книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 5
.pdfМЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, М 5, с. 819—834
УДК 624.071.4 + 539.411:678,5.06
Л. Н. Гузь, К. И. Шнеренко
ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ОСЛАБЛЕННЫЕ ОТВЕРСТИЯМИ
1. За последние 10—15 лет в области механики тонких оболочек опубликовано свыше 100 работ, в основном отечественных авторов, по священных вопросам распределения напряжений около отверстий в обо лочках из композитных материалов. Научные достижения в этой области являются ответом на задачи, возникшие в практике в связи с широким применением в технике армированных пластмасс. При проектировании и в процессе эксплуатации элементов таких конструкций важное значе ние имеют вопросы исследования влияния на напряженное состояние характерных деформативных свойств материалов — анизотропии, подат ливости на сдвиг и слоистой структуры. В задачах о концентрации на пряжений около вырезов, где существенную роль в напряженном со стоянии играет локальный изгиб и высокие градиенты деформаций, эти особенности материалов, несомненно, должны быть учтены1.
Для решения таких задач необходимо привлекать уточненные двух мерные теории, поскольку классическая гипотеза Кирхгофа—Лява не учитывает деформации поперечных сдвигов. С другой стороны, решение задач в уточненной постановке позволяет определить границы примени мости классической теории, необходимые при разработке рекомендаций для инженерных методов расчетов элементов тонкостенных конструкций.
Для построения уточненных прикладных теорий многослойных ани зотропных оболочек используются следующие предположения: 1) нор мальный элемент, перпендикулярный недеформнрованной срединной по верхности, в процессе деформации поворачивается на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины; 2) напряжения азз, действу ющие на площадках с нормалью, направленной по координатной ли нии у, малы по сравнению с другими. Эта модель, заимствованная из работы Тимошенко2, построена им применительно к поперечным коле баниям стержней и балок.
Следуя принятым допущениям, смещения по толщине оболочки можно представить в виде:
W = w ( a , р); t/i = Hf (a, Р ) - 6 y 0 t ( a , р ) + M v ) Y i ( a . Р) (1’ =!а >Р)*
где иа, ир, w — перемещения срединной поверхности; уа, ур — функции
|
|
|
1 |
dw |
ua |
сдвига; fa(у), fp(y) — некоторые заданные функции;0а = — • |
|
|
|||
n 1 dw |
мр |
„ |
t , \ |
* |
можно |
0р= — ------------- — |
При разных значениях |
величин /Ду) |
и о |
Вdp R р
получить различные теории. В частности, при 6 = 1, /а(у) =/р(у) =0 получаем классическую гипотезу Кирхгофа—Лява; при 6 = 0, fa(y) = ='/р(у) =у — кинематическую гипотезу Тимошенко.
Материалы оболочек типа стеклопластиков, металлопластиков, орга нопластиков в рассматриваемых исследованиях предполагаются одно родными ортотропными или трансверсально-изотропными с понижен ными сдвиговыми модулями. Армированные композиты, в том числе
52* |
8 1 9 |
полученные намоткой, считаются линейно-упругими, однородными с неко торыми приведенными характеристиками, которые определяются экс периментальными или известными теоретическими методами. Деформа ции межслоевых сдвигов, за исключением трехслойных, учитываются для всего пакета оболочки в целом3-4.
2. Ортотропные оболочки без учета деформаций сдвига. Для много слойных оболочек, изготовленных из материалов с высоким модулем сдвига, при расчетах может быть использована классическая теория оболочек, позволяющая учитывать анизотропию свойств, но не учиты вающая поперечных сдвигов. В этом случае напряженно-деформирован ное состояние в области отверстий описывается уравнениями и соотно шениями, приведенными в монографиях3-5. Рассмотрим некоторые ре зультаты, полученные в данной постановке в основном в первом периоде развития теорий композитных оболочек.
Сферическая оболочка. Система разрешающих уравнений осесиммет ричных задач для оболочек с цилиндрической ортотропией приводится к виду6:
A(A-0<D=(V2- 1 ) - L ( A - |
- |
~ |
) ф. |
(2.1) |
||
где |
сг |
' |
а |
а а ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = kа ; Ф = ш - И ' т р ; |
12(1 -v ,v 2) |
|
|
|
R2h2 |
E2 |
ЕХЕ2№ |
’ |
|
|
v2= |
||
|
12v2(l —viv2) |
Ey |
||||
В6 с применением метода малого |
параметра |
Ф(а) = 2 е-'ФДа) по- |
||||
|
|
|
|
|
/=о |
|
строено решение уравнения (2.1) в цилиндрических функциях комплек сного переменного. В замкнутом виде получено выражение для коэффи циента концентрации напряжений на контуре кругового отверстия с уче том нулевого и первого приближений. На численном примере исследо вано влияние ортотропии на напряженное состояние в оболочке.
Заметим, что работа6 была первой работой по концентрации напря жений около отверстий в ортотропных оболочках. Аналогичный подход
для оболочек вращения приведен в7. |
|
|
|
||
В работе8 получено точное |
решение уравнения (2.1) в виде: |
|
|||
Ф= С] j Iv(x)dx + C2 / я ^ 1) (x)dx + C3J*5(A:)rfx+ C4, |
(2.2) |
||||
где x = ij/i'a; Сь С2, С3, С4 — постоянные интегрирования; 5(х) |
— функ |
||||
ции Ломмеля. |
|
|
|
|
|
В9, исходя из уравнения ортотропных оболочек со слабовыраженноп |
|||||
|
1 |
д2 |
|
j Ф = 0 и метода возмущения |
|
анизотропией10 Д ] A +(v2—1)—- |
од2 |
— Ы 2 |
|||
L |
г2 |
|
формы границы3, построено решение для оболочки с криволинейным от верстием, подкрепленным широким ортотропным кольцом. Для нулевого приближения функция Ф выбиралась в виде (2.2), а для последующих — в виде:
Ф = |
[Anr-n+ Bnrn+ CnHnil)(гх]/ —0 + Я п/п(г%У —t)]cos nQ. |
|
£71= 1 |
Получены численные результаты для квадратного отверстия п кольца такой же формы.
Цилиндрическая оболочка. В работах1011 построено приближенное аналитическое решение для ортотропной оболочки в классической по
8 2 0
становке. Рассматривалось уравнение оболочек со слабовыраженной анизотропией
|
Г/ d2 |
Е2 |
д2 \ |
д2 |
1 |
|
1 ( ^ + я Г - ^ ) д + 8 И Ы ^ “' р) =0' |
||||
где /г2= — |
i 2(1—viv2) ; |
ср(а, р) = го+-^- ] / |
п Ред" |
ставляя функцию ср(а, р) в виде ряда по малому параметру6 е, автор нашел общее и частное решения уравнений для нулевого и первого при ближений. Получена следующая формула для окружного усилия на контуре неподкрепленного отверстия:
7’0= рН-(7 —2 (р — cos 2Q+ nk2(q+— |
— cos 20) + |
|
Г p — q |
nk2 |
1 |
+ e | |
c°s 40---- — [p + q—(3g —p)cos 40] j |
В12 аналогичный метод распространен на случай температурных на грузок.
В работах13-22 на основе классической теории исследовано распреде ление напряженно-деформированного состояния около кругового отвер стия с помощью вариационных методов, причем работа17 была первой по концентрации напряжений около отверстий в ортотропной цилиндри ческой оболочке. В13-16 получен ряд результатов для оболочки, нагру женной сжимающим усилием, а в20-22 — при кручении. В этих работах исследовано влияние ортотропии и подкрепления края отверстия на рас пределение напряжений. Установлено, что анизотропия существенно влияет на величину напряжений. В19 с помощью метода Бубнова—Га- леркина исследовано влияние подкрепляющей накладки в области кру гового отверстия, контур которого подкреплен жестким кольцом.
В работах23-26 предложен алгоритм численного решения задач для ортотропных оболочек с прямоугольными отверстиями с применением метода конечных разностей, а в27-30 получены результаты на основании вариационных методов.
В31 изучены краевые эффекты в области пересечения двух ортотроп ных цилиндрических оболочек постоянной толщины. Задача для двоя копериодической системы отверстий рассмотрена в32.
Коническая оболочка. Аналитические решения для ортотропной ко нической оболочки построить не удается. В работах5*33-35 при решении задач для оболочки с отверстиями применялись вариационные методы.
Исходя из разрешающей системы уравнений смешанного типа тео рии пологих оболочек, в5 построено вариационное уравнение
оо |
2л |
|
| |
J{[Li (£),-ь)ш-1-Д/1ф]бш+ [L2{Aih)q> —Дьш]6ср}А£^/ч20+ |
|
7'о |
0 |
|
|
2л |
|
|
+ 1 { [ - ( О г + С ,° - т г) б ( 1 - ~ ) + |
|
|
о |
|
|
+ (Qr+ Qr0—Pv) |
^ }" г=Го^® = |
где операторы5 L\{Dih), L2(Aih) зависят от жесткостей, a A/t — от
821
параметра конусности оболочки. При этом искомые решения представ ляются в виде рядов с конечным числом аппроксимирующих функций
»=££(Wu |
cos /0 |
_ |
sin' /0 |
b |
|
|
W-i |
|
|
ф= фо + ££( |
cos /0 |
- |
sin /0 |
\ |
Фи ~ |
Ь Фо- p |
) |
которые удовлетворяют условиям однозначности перемещении и зату хают вдали от контура отверстия35.
В5 получены результаты для ортотропной оболочки с круговым от верстием при растяжении осевыми усилиями и при внутреннем давле нии. В34 рассмотрено кручение такой же оболочки. В этих работах ис следовано влияние ортотропии, конусности и размеров отверстия на величины и характер напряженного состояния. Доказано, что ортотропия материала существенно влияет на картину распределения напря жений около отверстия в количественном и качественном отношениях.
Оболочки вращения. В работе7 предложен метод решения задач осе симметричной деформации йологих ортотропных оболочек вращения. При этом задача сведена к решению уравнения относительно комплек сной функции Ф:
(дд _ гд„)ф = _ ^ _ ^ 2 _ ( д |
2 |
d \ л |
kAZ |
(2.3) |
-------- ) ФН------- |
||||
|
a |
da ' |
DT |
|
Решение уравнения (2.3) построено методом последовательных приблн-
°о
жений. Функция ф находилась в виде Ф= 2 е^’Ф^Да), где в качестве
малого параметра выбрана величина е= |
EQ— E,. |
Исследована степень |
|
Ег |
|
влияния ортотропии на величину прогиба в оболочке.
В11 рассмотрен подход к решению осесимметричных задач ортотроп ных оболочек вращения положительной кривизны. Применен метод асимптотического интегрирования (метод эталонных уравнений) сис темы уравнений Новожилова, имеющих малый параметр при старшей производной.
В работах36-37 на основе классической теории ортотропных оболочек вращения исследовалось осесимметричное напряженное состояние обо лочек переменной толщины. Разрешающее уравнение для возмущенного напряженЦого состояния выбиралось в виде:
d2ф |
1 |
■dm |
|
Г |
2vo—0,5 |
3 |
|
1 |
|
dp2 |
р |
_JL + |
L |
----2 |
’ |
■h ' -----— (/г')2------ h " - |
|||
dp |
|
p/i |
|
4h 2 |
У } |
2h |
|||
V2_ J _______Ыo2 |
1 |
_ /hr_ |
V2—1 |
Ф» |
|||||
Vi p2 |
y i + e p 2 |
|
/i |
ph |
|||||
|
|
||||||||
где xo— kRE2h |
*; k2= 12(1 —\’IV2)£ I |
XE2~X\ h'=~^p- Для |
решения данного |
уравнения применялся метод последовательных приближений, где за нулевое приближение выбиралось решение для оболочки постоянной толщины. Определено напряженное состояние (с учетом нулевого и пер вого приближений) на контуре подкрепленного отверстия в стеклопла стиковой эллипсоидальной оболочке. Исследовалось влияние парамет ров переменности толщины и жесткостей подкрепляющего кольца для оболочки со слабо выраженной анизотропией.
822
В38 рассмотрен подход к решению задач для оболочек вращения с учетом разномодульности материала, а в39 — с учетом осесимметрич ного нагрева материала.
В работе40 предложен подход к расчету ортотропных пологих оболо чек с периодической системой отверстий. Получены матрицы Грина для периодических задач.
3. Трансверсально-изотропные оболочки. В настоящее время доста точно полно исследованы вопросы о напряженном состоянии в транс версально изотропных оболочках. Для ряда задач здесь удалось по строить точные аналитические решения. Большинство из них вошло в обобщающие монографии3-4-41-42.
В работе1 впервые дана постановка задач для трансверсально-изо тропных оболочек с отверстиями, получена разрешающая система урав нений в виде:
к
ДДф —£7iAftOy = 0; ДД^ср— — Д^ср —/СДДш= AZ— — Z;
(3.1)
2К
D{ 1 -v) Х = 0,
где ф — функция напряжений; до — прогиб; %— функция сдвига.
В4-43 получены граничные условия для края отверстия, подкреплен ного упругим кольцом с учетом деформаций поперечных сдвигов.
Сферическая оболочка. В1-44 построено решение |
системы уравнений |
(3.1) для пологой оболочки в виде: |
|
ф=&1+&2+ /2; w = ~j?h Дф+Ь, |
(3-2) |
где g1, g2 — решение уравнений Гельмгольца; fb \f2 — гармонические функции. Показано, что в зависимости от значения корней характери стического уравнения функции (3.2) могут иметь разный вид. С по мощью асимптотических представлений получены формулы для окруж ных усилий и моментов для неподкрепленного отверстия
pR I r e= ^ ( 2
6(j0 PR
h 2
vp |
|
я —2(о |
cos 4(0 |
\ |
+ 2PM n - f c o s 2ra------ — |
Р2— |
) |
||
1/3(1- v 2) |
я |
-fo 2 l n VP |
|
|
1 —v |
Р |
|
||
2 sin |
2© L |
2 |
|
- ( 2- |
4© |
j p cos 2©+ J , |
я |
которые дают возможность оценить влияние деформаций поперечных сдвигов на концентрацию напряжений. Здесь же найдены формулы для определения компонент напряженного состояния в случае подкреплен ных и свободных контуров отверстий.
В работах45-47 с помощью формул (3.1), (3.2) исследовано напря женное состояние в многослойной оболочке несимметричного строения. На примере двухслойной оболочки с круговым отверстием показано, что различие упругих характеристик слоев может дать определенную погрешность по сравнению с расчетом по приведенным постоянным для всего пакета оболочки в целом.
Исходя изприближенной системы разрешающих уравнений для по логих оболочек, когда во втором уравнении (3.1) пренебрегается членом
8 2 3
ДД/гф, в41-4*-48-51 получен ряд результатов для различных видов под крепления контура, в том числе для абсолютно жесткого кольца и под крепления контура частью оболочки (широким упругим кольцом).
С помощью метода возмущения формы границы3 в работах42-52' 53 получено решение ряда задач для оболочки с эллиптическим, треуголь ным и квадратным отверстиями. Рассмотрены подкрепленные и свобод ные отверстия. Решения получены с учетом двух-трех приближений для нескольких значений величины модуля поперечного сдвига.
В3-42-44 построены решения задач для оболочки с несколькими от верстиями. При этом получены бесконечные системы алгебраических уравнений для многосвязных областей, имеющие определители нормаль ного типа. На примере оболочки с Хвумя круговыми отверстиями43 ис следовано влияние параметров сдвига и расстояния между отверстиями на величины максимальных напряжений.
Решение для непологой сферической оболочки получено в54. При этом функции типа (3.2)' представлены .через присоединенные функции Лежандра первого и второго рода комплексного порядка. Исследовано условие однозначности перемещений.
Цилиндрическая |
оболочка. |
В4 система |
уравнений |
(3.1) |
приведена |
|||
к одному комплексному уравнению |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2а |
|
(3.3) |
|
ДАФ- (а + ф) ДФ = (а + ф )1 Ф + —— AL 1шФ, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
л |
2Я |
/ |
-оч |
ЕН |
02 12(1 —v2) |
2 |
оператор L |
|
где Ф= йу- ^ - |
(а-ф)<р; оь = |
|
Р2= - |
4R2fl2-------а 2, а |
||||
имеет вид L = ^ 2 - ^ —A | C O S 20 — |
|
sin 20. Решение этого урав |
нения представлено в виде разложения по малому параметру, где за нулевое приближение принято решение для сферической оболочки. По лучены рекуррентные формулы для определения последующих прибли жений.
В работах41-42-55, как уже отмечалось выше, при построении реше ний использовалась приближенная система уравнений цилиндрических трансверсально изотропных оболочек
ААФ+ 2/х2 |
д2Ф |
= 0; |
Д х - |
2К |
Х = 0- |
(3.4) |
R2 |
да2 |
|
|
D{ 1 -v) |
|
|
Здесь первое уравнение совпадает с уравнением классической теории оболочек56, что позволило использовать известные результаты для изо тропных оболочек4. Задачи сведены к решению бесконечных систем алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных. Предложенная схема решения, за исключением граничных условии, совпадает со случаем изотропных оболочек.
На основании изложенного подхода в42 получены численные резуль таты расчетов напряженного состояния в области кругового неподкрепленного отверстия при внутреннем давлении, осевом сжатии и круче нии цилиндрической трансверсально изотропной оболочки. Таблицы и графики построены для нескольких значений величины модуля попереч ного сдвига. Для рассмотренных материалов учет деформаций сдвига не вносит существенных поправок по сравнению с результатами клас сической теории оболочек.
В57 рассмотрена задача для цилиндрической оболочки с периодиче ской системой отверстий. Задача решалась с помощью вариационного
принципа Рейснера и /^-функций с точным удовлетворением граничных условий.
8 2 4
Динамическая задача по распространению упругих волн от края кру гового выреза в трансверсально-изотропной оболочке исследовалась в58. При этом решение строилось в виде рядов по степеням координаты г.
4. Многослойные анизотропные оболочки с учетом деформаций меж слоевых сдвигов. Оболочки из композиционных материалов, как пра вило, представляют собой многослойные конструкции, обладающие ани зотропными свойствами и пониженной сдвиговой жесткостью. Как уже отмечалось выше, в настоящее время возникла необходимость в разра ботке уточненных прикладных теорий для расчетов многослойных обо лочек, позволяющих учесть и оценить влияние упомянутых факторов. Их сущность заключается во введении в модель деформирования сис темы дополнительных степеней свободы, позволяющих дать описание характерных деформативных свойств композитных материалов. При этом при сведении задач оболочек к двухмерным возникают дополни тельные неизвестные функции и порядок разрешающих уравнений со ответственно повышается. Кроме того, специфика задач для оболочек с отверстиями требует представления решений в системе координат, одна из линий которой совпадает с контуром. Как правило, при этом система уравнений должна быть записана в координатах, линии кото рых не совпадают с направлениями главных кривизн и осей анизотро пии. Этими трудностями объясняется тот факт, что проблема определе ния напряженно-деформированного состояния около вырезов в оболоч ках из композиционных материалов в настоящее время еще не получила достаточного развития.
Аналитические решения. В монографии3 рассмотрена задача об осе симметричном напряженно-деформированном состоянии непологой ортотропной сферической оболочки. При этом система разрешающих уравнений сведена к комплексному уравнению
d2U |
dU |
|
|
|
---------- |
(4.1) |
--------hctg ф —----- К2ctg2 cp£—Rz((a2 + yk4 —со4) U= 0, |
||||||
dcp2 |
dф |
|
|
|
|
|
12(1 —V1V2) |
|
|
(D —- |
3£, |
Решение |
уравне- |
где k2 = |
Х = - |
|
||||
Rh |
’ " |
£ 2 |
|
2G,3R2 |
|
ния (4.1) находится с помощью присоединенных функций Лежандра первого и второго рода комплексного порядка:
U=APn*{cos ф) +BQ«Mcos ф), |
(4.2) |
где А, В — произвольные постоянные; п — корни характеристического
уравнения п2 + п — \ 2+R2(a)2 + iy№—со4) =0. Проведено исследование уравнения (4.1) и решения (4.2) в окрестностях полюса и экватора обо лочки.
В случае пологой ортотропной оболочки разрешающее комплексное уравнение (4.1) приводится к виду59:
v2 |
с |
а —v2) |
(4.3) |
Д1/ + Ш - — U=(a + i $ - \ ) |
|
, |
|
К |
а= |
E2hD{ |
п |
где и = Ф - (а + ф)ф; 1 = - { а + ф ) — ; |
2^ 2"» |
|32= 2 а (1 -а ); |
Его решение, как и в случае ортотропной оболочки без учета
поперечных сдвигов8, находится с помощью цилиндрических функции комплексного аргумента и функций Ломмеля первого и второго рода. На основании полученных решений найдены формулы для определения усилий и моментов в ортотропной оболочке. На численном примере
825
исследовано влияние сдвиговой жесткости на величину коэффициента концентрации напряжений на контуре неподкрепленного отверстия. От мечено, что поперечный сдвиг существенно влияет на моменты и незна чительно ■— на усилия в срединной поверхности.
В работах60*61, исходя из решений уравнений (4.3), исследовано влияние поперечного сдвига и жесткостей подкрепляющего кольца на напряженное состояние сферической ортотропной оболочки с круговым отверстием. Задачи решались при граничных условиях43.
Применение вариационных методов. Для неосесимметричных задач переменные в уравнениях оболочек из композиционных материалов не разделяются, и описанными выше методами найти точные решения не удается. Практическая необходимость решения таких задач с появле нием большого числа тонкостенных конструкций из композиционных материалов потребовала разработки и применения эффективных при ближенных методов, пригодных для ЭВМ.
Разрешающая система уравнений статики ортотропных оболочек относительно перемещений ир, U Q , W и функций поперечных сдвигов ур, уе в полярной системе координат (р, 0) с началом в центре отверстия за писывается в виде4-62:
1г1(ир)+1г2(ив)+Ьг3((о)+Ьг4(ур)+1гЦув)=0 (£= 1,2, 3,4,5), (4.4)
где операторы Lp зависят от обобщенных жесткостей анизотропных ма териалов оболочки при растяжении, изгибе и сдвиге, а также от кри визны вдоль координатных линий р, 0.
Решения уравнений (4.4) должны удовлетворять условиям затуха ния возмущенного напряженного состояния в оболочке вдали от отвер стия и граничным условиям43 с учетом основного напряженного состоя ния на контуре отверстия:
А (0 (Ит, и8, со, ут, у8) |р_ро= / (0 (*=1,2, 3, 4, 5). |
(4.5) |
I
Из соотношений (4.4), (4.5) составим функцию приращения упру гой энергии деформации оболочки
5 5 5
|
|
LpVj6vjpdpdQ+ | р ^ |
(vi)6v{ |°° dQ |
г= 1 |
j = l |
г= 1 |
|Ро |
|
|
|
(4.6) |
(Vl = |
Uр, |
V 2 = UQ, и3= ш , и4= ур, ^5 = Уе), |
где интегрирование в первом слагаемом выполняется по всей области оболочки вне отверстия, а во втором — по контуру отверстая. В41 выра жение (4.6) получено исходя из общих вариационных принципов теории упругости.
Вариационный путь решения задачи заключается в представлении обобщенных перемещений и* в виде конечных сумм по заранее выбранной
N |
nvin (i=>1,2, 3,4,5) |
системе аппроксимирующих функций Vi = v0+ 2 Av |
|
л=i |
1 |
и в определении постоянных A v.n из условий стационарности выражения
(4.6). При этом варьирование в (4.6) выполняется по произвольным постоянным А „ 11.
Если в качестве граничных условий на контуре отверстия заданы об общенные перемещения, а аппроксимирующие функции, удовлетворяю щие им, ортогональны, построенный вариационный принцип совпадает с известным принципом Бубнова—Галеркина63.
8 2 6
При решении широкого класса задач для анизотропных оболочек
сотверстиями использовались функции в виде4-62-67:
рs
иP= POX J X J Auni ( — У cos /гО;
n = 0 i = 1
рs
ив= Р о ^ |
Avnt ( |
) s i n п 0 ; |
71— \ |
t = 1 |
(4.7) |
|
|
рS
w =ро |
|
cos /20; |
|
||
|
71—0 t =1 |
|
|
|
|
7 1 = 0 / = 1 |
/+1 |
p |
Я |
•"(■?■Г |
|
7 1 = 1 |
/ = 1 |
s i n / 2 0. |
|||
|
cos /20; |
Ve= I], |
|
Л |
|
|
|
|
|
||
Из граничных условий |
(4.5) и условия стационарности упругой энергии |
деформации оболочки (4.6) приходим к системе алгебраических урав нений для нахождения произвольных постоянных Aint (4.7):
|
|
5 |
S |
7 7 + 2 |
|
|
|
|
|
|
X l |
H i |
Y l AimtaHmt = fi{n)’ |
|
|
||
|
|
7 = 1 |
t= 1 771=71—2 |
|
|
|
(4.8) |
|
|
5 |
S |
7 7 + 2 |
|
7 7 + 2 |
|
||
|
|
|
|
|||||
X |
i ( |
l j |
|
AimtbiiJ l ^ + X |
i A i m C i j X m |
) |
= 0 |
|
7 = 1 |
/= 1 777 = 77—2 |
777 = |
77—2 |
|
|
|||
(/=1,2, |
., 5; A= 1, 2, |
.,5; |
/2= 0,1,. |
,p), |
||||
где Ain< = Aun‘, А2П‘ = А Л |
A3nt = Awnt, Л4П‘ = ЛФ"^, Л5П'= Л Ф7,,>At-n — мно |
|||||||
жители Лагранжа. |
системы уравнений |
(4.8) зависят |
от |
геометрических |
||||
Коэффициенты |
и упругих постоянных многослойных оболочек. |
Порядок системы алгеб |
|
раических уравнений определяется |
формулой |
N= (s + 1) (5р + 3), где |
s, р — число членов в рядах (4.7). |
уравнений |
(4.8) для произвольного |
В4 приведены матрицы системы |
числа членов в функциях (4.7) в случае ортотропной цилиндрической оболочки с учетом деформаций межслоевых сдвигов. Численные рас четы проводились с помощью ЭВМ с удержанием в рядах (4.7) до де вяти членов. При этом решалась система алгебраических уравнений до
54-го порядка.
В62,67 исследовалась точность решения задач при разном числе коор динатных функций. Численные результаты для цилиндрических ортотропных оболочек с учетом межслоевых сдвигов получены в49-63-66. Ис следовалось влияние анизотропии, межслоевого сдвига, жесткостей под крепляющих колец, геометрических параметров и вида нагрузки на величины компонентов напряженного состояния в оболочке.
В работе62 в данной постановке решены задачи для ортотропных многослойных оболочек вращения, а также сферической и цилиндри ческой оболочек, имеющих в области отверстий переменную толщину.
Периодические |
задачи |
для цилиндрической ортотропной |
оболочки |
с рядом отверстий |
вдоль |
образующей также вариационным |
методом |
решались в67-68. Аппроксимирующие функции выбирались в виде рядов по полиномам Лежандра. Для определения границ периодических эле ментов, на которые разбивалась область оболочки, использовались ^-функции, позволяющие точно удовлетворять граничным условиям.
8 2 7
Получены численные результаты для таких оболочек в случае центро бежных сил.
В работе69 на основе метода конечных разностей изучалось влияние вязкоупругих свойств материала, а в70 — влияние двухслойности на напряженное состояние в оболочках с вырезами.
5. Трехслойные оболочки. В современной технике нередко применя ются оболочки из композитных материалов трехслойного строения. При значительном различии прочностных характеристик несущих слоев и заполнителя расчеты таких конструкций с применением классической, а также сдвиговой гипотез для всего пакета оболочки в целом могут привести к существенным погрешностям.
Рассмотрим работы, относящиеся к вопросам расчетов трехслойных оболочек с отверстиями.
Если материалы всех слоев ортотропные, оболочку можно рассмат ривать как конструктивно ортотропную с некоторыми приведенными упругими характеристиками. В3 приведена схема решения задач для таких оболочек с применением теории типа Тимошенко для всего па кета. В этом случае могут быть использованы подходы, применяющиеся для многослойных оболочек. Отличие будет лишь в формулах для вы числения приведенных жесткостей и для напряжений в слоях.
В работе71 предложен подход к решению задач для оболочки с транс версально изотропными слоями при жестком заполнителе. При этом разрешающая система уравнений относительно функций напряжений F, прогибов w и сдвигов ф, ф получена в виде:
/ D -Во |
\ /l2 |
. |
Bo/ll/l2 |
ДДш— |
2/12+ /11 |
|||
\ В + 1 " |
/ ' ^ |
Аф_ф = ' |
48Go |
|
Дш; |
|||
|
4Go |
|
|
|
|
|
||
Г В |
Boh,2 |
] Дф+ ( 2 0 - |
B(}h\h2 |
j |
ДДш —AhF= —Я', |
|||
[ — (2/i2+ /ij) +• |
24 |
|||||||
|
6 |
J “ т |
' \ |
|
|
|
(5.1) |
|
|
ДДF + (1 — V2) (£ + £ 0)Д*ш = 0; |
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
24G0 |
|
|
|
|
|
|
Дф—: (1 —v) /12(3В + BQ) ф= 0, |
|
||||||
|
Eh\ |
|
Еп1г |
|
|
|
|
|
где обозначено В = |
|
В0 = |
0п2 |
G0 |
— модуль сдвига заполнителя. |
|||
1 — 'V2 ’ |
1 —V2 |
Общий порядок уравнений |
(5.1) равен 12. На контуре отверстия должны |
||
быть заданы шесть граничных условий для |
функций F, w, ф, ф: |
||
L^)(F, ш,ф, ф) |оо = /0(б(s) |
(t= 1, 2, ..., 6). При В0 = 0 из (5.1) получаем |
||
уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. |
|||
В 3 - 72-75 построены решения |
уравнений (5.1) |
для сферической обо |
|
лочки: |
|
|
|
F —& 1+£2 + £ з + /2 + Е°; |
W = — — -------г ^ “ |
R .— ДЕ + fi, |
|
|
|
(1 -v 2) {В+ Во) |
где F0— частное решение; f\,f2— гармонические функции; gi — решения уравнений Гельмгольца. В3 приведены различные варианты этих реше ний в зависимости от значений корней характеристического уравнения.
Рассмотрены задачи для многосвязных областей и связанные с ними вопросы сведения к бесконечным системам алгебраических уравнении,
атакже исследования сходимости и единственности их решений.
Вработе76 исследовано напряженное состояние сферической обо лочки с жестким заполнителем, ослабленной круговым неподкрепленным отверстием. Изучено влияние изменения модулей упругости несу щих слоев и заполнителя. Случай легкого заполнителя для такой задачи рассмотрен в71-77, а для подкрепленного отверстия — в78. В этих рабо
8 2 8