Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 5

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
10.51 Mб
Скачать

других поверхностях, приводит к вытеснению материала наполнителя ввиду его низкомодульности и несжимаемости в положительном направ­ лении координаты z. Последнее ведет к смене знака касательных напря­ жений, а это, в свою очередь, вызывает уменьшение уровня осевых уси­ лий в оболочке (см. рис. 3—а). Увеличение окружных усилий в оболочке вызвано повышением уровня сжимающих радиальных напряжений в кон­ струкции в случае задания неравномерного давления (см. рис. 3—б).

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., 1961. 374 с.

2.Елтышев В. А. Исследование влияния механических характеристик анизотропной оболочки на напряженно-деформированное состояние цилиндра. — В кн.: Прочностные

игидравлические характеристики машин и конструкций. Пермь, 1975, с. 76.

3.Елтышев В. А., Поздеев А. А., Соколкин Ю. В. О совместной работе системы ортотропная стеклопластиковая оболочка—наполнитель. — Механика полимеров, 1976, № 5,

с.931—934.

4.Елтышев В. А., Поздеев А. А., Соколкин Ю. В. Напряженно-деформированное со­

стояние цилиндра с криволинейными торцами, скрепленного с ортотропной стеклопластнковой оболочкой. — Механика полимеров, 1976, № 2, с. 369.

5. Елтышев В. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач теории упругости. — В кн.: Прикладные задачи теории упругости и вязкоупругости. Сверд­ ловск, 1976, с. 29.

6.Хемминг Р. В. Численные методы. М., 1968. 400 с.

7.Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения. — Докл. АН СССР. Математика, 1965, т. 163, № 3, с. 591.

Отдел физики полимеров

Поступило в редакцию 31.10.78

Уральского научного центра АН СССР, Пермь

 

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 5, с. 840—850

УДК 624.71 + 634.374:678.5.06

Э. И. Григолюк, Е. А. Лопаницын

КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ

1. Свободные колебания трехслойного стержня. Для описания пове­ дения свободно колеблющегося трехслойного стержня будем использо­ вать дифференциальные уравнения равновесия и концевые условия, по­ лученные в1:

dN

=

п

^ I ,

<Р \ d<x

, , , /

, й2 <Р \

п

dx

0;

D

 

\

1 _ Т S * ) х = °’

 

 

1 ‘ “ " Г

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 . 1)

где N — продольная сила в поперечном сечении стержня; х — продоль­

ная координата; D — приведенная изгибная жесткость стержня;

ft —

безразмерные параметры, характеризующие жесткость заполнителя на сдвиг и изгибную жесткость несущих слоев соответственно; %— функция перемещений; р — приведенная удельная плотность стержня; со — собст­ венная частота стержня. Первое уравнение системы (1.1) описывает рав­ новесие элемента стержня в продольном направлении, а второе — в по­ перечном. Первый член второго уравнения соответствует второй произ­ водной изгибающего момента по продольной координате х, а второй член — поперечной инерционной нагрузке. Для того чтобы получить вто­ рое уравнение в таком компактном виде, в1 была введена функция пере­ мещений х> которая связана с прогибом ш и сдвиговыми деформациями заполнителя а следующим образом:

w =

(

d2

1-0

К2

dh

м .

а ------------

 

 

dxх2 / Х’

V

т dx2

Если рассмотреть первое уравнение системы, то можно получить, что как для стесненных продольных перемещений на краях, так и для не­

стесненных перемещения на линии приведения

v{x) и продольное уси­

лие

N (х)

равны

нулю

на

всем протяжении стержня. Значит, частоты

свободных колебаний не зависят от концевых

условий

в продольном

направлении и описываются вторым уравнением системы

(1.1).

 

Если

перейти

к безразмерной координате

£ и обозначить

| = —;

.

А2

 

.

pftftoW

 

с

,

 

 

 

 

'

к= -р|2

; (о*2= — 2)—

гДе s — безразмерная

продольная координата;

/ — длина стержня, то разрешающее уравнение примет вид:

 

 

 

 

 

 

,vi_

,iv_

СО*2 тт

(о*2

 

 

( 1-2)

 

 

 

 

 

-----ХП Н------- Y= 0.

 

 

 

 

 

 

 

Фк

 

 

 

 

 

 

 

Для определения частот используем метод Бубнова. Вариационное

уравнение в форме Бубнова будет:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

*2

$2

\

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хУ1- - & г * " - ^ г * 11+- ^

*

) 6ш^ = 0'

(13)

где w = %—кх11.

Функцию

хШ

представим

в

виде степенного

ряда:

х(Е) =

т

Л,£1\

В этом

ряду

первые шесть постоянных Л0, Лi , . . . ,

Л5 оп-

2

 

 

|' = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 4 0

ределяются из концевых условий через оставшиеся Л6, А7, . . . , А т, т. е. функцию х можно представить как сумму линейно-независимых функций:

5

 

X(S) = 2 J C.cpid),

(1.4)

2=0

 

где q>i(Е) = 2 а ^ + 1 г+ .

;'= о

В качестве примера покажем коэффициенты аппроксимирующего ряда фг(^) для случая консольного стержня, у которого на обоих кон­ цах поставлены абсолютно жесткие диафрагмы, препятствующие отно­ сительному сдвигу несущих слоев. В данном случае коэффициенты будут:

Хх = х—кхп = Хш = 0 при Е = 0; xn -^ k x IV = xni = Xv = 0 при £= 1;

ai0 = 2kai2,

ац = 0\

cii2 = -------2 ^—'—{(н —2)

3) (м—4) —6] +12 +

+ 6Фк(п —2) [{п 3) {п—6) + 2]}; йг3= 0;

п(п—1) (п —2)

#г4—■ -[(п—3) (п—4 ) - 2]; 48

п(п 1) (п 2) (п 3) (/г—4)

ai5=

120

где /г = х + 6.

Рис. 1. Влияние параметра сдвига заполнителя к на наименьшую собственную частоту

стержней: а — опертого обоими концами; б — заделанного обоими концами; в — заде­

ланного одним концом и опертого другим; г — консольного. --------

стержни без диаф­

рагм; ----------

с диафрагмами. Цифры у кривых — значения О.

841

Если функцию х в виДе (1.4) подставить в уравнение Бубнова (1.3), то получим систему однородных алгебраических уравнений

s

1

E c J

[ (<P<V I - 4 T

<P<i v ) - • ^ - ( ^

11-ч > о ](ф )- к ф Л < г | = о ,

г= 0

0

 

(1 .5 )

Где у = о, 1 ,..., s. Чтобы эта

система имела

нетривиальное решение для

коэффициентов Сг-, необходимо удовлетворить равенство нулю опреде­ лителя системы (1.5):

1

 

(кф<1Г—«Pi)]

 

 

det[ J[ ( ^1У_ ^ГФ^У)

((Pj-kcp/1) ^ ]

= 0,

о

 

 

 

 

где i, / = 0 ,1 ,..., s. Раскрывая

этот определитель,

получаем алгебраиче­

ское уравнение относительно

со*, из

которого находим значения

со* как

корни этого уравнения.

В качестве числового материала по свободным колебаниям на рис. 1 представлены графики, показывающие зависимость первой приведенной частоты (Oi* от коэффициента сдвига к и параметра О. Можно отметить, что при увеличении параметра к, т. е. при уменьшении жесткости запол­ нителя на сдвиг, coi* уменьшается и при к > 3 почти не изменяется. При стремлении к к нулю, т. е. при бесконечном увеличении жесткости за­ полнителя на сдвиг, значение юц стремится к значению приведенной частоты для однородного стержня Бернулли—Эйлера, то же и для {К По мере увеличения ft несущие слои воспринимают все большую часть изгибающего момента, собственная приведенная частота растет.

Решению задачи о свободных колебаниях трехслойного стержня (рис. 2) посвящены работы2-9 и другие. В первых четырех работах для описания использовалось уравнение, приведенное в1, а в остальных — уравнение из10. Для получения собственных частот в2-3-6-8 использова­ лось точное решение дифференциального уравнения равновесия. При­ ближенные методы расчета — метод Бубнова, метод разложения реше­ ния в ряд по степеням параметра уравнения и метод Ритца — исполь­ зовались в4-5-9 соответственно. Кроме того в5 и9 проводились экспери­ менты. Таким образом, в приведенных работах можно найти резуль­ таты расчетов по следующим вариантам концевых условий — шарнирноопертый стержень с диафрагмами на торцах и без них, заделанный стер­ жень с диафрагмами на обоих концах, стержень, опертый без диафрагмы

Рис. 2. Сравнение результатов расчета первой собствен­

 

ной частоты стержней: а — опертого обоими концами с

6

диафрагмами; б — заделанного обоими концами с диаф­

рагмами. О — по2, □ — по7. Цифры у кривых — значе­

20 -

ния Ф.

 

2 *-

/

кi

о

 

L

0

г

0.5

1.0

 

842

одним концом и заделанный с диафрагмой другим, консольный стер­ жень, заделанный с диафрагмой.

2.

Устойчивость

трехслойного стержня под действием продольных

усилий.

Устойчивость

стержня будем рассматривать в постановке

Эйлера. Для

этого во

второе

уравнение (1.1)

вместо

инерционной на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.. d2w

 

или, если выра­

грузки введем поперечную нагрузку в виде: q= .— N - ^ - ,

 

зить прогиб через функцию прогибов,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

\

р

dx2 I dx2

 

 

 

 

 

 

Тогда система уравнении равновесия примет вид:

 

 

 

 

 

 

dN Л J

 

d* \ d \

/

h* d2 \ d \

■ = 0.

 

=

0;

D

\

P

dx2 >dx4

\

P

dx

 

/

dx

dx

 

 

2

2

 

 

 

 

R

/

4

6

 

 

 

Из первого уравнения получим: N = N0, где N0 — продольное усилие на торце стержня. Запишем второе уравнение в безразмерной форме:

 

,vi_

1 —kx2

Ok Хп = 0,

( 2. 1)

 

 

/ I V _

 

 

Ok

'

Nl2

 

прогибов

принять в виде

(1.4): х(Е) =

где v?—

—. Если функцию

= 2 Сгфг(£) и применить к уравнению (2.1) метод Бубнова, то в итоге <=i

получим частотный определитель I

det [ J[(O k < p i ' ' I - ( (>iI V ) - x 2(<I>iI I - k q ) i I V )](< P j-k< p /I) d i ] = 0 ;

0

I, У= 0, 1, .., s,

Рис. 3. Влияние параметра сдвига заполнителя к на наименьшее значение параметра критиче­ ской нагрузки для стержней: а — опертого обоими концами; б — заделанного обоими кон­ цами; в — onepforo одним концом и заделан­ ного другим. --------- стержни без диафрагм,

----------с диафрагмами. Цифры у кривых — значения О.

8 4 3

из которого определяется неизвестный параметр критического продоль­

ного усилия х.

На рис. 3 представлены графики, построенные по результатам рас­ четов первого значения параметра критического продольного усилия для шести вариантов концевых условий.

3. Свободные колебания нагретого трехслойного стержня. В случае, если продольные перемещения на концах стержня не стеснены, имеем:

 

 

d2v

 

т

 

 

 

 

В дх2

 

дх = 0;

 

 

ft/i2

д2 \

<34х

д2

(Ht r -l- M t) + 9hb

д2т = 0,

(3.1)

с/*2” /

дх4

дх2

дх2

 

где В — приведенная жесткость стержня на растяжение—сжатие — B = Ehb\ v — продольное перемещение точек, лежащих на оси приведе­ ния стержня; Nt — продольная нагрузка, вызванная нагревом стер­ жня — = £ (yj/zi-f72/22+ Уз^з); Ht — момент сдвига, вызванный нагре­ вом — ///= /C[YI^I (^з—С12) —72^2(^з+ С 12)+уз(^гз^з—^ 12^3) ] i Mt — изги­ бающий момент, вызванный нагревом Mt = K[y\{tnlti — Ci5n\)-\-y2 (m2t2 -

- С 13Л2) + 73(^ 3^3- ^ 13/23)]; K

= ^ E h 2b\ rii = Y ^ i T d z \

mi= -^T S$iTzdz

(i= 1,2,3); !ti — безразмерные

толщины слоев; T (х, z)

— распределение

температуры по стержню; (3* — коэффициент линейного расширения ма­ териала 1-го слоя.

Рассмотрев первое уравнение системы (3.1) с соответствующими концевыми условиями, получаем, что по всей длине стержня N = 0. Те­ перь рассмотрим второе уравнение. Решение этого уравнения будем ис­ кать в виде:

%(х,т) =%i{x) +X2(*)eiC0T,

(3-2)

где т — время. Тогда рассматриваемое уравнение распадется на два:

Ш

 

d2

\

d \ 1

d2

р

dx2

I

dxA

l x 2

fth2

d2

\

d4x2

(3.3 )

d2

P

dx2 ' dx4

dx2 ) X2= 0.

Первое уравнение описывает статический изгиб стержня под действием термической нагрузки, а второе уравнение — свободные колебания стержня около нового положения равновесия, вызванного термической нагрузкой.

Далее будем рассматривать только второе уравнение (3.3). Введем

безразмерную координату

и обозначения

к = - ^ \ со*2=

РЬЬы1_

После преобразований получим

 

L

р

V

второе уравнение в следующем виде:

1

 

со*2

„ со*2

 

 

Х2V I _

Х2I V _

'б'

Х2П+- Фк

Х 2 = 0 .

 

Это уравнение полностью совпадает с уравнением, описывающим сво­ бодные колебания ненагретого трехслойного стержня (1.2). Если с по­ мощью представления (3.2) рассмотреть концевые условия для за­ дачи (3.1), то получим для функции Х2 такие же концевые условия, как

8 4 4

в случае ненагретого стержня. Значит, можно сказать, что в случае не­ стесненных продольных перемещений на концах стержня значения час­ тот свободных поперечных колебаний при нагреве стержня не изменя­

ются.

В случае, если продольные перемещения концов стержня стеснены,

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

dzv

dN*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ~дх2

Э*~=0;

 

 

 

 

(3.4)

/

д а

д2 \

 

 

 

 

d2w

 

d2w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D ( 1

в-

~дх*~/

 

X + N —r^r+phb

 

 

 

 

 

 

дх4

 

 

dx2

 

dr2

 

 

 

 

 

 

Из первого уравнения получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч /i Ntdx.

 

 

 

 

 

 

Второе уравнение

(3.4)

с помощью представления (3.2) сводится к сле­

дующим двум уравнениям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

д а

d2 \ d \ 1

 

d2wx

d2

.(Hiy-'-M <)= 0;

 

\

 

$

dx2

'

dx4

■N- dx2

dx2

(3.5)

 

/

 

O/i2

d2

 

\

dA79

d2Wo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D (

1

 

~d^~)

dxA +

dx2

—phbu>2w2 = 0 .

 

 

 

Первое уравнение

(3.5)

описывает изгиб и сжатие стержня, а второе —

свободные

колебания

сжатого

стержня. Рассмотрим

второе уравнение,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г2

 

р/гбсо2/4

х2=

Ш2

для этого

введем

обозначения

£ = у ;

к=-р^-;со*2=

р

 

D

с учетом которых получим уравнение свободных колебаний в виде:

 

Х2V I

_

1 — к х 2

 

ТЛГ

 

х 2 +

ксо*2

 

тт \ * 2 to"

 

 

 

 

Ок

12

«к------Х

+ Ж

Х2=0'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся

методом

Бубнова с

представлением

т

 

 

 

Х2= S AiXi. Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=

1

 

 

Xi — семейство ортогональных функций, удовлетворяющих заданным концевым условиям. Вариационное уравнение примет вид:

1

J [ ^ v i ^ - k W i ) _ 1~ k— .X F W i - k X F ) -

0

 

 

 

 

x 24-k a t* 2

kXP)

to*2

1

(3-6)

---- *гп (Xi-

X,(XikXP) \ d l = 0.

Ok

 

Ok

J

 

О бозначим :

 

 

 

 

BQ=

 

B2= J

 

 

0

 

0

 

(3.7)

1

 

 

1

 

 

 

B4 = J

(X, —kX,!!) di;

Be = J

 

 

845

где !а= я/^ tn= phbl — масса стержня, 6 (|) — дельта-функция Дирака. Представим функцию х» соответствующую i-му тону колебаний, в виде: ^=А{Хи где Xi — i-я собственная функция уравнения свободных коле­ баний трехслойного стержня. Используя метод Бубнова, найдем:

1

 

 

 

 

Я

№ - k*in) - 4 - х iIV № - k*in) -

4

o'

- х ‘п х

v г

ик

 

 

о

 

 

 

 

X (Xi- В Д !) + ^ Х ( № - к Х ( И ) 1 d ^ + - ~

—X

Ok

J

Ok

m

Х[Хг(1а)-кХ^(1а)У = 0

 

 

или, используя соотношения (3.7) и (3.9),

получим

собственную приве­

денную частоту

 

 

 

ш о *2

 

 

(4.2)

C D* 2 =

 

 

1+Л (£а)—

 

 

 

т

 

 

 

где

 

 

 

[*,(&„) -к**П (|а)] 2

 

 

1

 

 

 

J ( X , - k X f l ) d l

 

 

На рисунках 4 и 5 представлено сравнение полученных результатов

с результатами работ11-12. При пересчете результатов

работ1112 на обо­

значения настоящей работы появляется зависимость функции Л(£а) не только от координаты груза, но и от отношения массы груза к массе

балки, чего формула

(4.2) не дает, Хорошее соответствие с результатами

точного решения формула (4.2) дает в том случае,

когда масса груза

не превосходит трех-четырех масс балки.

 

 

 

5.

Колебания трехслойного стержня под дёйствием перемещающейся

нагрузки. Уравнения равновесия имеют вид:

 

 

 

 

6 N

 

 

 

сНу

d2w

 

(5.1)

 

= 0;

\

рR

дхгV2 )/ дх4

+ p h b ~ - '= q (x ,T ) .

 

дх

дх2

 

 

Первое уравнение (5.1)

даст тривиальное

решение,

а решение

второго

будем искать в виде:

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х(*> *

) - £

Х{(х)п(т),

 

 

 

 

 

 

г =

1

 

 

 

где гi — искомые функции от времени. Введя безразмерную координату и известные обозначения, получим следующее уравнение колебаний:

,vi_

 

*2

со ■

(5.2)

/ I V .

,11_

'O'kco2 ■х=

 

flk

■O’CD2

ФкD

где х означает вторую производную функции по времени. Применяя к уравнению (5.2) процедуру Бубнова и принимая во внимание соотно­ шения (3.7) и (3.9), имеем:

1

 

ri + (*H2ri = Hi j(7(£, т) {Xi — kXilI)dl,

(5.3)

о

 

847