r e= ^ ( 2

6(j0 PR

h 2

vp

 

я —2(о

cos 4(0

\

+ 2PM n - f c o s 2ra------ —

Р2—

)

1/3(1- v 2)

я

-fo 2 l n VP

 

1 —v

Р

 

2 sin

2© L

2

 

- ( 2-

j p cos 2©+ J ,

я

которые дают возможность оценить влияние деформаций поперечных сдвигов на концентрацию напряжений. Здесь же найдены формулы для определения компонент напряженного состояния в случае подкреплен­ ных и свободных контуров отверстий.

В работах45-47 с помощью формул (3.1), (3.2) исследовано напря­ женное состояние в многослойной оболочке несимметричного строения. На примере двухслойной оболочки с круговым отверстием показано, что различие упругих характеристик слоев может дать определенную погрешность по сравнению с расчетом по приведенным постоянным для всего пакета оболочки в целом.

Исходя изприближенной системы разрешающих уравнений для по­ логих оболочек, когда во втором уравнении (3.1) пренебрегается членом

8 2 3

ДД/гф, в41-4*-48-51 получен ряд результатов для различных видов под­ крепления контура, в том числе для абсолютно жесткого кольца и под­ крепления контура частью оболочки (широким упругим кольцом).

С помощью метода возмущения формы границы3 в работах42-52' 53 получено решение ряда задач для оболочки с эллиптическим, треуголь­ ным и квадратным отверстиями. Рассмотрены подкрепленные и свобод­ ные отверстия. Решения получены с учетом двух-трех приближений для нескольких значений величины модуля поперечного сдвига.

В3-42-44 построены решения задач для оболочки с несколькими от­ верстиями. При этом получены бесконечные системы алгебраических уравнений для многосвязных областей, имеющие определители нормаль­ ного типа. На примере оболочки с Хвумя круговыми отверстиями43 ис­ следовано влияние параметров сдвига и расстояния между отверстиями на величины максимальных напряжений.

Решение для непологой сферической оболочки получено в54. При этом функции типа (3.2)' представлены .через присоединенные функции Лежандра первого и второго рода комплексного порядка. Исследовано условие однозначности перемещений.

Цилиндрическая

оболочка.

В4 система

уравнений

(3.1)

приведена

к одному комплексному уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2а

 

(3.3)

 

ДАФ- (а + ф) ДФ = (а + ф )1 Ф + —— AL 1шФ,

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

л

2Я

/

-оч

ЕН

02 12(1 —v2)

2

оператор L

где Ф= йу- ^ -

(а-ф)<р; оь =

 

Р2= -

4R2fl2-------а 2, а

имеет вид L = ^ 2 - ^ A | C O S 20 —

 

sin 20. Решение этого урав­

нения представлено в виде разложения по малому параметру, где за нулевое приближение принято решение для сферической оболочки. По­ лучены рекуррентные формулы для определения последующих прибли­ жений.

В работах41-42-55, как уже отмечалось выше, при построении реше­ ний использовалась приближенная система уравнений цилиндрических трансверсально изотропных оболочек

ААФ+ 22

д2Ф

= 0;

Д х -

2К

Х = 0-

(3.4)

R2

да2

 

 

D{ 1 -v)

 

 

Здесь первое уравнение совпадает с уравнением классической теории оболочек56, что позволило использовать известные результаты для изо­ тропных оболочек4. Задачи сведены к решению бесконечных систем алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных. Предложенная схема решения, за исключением граничных условии, совпадает со случаем изотропных оболочек.

На основании изложенного подхода в42 получены численные резуль­ таты расчетов напряженного состояния в области кругового неподкрепленного отверстия при внутреннем давлении, осевом сжатии и круче­ нии цилиндрической трансверсально изотропной оболочки. Таблицы и графики построены для нескольких значений величины модуля попереч­ ного сдвига. Для рассмотренных материалов учет деформаций сдвига не вносит существенных поправок по сравнению с результатами клас­ сической теории оболочек.

В57 рассмотрена задача для цилиндрической оболочки с периодиче­ ской системой отверстий. Задача решалась с помощью вариационного

принципа Рейснера и /^-функций с точным удовлетворением граничных условий.

8 2 4

Динамическая задача по распространению упругих волн от края кру­ гового выреза в трансверсально-изотропной оболочке исследовалась в58. При этом решение строилось в виде рядов по степеням координаты г.

4. Многослойные анизотропные оболочки с учетом деформаций меж­ слоевых сдвигов. Оболочки из композиционных материалов, как пра­ вило, представляют собой многослойные конструкции, обладающие ани­ зотропными свойствами и пониженной сдвиговой жесткостью. Как уже отмечалось выше, в настоящее время возникла необходимость в разра­ ботке уточненных прикладных теорий для расчетов многослойных обо­ лочек, позволяющих учесть и оценить влияние упомянутых факторов. Их сущность заключается во введении в модель деформирования сис­ темы дополнительных степеней свободы, позволяющих дать описание характерных деформативных свойств композитных материалов. При этом при сведении задач оболочек к двухмерным возникают дополни­ тельные неизвестные функции и порядок разрешающих уравнений со­ ответственно повышается. Кроме того, специфика задач для оболочек с отверстиями требует представления решений в системе координат, одна из линий которой совпадает с контуром. Как правило, при этом система уравнений должна быть записана в координатах, линии кото­ рых не совпадают с направлениями главных кривизн и осей анизотро­ пии. Этими трудностями объясняется тот факт, что проблема определе­ ния напряженно-деформированного состояния около вырезов в оболоч­ ках из композиционных материалов в настоящее время еще не получила достаточного развития.

Аналитические решения. В монографии3 рассмотрена задача об осе­ симметричном напряженно-деформированном состоянии непологой ортотропной сферической оболочки. При этом система разрешающих уравнений сведена к комплексному уравнению

d2U

dU

 

 

 

----------

(4.1)

--------hctg ф —----- К2ctg2 cp£—Rz((a2 + yk4 со4) U= 0,

dcp2

dф

 

 

 

 

 

12(1 —V1V2)

 

 

(D —-

3£,

Решение

уравне-

где k2 =

Х = -

 

Rh

’ "

£ 2

 

2G,3R2

 

ния (4.1) находится с помощью присоединенных функций Лежандра первого и второго рода комплексного порядка:

U=APn*{cos ф) +BQ«Mcos ф),

(4.2)

где А, В — произвольные постоянные; п — корни характеристического

уравнения п2 + п — \ 2+R2(a)2 + iy№—со4) =0. Проведено исследование уравнения (4.1) и решения (4.2) в окрестностях полюса и экватора обо­ лочки.

В случае пологой ортотропной оболочки разрешающее комплексное уравнение (4.1) приводится к виду59:

v2

с

а —v2)

(4.3)

Д1/ + Ш - — U=(a + i $ - \ )

 

,

К

а=

E2hD{

п

где и = Ф - (а + ф)ф; 1 = - { а + ф ) — ;

2^ 2"»

|32= 2 а (1 -а );

Его решение, как и в случае ортотропной оболочки без учета

поперечных сдвигов8, находится с помощью цилиндрических функции комплексного аргумента и функций Ломмеля первого и второго рода. На основании полученных решений найдены формулы для определения усилий и моментов в ортотропной оболочке. На численном примере

825

исследовано влияние сдвиговой жесткости на величину коэффициента концентрации напряжений на контуре неподкрепленного отверстия. От­ мечено, что поперечный сдвиг существенно влияет на моменты и незна­ чительно ■— на усилия в срединной поверхности.

В работах60*61, исходя из решений уравнений (4.3), исследовано влияние поперечного сдвига и жесткостей подкрепляющего кольца на напряженное состояние сферической ортотропной оболочки с круговым отверстием. Задачи решались при граничных условиях43.

Применение вариационных методов. Для неосесимметричных задач переменные в уравнениях оболочек из композиционных материалов не разделяются, и описанными выше методами найти точные решения не удается. Практическая необходимость решения таких задач с появле­ нием большого числа тонкостенных конструкций из композиционных материалов потребовала разработки и применения эффективных при­ ближенных методов, пригодных для ЭВМ.

Разрешающая система уравнений статики ортотропных оболочек относительно перемещений ир, U Q , W и функций поперечных сдвигов ур, уе в полярной системе координат (р, 0) с началом в центре отверстия за­ писывается в виде4-62:

1г1(ир)+1г2(ив)+Ьг3((о)+Ьг4(ур)+1гЦув)=0 (£= 1,2, 3,4,5), (4.4)

где операторы Lp зависят от обобщенных жесткостей анизотропных ма­ териалов оболочки при растяжении, изгибе и сдвиге, а также от кри­ визны вдоль координатных линий р, 0.

Решения уравнений (4.4) должны удовлетворять условиям затуха­ ния возмущенного напряженного состояния в оболочке вдали от отвер­ стия и граничным условиям43 с учетом основного напряженного состоя­ ния на контуре отверстия:

А (0 (Ит, и8, со, ут, у8) |р_ро= / (0 (*=1,2, 3, 4, 5).

(4.5)

I

Из соотношений (4.4), (4.5) составим функцию приращения упру­ гой энергии деформации оболочки

5 5 5

 

 

LpVj6vjpdpdQ+ | р ^

(vi)6v{ |°° dQ

г= 1

j = l

г= 1

|Ро

 

 

 

(4.6)

(Vl =

Uр,

V 2 = UQ, и3= ш , и4= ур, ^5 = Уе),

где интегрирование в первом слагаемом выполняется по всей области оболочки вне отверстия, а во втором — по контуру отверстая. В41 выра­ жение (4.6) получено исходя из общих вариационных принципов теории упругости.

Вариационный путь решения задачи заключается в представлении обобщенных перемещений и* в виде конечных сумм по заранее выбранной

N

nvin (i=>1,2, 3,4,5)

системе аппроксимирующих функций Vi = v0+ 2 Av

л=i

1

и в определении постоянных A v.n из условий стационарности выражения

(4.6). При этом варьирование в (4.6) выполняется по произвольным постоянным А „ 11.

Если в качестве граничных условий на контуре отверстия заданы об­ общенные перемещения, а аппроксимирующие функции, удовлетворяю­ щие им, ортогональны, построенный вариационный принцип совпадает с известным принципом Бубнова—Галеркина63.

8 2 6

При решении широкого класса задач для анизотропных оболочек

сотверстиями использовались функции в виде4-62-67:

рs

иP= POX J X J Auni ( — У cos /гО;

n = 0 i = 1

рs

ив= Р о ^

Avnt (

) s i n п 0 ;

71— \

t = 1

(4.7)

 

 

рS

w =ро

 

cos /20;

 

 

71—0 t =1

 

 

 

 

7 1 = 0 / = 1

/+1

p

Я

•"(■?■Г

 

7 1 = 1

/ = 1

s i n / 2 0.

 

cos /20;

Ve= I],

 

Л

 

 

 

 

Из граничных условий

(4.5) и условия стационарности упругой энергии

деформации оболочки (4.6) приходим к системе алгебраических урав­ нений для нахождения произвольных постоянных Aint (4.7):

 

 

5

S

7 7 + 2

 

 

 

 

 

 

X l

H i

Y l AimtaHmt = fi{n)’

 

 

 

 

7 = 1

t= 1 771=71—2

 

 

 

(4.8)

 

5

S

7 7 + 2

 

7 7 + 2

 

 

 

 

 

X

i (

l j

 

AimtbiiJ l ^ + X

i A i m C i j X m

)

= 0

7 = 1

/= 1 777 = 77—2

777 =

77—2

 

 

(/=1,2,

., 5; A= 1, 2,

.,5;

/2= 0,1,.

,p),

где Ain< = Aun‘, А2П‘ = А Л

A3nt = Awnt, Л4П‘ = ЛФ"^, Л5П'= Л Ф7,,>At-n — мно­

жители Лагранжа.

системы уравнений

(4.8) зависят

от

геометрических

Коэффициенты

и упругих постоянных многослойных оболочек.

Порядок системы алгеб­

раических уравнений определяется

формулой

N= (s + 1) (5р + 3), где

s, р — число членов в рядах (4.7).

уравнений

(4.8) для произвольного

В4 приведены матрицы системы

числа членов в функциях (4.7) в случае ортотропной цилиндрической оболочки с учетом деформаций межслоевых сдвигов. Численные рас­ четы проводились с помощью ЭВМ с удержанием в рядах (4.7) до де­ вяти членов. При этом решалась система алгебраических уравнений до

54-го порядка.

В62,67 исследовалась точность решения задач при разном числе коор­ динатных функций. Численные результаты для цилиндрических ортотропных оболочек с учетом межслоевых сдвигов получены в49-63-66. Ис­ следовалось влияние анизотропии, межслоевого сдвига, жесткостей под­ крепляющих колец, геометрических параметров и вида нагрузки на величины компонентов напряженного состояния в оболочке.

В работе62 в данной постановке решены задачи для ортотропных многослойных оболочек вращения, а также сферической и цилиндри­ ческой оболочек, имеющих в области отверстий переменную толщину.

Периодические

задачи

для цилиндрической ортотропной

оболочки

с рядом отверстий

вдоль

образующей также вариационным

методом

решались в67-68. Аппроксимирующие функции выбирались в виде рядов по полиномам Лежандра. Для определения границ периодических эле­ ментов, на которые разбивалась область оболочки, использовались ^-функции, позволяющие точно удовлетворять граничным условиям.

8 2 7

Получены численные результаты для таких оболочек в случае центро­ бежных сил.

В работе69 на основе метода конечных разностей изучалось влияние вязкоупругих свойств материала, а в70 — влияние двухслойности на напряженное состояние в оболочках с вырезами.

5. Трехслойные оболочки. В современной технике нередко применя­ ются оболочки из композитных материалов трехслойного строения. При значительном различии прочностных характеристик несущих слоев и заполнителя расчеты таких конструкций с применением классической, а также сдвиговой гипотез для всего пакета оболочки в целом могут привести к существенным погрешностям.

Рассмотрим работы, относящиеся к вопросам расчетов трехслойных оболочек с отверстиями.

Если материалы всех слоев ортотропные, оболочку можно рассмат­ ривать как конструктивно ортотропную с некоторыми приведенными упругими характеристиками. В3 приведена схема решения задач для таких оболочек с применением теории типа Тимошенко для всего па­ кета. В этом случае могут быть использованы подходы, применяющиеся для многослойных оболочек. Отличие будет лишь в формулах для вы­ числения приведенных жесткостей и для напряжений в слоях.

В работе71 предложен подход к решению задач для оболочки с транс­ версально изотропными слоями при жестком заполнителе. При этом разрешающая система уравнений относительно функций напряжений F, прогибов w и сдвигов ф, ф получена в виде:

/ D -Во

\ /l2

.

Bo/ll/l2

ДДш—

2/12+ /11

\ В + 1 "

/ ' ^

Аф_ф = '

48Go

 

Дш;

 

4Go

 

 

 

 

 

Г В

Boh,2

] Дф+ ( 2 0 -

B(}h\h2

j

ДДш —AhF= Я',

[ — (2/i2+ /ij) +•

24

 

6

J “ т

' \

 

 

 

(5.1)

 

ДДF + (1 — V2) (£ + £ 0)Д*ш = 0;

 

 

 

 

 

24G0

 

 

 

 

 

Дф—: (1 —v) /12(3В + BQ) ф= 0,

 

 

Eh\

 

Еп1г

 

 

 

 

 

где обозначено В =

 

В0 =

0п2

G0

— модуль сдвига заполнителя.

1 — 'V2 ’

1 —V2

Общий порядок уравнений

(5.1) равен 12. На контуре отверстия должны

быть заданы шесть граничных условий для

функций F, w, ф, ф:

L^)(F, ш,ф, ф) |оо = /0(б(s)

(t= 1, 2, ..., 6). При В0 = 0 из (5.1) получаем

уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем.

В 3 - 72-75 построены решения

уравнений (5.1)

для сферической обо­

лочки:

 

 

 

F & 1+£2 + £ з + /2 + Е°;

W = — — -------г ^ “

R .— ДЕ + fi,

 

 

(1 -v 2) {В+ Во)

где F0— частное решение; f\,f2— гармонические функции; gi — решения уравнений Гельмгольца. В3 приведены различные варианты этих реше­ ний в зависимости от значений корней характеристического уравнения.

Рассмотрены задачи для многосвязных областей и связанные с ними вопросы сведения к бесконечным системам алгебраических уравнении,

атакже исследования сходимости и единственности их решений.

Вработе76 исследовано напряженное состояние сферической обо­ лочки с жестким заполнителем, ослабленной круговым неподкрепленным отверстием. Изучено влияние изменения модулей упругости несу­ щих слоев и заполнителя. Случай легкого заполнителя для такой задачи рассмотрен в71-77, а для подкрепленного отверстия — в78. В этих рабо­

8 2 8