книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 5
.pdfдругих поверхностях, приводит к вытеснению материала наполнителя ввиду его низкомодульности и несжимаемости в положительном направ лении координаты z. Последнее ведет к смене знака касательных напря жений, а это, в свою очередь, вызывает уменьшение уровня осевых уси лий в оболочке (см. рис. 3—а). Увеличение окружных усилий в оболочке вызвано повышением уровня сжимающих радиальных напряжений в кон струкции в случае задания неравномерного давления (см. рис. 3—б).
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., 1961. 374 с.
2.Елтышев В. А. Исследование влияния механических характеристик анизотропной оболочки на напряженно-деформированное состояние цилиндра. — В кн.: Прочностные
игидравлические характеристики машин и конструкций. Пермь, 1975, с. 76.
3.Елтышев В. А., Поздеев А. А., Соколкин Ю. В. О совместной работе системы ортотропная стеклопластиковая оболочка—наполнитель. — Механика полимеров, 1976, № 5,
с.931—934.
4.Елтышев В. А., Поздеев А. А., Соколкин Ю. В. Напряженно-деформированное со
стояние цилиндра с криволинейными торцами, скрепленного с ортотропной стеклопластнковой оболочкой. — Механика полимеров, 1976, № 2, с. 369.
5. Елтышев В. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач теории упругости. — В кн.: Прикладные задачи теории упругости и вязкоупругости. Сверд ловск, 1976, с. 29.
6.Хемминг Р. В. Численные методы. М., 1968. 400 с.
7.Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения. — Докл. АН СССР. Математика, 1965, т. 163, № 3, с. 591.
Отдел физики полимеров |
Поступило в редакцию 31.10.78 |
Уральского научного центра АН СССР, Пермь |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 5, с. 840—850
УДК 624.71 + 634.374:678.5.06
Э. И. Григолюк, Е. А. Лопаницын
КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
1. Свободные колебания трехслойного стержня. Для описания пове дения свободно колеблющегося трехслойного стержня будем использо вать дифференциальные уравнения равновесия и концевые условия, по лученные в1:
dN |
= |
п |
^ I , № |
<Р \ d<x |
, , , / |
, й2 <Р \ |
п |
dx |
0; |
D |
|
\ |
1 _ Т S * ) х = °’ |
||
|
|
1 ‘ “ " Г |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( 1 . 1) |
где N — продольная сила в поперечном сечении стержня; х — продоль |
|||||||
ная координата; D — приведенная изгибная жесткость стержня; |
ft — |
безразмерные параметры, характеризующие жесткость заполнителя на сдвиг и изгибную жесткость несущих слоев соответственно; %— функция перемещений; р — приведенная удельная плотность стержня; со — собст венная частота стержня. Первое уравнение системы (1.1) описывает рав новесие элемента стержня в продольном направлении, а второе — в по перечном. Первый член второго уравнения соответствует второй произ водной изгибающего момента по продольной координате х, а второй член — поперечной инерционной нагрузке. Для того чтобы получить вто рое уравнение в таком компактном виде, в1 была введена функция пере мещений х> которая связана с прогибом ш и сдвиговыми деформациями заполнителя а следующим образом:
w = |
( |
d2 |
1-0 |
К2 |
dh |
м . |
а ------------ |
|
|||
|
dxх2 / Х’ |
V |
т dx2 |
Если рассмотреть первое уравнение системы, то можно получить, что как для стесненных продольных перемещений на краях, так и для не
стесненных перемещения на линии приведения |
v{x) и продольное уси |
||||||||||||
лие |
N (х) |
равны |
нулю |
на |
всем протяжении стержня. Значит, частоты |
||||||||
свободных колебаний не зависят от концевых |
условий |
в продольном |
|||||||||||
направлении и описываются вторым уравнением системы |
(1.1). |
|
|||||||||||
Если |
перейти |
к безразмерной координате |
£ и обозначить |
| = —; |
|||||||||
. |
А2 |
|
. |
pftftoW |
|
с |
, |
|
|
|
|
' |
|
к= -р|2 |
; (о*2= — 2)— |
гДе s — безразмерная |
продольная координата; |
||||||||||
/ — длина стержня, то разрешающее уравнение примет вид: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
,vi_ |
,iv_ |
СО*2 тт |
(о*2 |
|
|
( 1-2) |
||
|
|
|
|
|
-----ХП Н------- Y= 0. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Фк |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения частот используем метод Бубнова. Вариационное |
|||||||||||||
уравнение в форме Бубнова будет: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
*2 |
$2 |
\ |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
хУ1- - & г * " - ^ г * 11+- ^ |
* |
) 6ш^ = 0' |
(13) |
|||||
где w = %—кх11. |
Функцию |
хШ |
представим |
в |
виде степенного |
ряда: |
|||||||
х(Е) = |
т |
Л,£1\ |
В этом |
ряду |
первые шесть постоянных Л0, Лi , . . . , |
Л5 оп- |
|||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
|' = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 4 0
ределяются из концевых условий через оставшиеся Л6, А7, . . . , А т, т. е. функцию х можно представить как сумму линейно-независимых функций:
5 |
|
X(S) = 2 J C.cpid), |
(1.4) |
2=0 |
|
где q>i(Е) = 2 а ^ + 1 г+ .
;'= о
В качестве примера покажем коэффициенты аппроксимирующего ряда фг(^) для случая консольного стержня, у которого на обоих кон цах поставлены абсолютно жесткие диафрагмы, препятствующие отно сительному сдвигу несущих слоев. В данном случае коэффициенты будут:
Хх = х—кхп = Хш = 0 при Е = 0; xn -^ k x IV = xni = Xv = 0 при £= 1;
ai0 = 2kai2, |
ац = 0\ |
cii2 = -------2 ^—'—{(н —2) |
3) (м—4) —6] +12 + |
+ 6Фк(п —2) [{п —3) {п—6) + 2]}; йг3= 0;
п(п—1) (п —2)
#г4—■ -[(п—3) (п—4 ) - 2]; 48
п(п —1) (п —2) (п —3) (/г—4)
ai5= —
120
где /г = х + 6.
Рис. 1. Влияние параметра сдвига заполнителя к на наименьшую собственную частоту
стержней: а — опертого обоими концами; б — заделанного обоими концами; в — заде
ланного одним концом и опертого другим; г — консольного. -------- |
стержни без диаф |
|
рагм; ---------- |
с диафрагмами. Цифры у кривых — значения О. |
841
Если функцию х в виДе (1.4) подставить в уравнение Бубнова (1.3), то получим систему однородных алгебраических уравнений
s |
1 |
E c J |
[ (<P<V I - 4 T |
<P<i v ) - • ^ - ( ^ |
11-ч > о ](ф )- к ф Л < г | = о , |
г= 0 |
0 |
|
(1 .5 ) |
Где у = о, 1 ,..., s. Чтобы эта |
система имела |
нетривиальное решение для |
коэффициентов Сг-, необходимо удовлетворить равенство нулю опреде лителя системы (1.5):
1 |
|
(кф<1Г—«Pi)] |
|
|
det[ J[ ( ^1У_ ^ГФ^У) |
— |
((Pj-kcp/1) ^ ] |
= 0, |
|
о |
|
|
|
|
где i, / = 0 ,1 ,..., s. Раскрывая |
этот определитель, |
получаем алгебраиче |
||
ское уравнение относительно |
со*, из |
которого находим значения |
со* как |
корни этого уравнения.
В качестве числового материала по свободным колебаниям на рис. 1 представлены графики, показывающие зависимость первой приведенной частоты (Oi* от коэффициента сдвига к и параметра О. Можно отметить, что при увеличении параметра к, т. е. при уменьшении жесткости запол нителя на сдвиг, coi* уменьшается и при к > 3 почти не изменяется. При стремлении к к нулю, т. е. при бесконечном увеличении жесткости за полнителя на сдвиг, значение юц стремится к значению приведенной частоты для однородного стержня Бернулли—Эйлера, то же и для {К По мере увеличения ft несущие слои воспринимают все большую часть изгибающего момента, собственная приведенная частота растет.
Решению задачи о свободных колебаниях трехслойного стержня (рис. 2) посвящены работы2-9 и другие. В первых четырех работах для описания использовалось уравнение, приведенное в1, а в остальных — уравнение из10. Для получения собственных частот в2-3-6-8 использова лось точное решение дифференциального уравнения равновесия. При ближенные методы расчета — метод Бубнова, метод разложения реше ния в ряд по степеням параметра уравнения и метод Ритца — исполь зовались в4-5-9 соответственно. Кроме того в5 и9 проводились экспери менты. Таким образом, в приведенных работах можно найти резуль таты расчетов по следующим вариантам концевых условий — шарнирноопертый стержень с диафрагмами на торцах и без них, заделанный стер жень с диафрагмами на обоих концах, стержень, опертый без диафрагмы
Рис. 2. Сравнение результатов расчета первой собствен |
|
ной частоты стержней: а — опертого обоими концами с |
6 |
диафрагмами; б — заделанного обоими концами с диаф |
|
рагмами. О — по2, □ — по7. Цифры у кривых — значе |
20 - |
ния Ф. |
|
2 *- |
/ |
кi |
о |
|
L |
0 |
г |
0.5 |
1.0 |
||
|
842
одним концом и заделанный с диафрагмой другим, консольный стер жень, заделанный с диафрагмой.
2. |
Устойчивость |
трехслойного стержня под действием продольных |
|||||||||||||
усилий. |
Устойчивость |
стержня будем рассматривать в постановке |
|||||||||||||
Эйлера. Для |
этого во |
второе |
уравнение (1.1) |
вместо |
инерционной на- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. d2w |
|
или, если выра |
||||
грузки введем поперечную нагрузку в виде: q= .— N - ^ - , |
|
||||||||||||||
зить прогиб через функцию прогибов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
\ |
р |
dx2 I dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда система уравнении равновесия примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dN Л J |
|
№ |
d* \ d \ |
/ |
h* d2 \ d \ |
■ = 0. |
|||||||||
|
= |
0; |
D |
\ |
P |
dx2 >dx4 |
\ |
P |
dx |
|
/ |
dx |
|||
dx |
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
R |
/ |
4 |
6 |
|
|
|
Из первого уравнения получим: N = N0, где N0 — продольное усилие на торце стержня. Запишем второе уравнение в безразмерной форме:
|
,vi_ |
1 —kx2 |
Ok Хп = 0, |
( 2. 1) |
|
|
|
/ I V _ |
|||
|
|
Ok |
|||
' |
Nl2 |
|
прогибов |
принять в виде |
(1.4): х(Е) = |
где v?— |
—. Если функцию |
= 2 Сгфг(£) и применить к уравнению (2.1) метод Бубнова, то в итоге <=i
получим частотный определитель I
det [ J[(O k < p i ' ' I - ( (>iI V ) - x 2(<I>iI I - k q ) i I V )](< P j-k< p /I) d i ] = 0 ;
0
I, У= 0, 1, .., s,
Рис. 3. Влияние параметра сдвига заполнителя к на наименьшее значение параметра критиче ской нагрузки для стержней: а — опертого обоими концами; б — заделанного обоими кон цами; в — onepforo одним концом и заделан ного другим. --------- стержни без диафрагм,
----------с диафрагмами. Цифры у кривых — значения О.
8 4 3
из которого определяется неизвестный параметр критического продоль
ного усилия х.
На рис. 3 представлены графики, построенные по результатам рас четов первого значения параметра критического продольного усилия для шести вариантов концевых условий.
3. Свободные колебания нагретого трехслойного стержня. В случае, если продольные перемещения на концах стержня не стеснены, имеем:
|
|
d2v |
|
т |
|
|
|
|
В дх2 |
|
дх = 0; |
|
|
ft/i2 |
д2 \ |
<34х |
д2 |
(Ht r -l- M t) + 9hb |
д2т = 0, |
(3.1) |
~р |
с/*2” / |
дх4 |
дх2 |
дх2 |
|
где В — приведенная жесткость стержня на растяжение—сжатие — B = Ehb\ v — продольное перемещение точек, лежащих на оси приведе ния стержня; Nt — продольная нагрузка, вызванная нагревом стер жня — = £ (yj/zi-f72/22+ Уз^з); Ht — момент сдвига, вызванный нагре вом — ///= /C[YI^I (^з—С12) —72^2(^з+ С 12)+уз(^гз^з—^ 12^3) ] i Mt — изги бающий момент, вызванный нагревом Mt = K[y\{tnlti — Ci5n\)-\-y2 (m2t2 -
- С 13Л2) + 73(^ 3^3- ^ 13/23)]; K |
= ^ E h 2b\ rii = Y ^ i T d z \ |
mi= -^T S$iTzdz |
(i= 1,2,3); !ti — безразмерные |
толщины слоев; T (х, z) |
— распределение |
температуры по стержню; (3* — коэффициент линейного расширения ма териала 1-го слоя.
Рассмотрев первое уравнение системы (3.1) с соответствующими концевыми условиями, получаем, что по всей длине стержня N = 0. Те перь рассмотрим второе уравнение. Решение этого уравнения будем ис кать в виде:
%(х,т) =%i{x) +X2(*)eiC0T, |
(3-2) |
где т — время. Тогда рассматриваемое уравнение распадется на два:
Ш |
|
d2 |
\ |
d \ 1 |
d2 |
р |
dx2 |
I |
dxA |
l x 2 |
|
fth2 |
d2 |
\ |
d4x2 |
(3.3 ) |
|
d2 |
|||||
P |
dx2 ' dx4 |
dx2 ) X2= 0. |
Первое уравнение описывает статический изгиб стержня под действием термической нагрузки, а второе уравнение — свободные колебания стержня около нового положения равновесия, вызванного термической нагрузкой.
Далее будем рассматривать только второе уравнение (3.3). Введем
безразмерную координату |
и обозначения |
к = - ^ \ со*2= |
РЬЬы1_ |
||
После преобразований получим |
|
L |
р1г |
V |
|
второе уравнение в следующем виде: |
|||||
1 |
|
со*2 |
„ со*2 |
|
|
Х2V I _ |
Х2I V _ |
'б' |
Х2П+- Фк |
Х 2 = 0 . |
|
Это уравнение полностью совпадает с уравнением, описывающим сво бодные колебания ненагретого трехслойного стержня (1.2). Если с по мощью представления (3.2) рассмотреть концевые условия для за дачи (3.1), то получим для функции Х2 такие же концевые условия, как
8 4 4
в случае ненагретого стержня. Значит, можно сказать, что в случае не стесненных продольных перемещений на концах стержня значения час тот свободных поперечных колебаний при нагреве стержня не изменя
ются.
В случае, если продольные перемещения концов стержня стеснены,
имеем:
|
|
|
|
|
|
|
dzv |
dN* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ~дх2 |
Э*~=0; |
|
|
|
|
(3.4) |
|||||
/ |
д а |
д2 \ |
|
|
|
|
d2w |
|
d2w |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D ( 1 |
в- |
~дх*~/ |
|
X + N —r^r+phb |
|
|
|
|
|
|
||||||
дх4 |
|
|
dx2 |
|
dr2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Из первого уравнения получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ч /i Ntdx. |
|
|
|
|
|
|
|||
Второе уравнение |
(3.4) |
с помощью представления (3.2) сводится к сле |
||||||||||||||
дующим двум уравнениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
/ |
|
д а |
d2 \ d \ 1 |
|
d2wx |
d2 |
.(Hiy-'-M <)= 0; |
|
||||||||
\ |
|
$ |
dx2 |
' |
dx4 |
■N- dx2 |
dx2 |
(3.5) |
||||||||
|
/ |
|
O/i2 |
d2 |
|
\ |
dA79 |
d2Wo |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D ( |
1 |
|
(Г |
~d^~) |
dxA + |
dx2 |
—phbu>2w2 = 0 . |
|
|
|
|||||
Первое уравнение |
(3.5) |
описывает изгиб и сжатие стержня, а второе — |
||||||||||||||
свободные |
колебания |
сжатого |
стержня. Рассмотрим |
второе уравнение, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г2 |
|
р/гбсо2/4 |
х2= |
Ш2 |
||
для этого |
введем |
обозначения |
£ = у ; |
к=-р^-;со*2= |
р |
|
D |
|||||||||
с учетом которых получим уравнение свободных колебаний в виде: |
||||||||||||||||
|
Х2V I |
_ |
1 — к х 2 |
|
ТЛГ |
|
х 2 + |
ксо*2 |
|
тт \ * 2 to" |
|
|
|
|||
|
Ок |
12 |
— |
— |
«к------Х |
+ Ж |
Х2=0' |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Воспользуемся |
методом |
Бубнова с |
представлением |
т |
|
|
|
|||||||||
Х2= S AiXi. Здесь |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= |
1 |
|
|
Xi — семейство ортогональных функций, удовлетворяющих заданным концевым условиям. Вариационное уравнение примет вид:
1
J [ ^ v i ^ - k W i ) _ 1~ k— .X F W i - k X F ) -
0 |
|
|
|
|
x 24-k a t* 2 |
kXP) |
to*2 |
1 |
(3-6) |
---- *гп (Xi- |
X,(XikXP) \ d l = 0. |
|||
Ok |
|
Ok |
J |
|
О бозначим : |
|
|
|
|
BQ= |
|
B2= J |
|
|
0 |
|
0 |
|
(3.7) |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
B4 = J |
(X, —kX,!!) di; |
Be = J |
|
|
845
где !а= я/^ tn= phbl — масса стержня, 6 (|) — дельта-функция Дирака. Представим функцию х» соответствующую i-му тону колебаний, в виде: ^=А{Хи где Xi — i-я собственная функция уравнения свободных коле баний трехслойного стержня. Используя метод Бубнова, найдем:
1 |
|
|
|
|
Я |
№ - k*in) - 4 - х iIV № - k*in) - |
4 |
o' |
- х ‘п х |
v г |
ик |
|
|
|
о |
|
|
|
|
X (Xi- В Д !) + ^ Х ( № - к Х ( И ) 1 d ^ + - ~ |
—X |
||
Ok |
J |
Ok |
m |
Х[Хг(1а)-кХ^(1а)У = 0 |
|
|
|
или, используя соотношения (3.7) и (3.9), |
получим |
собственную приве |
|
денную частоту |
|
|
|
ш о *2 |
|
|
(4.2) |
C D* 2 = |
|
|
|
1+Л (£а)— |
|
|
|
т |
|
|
|
где |
|
|
|
[*,(&„) -к**П (|а)] 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
J ( X , - k X f l ) d l |
|
|
|
На рисунках 4 и 5 представлено сравнение полученных результатов |
|||
с результатами работ11-12. При пересчете результатов |
работ1112 на обо |
значения настоящей работы появляется зависимость функции Л(£а) не только от координаты груза, но и от отношения массы груза к массе
балки, чего формула |
(4.2) не дает, Хорошее соответствие с результатами |
|||||||
точного решения формула (4.2) дает в том случае, |
когда масса груза |
|||||||
не превосходит трех-четырех масс балки. |
|
|
|
|||||
5. |
Колебания трехслойного стержня под дёйствием перемещающейся |
|||||||
нагрузки. Уравнения равновесия имеют вид: |
|
|
|
|||||
|
6 N |
|
|
|
сНу |
d2w |
|
(5.1) |
|
= 0; |
\ |
рR |
дхгV2 )/ дх4 |
+ p h b ~ - '= q (x ,T ) . |
|||
|
дх |
дх2 |
|
|
||||
Первое уравнение (5.1) |
даст тривиальное |
решение, |
а решение |
второго |
||||
будем искать в виде: |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х(*> * |
) - £ |
Х{(х)п(т), |
|
|
|
|
|
|
|
г = |
1 |
|
|
|
где гi — искомые функции от времени. Введя безразмерную координату и известные обозначения, получим следующее уравнение колебаний:
,vi_ |
|
(О*2 |
со ■ |
(5.2) |
/ I V . |
,11_ |
'O'kco2 ■х= |
||
|
flk |
■O’CD2 |
ФкD |
где х означает вторую производную функции по времени. Применяя к уравнению (5.2) процедуру Бубнова и принимая во внимание соотно шения (3.7) и (3.9), имеем:
1 |
|
ri + (*H2ri = Hi j(7(£, т) {Xi — kXilI)dl, |
(5.3) |
о |
|
847