1.8. Критериальные уравнения теплопроводности

Безразмерную температуру каждой точки пластины толщиной 2s при ее двустороннем нагревании в среде с постоянной температурой t_окp можно по аналогии с формулой (1.43) выразить следующим образом:

.

Она представляет собой отношение разности температуры окружающей среды и температуры в данной точке к постоянной начальной разности температур t_окp-t_о (t_о — начальная температура тела, одинаковая во всех точках).

Величину θ можно представить в виде безразмерного уравнения

=. (1.49)

Отсюда видно, что вместо восьми переменных в уравнении мы получили критериальное уравнение с тремя переменными. Графическое решение уравнения (1.49) для случая t_окp = const схематически представлено на графике рис. 1.14.

Пример 1.2. Стальная цилиндрическая заготовка с диаметром D = 140 мм помещена в печь, в которой поддерживается постоянная температура t_окp = 860°С; начальная температура заготовки t₀ = 27°С. Физические свойства стали: коэффициент теплопроводности λ= 38 Вт/(м·град); средняя теплоемкость

с = 0,703 кДж/(кг ·град), плотность ρ = 7850 кг/м³. Среднее за время нагрева значение коэффициента теплоотдачи можно определить по эмпирической формуле α = 0,105(Т_окр/100)³ + 12 Вт/(м³ ·град). Требуется определить продолжительность нагрева до достижения на поверхности заготовки температуры 850°С.

Находим коэффициент температуропроводности, м²/с.

Рис.1.14. Схематическое изображение графи­ка θ=f(Bi,Fo) для

расчета нагрева (охлаждения цилиндров)

Коэффициент теплоотдачи при Т_окр = 860+273 = 1133° К

α= 0,105(1133/100)³ + 12 = 165 Вт/(м² ∙град).

Критерий Био для цилиндра

Bi = αR/λ=165/38∙0,070=0,3.

Температурный критерий для поверхности цилиндра

.

При помощи графика рис. 1.14 по найденным значениям критериев Bi и θ определяем критерий Фурье

Fo = аτ/R³=7,8,

откуда находим время нагрева

τ =Fo(R³/a)=7,8(0,07²/7∙10^-6)=5470 с = 1,52ч =1 ч 31 мин.

Глава 2 конвективный теплообмен

2.1. Виды движения теплоносителя

В дальнейшем под жидкостью будут подразумеваться не только капельные жидкости, но также и газы. При этом скорости движения будем выбирать небольшие по сравнению со скоростью звука, что позволяет пренебрегать сжимаемостью газов.

В технике применяют разнообразные жидкости – теплоносители с разными физическими свойствами – газообразные продукты сгорания, воздух, пар, воду, органические жидкие теплоносители, расплавленные металлы и т.д.

Движение жидкости может быть естественным (свободным)

и вынужденным (принудительным).

Вынужденное движение осуществляется нагнетателями (вентиляторами, компрессорами, насосами и т.д.), естественное вызывается разностью удельных весов жидкости в разных местах ее объема. Движение жидкости может быть ламинарным или турбулентным(рис.2.1).

Рис. 2.1. Распределение скоростей при движении жидкости в трубе:

а – ламинарное движение; б – турбулентное движение

При ламинарном или слоистом движении струи жидкости в своем течении повторяют очертание канала или стенки. В силу внутреннего трения (вязкости) скорость жидкости различна по сечению. Но скорость в каждой точке при установившемся движении постоянна, т.е. струи потока располагаются упорядоченно, скользя одна по отношению к другой. При ламинарном движении эпюра скоростей представляет параболу (рис. 2.1,а), для которой отношение максимальной скорости ω_max к средней ω_ср равно 2. Распространение тепла по нормали к направлению движения происходит благодаря его микрофизической природе (тепловому движению молекул и атомов), т.е. путем теплопроводности.

При турбулентном движении происходит постоянное перемешивание жидкости; струи хаотически возникают и перемешиваются одна с другой, вследствие чего увидеть отдельные струи нельзя. Скорость жидкости в каждой точке переменна и подвергается частым пульсациям, изменяясь по величине и направлению. В случае турбулентного движения для каждой точки приходится рассматривать усредненные значения скоростей. Вектор действительной скорости ω_i некоторой ассоциации молекул можно разложить на две составляющие: усредненную во времени скорость, соответствующую упорядоченному перемещению жидкости в направлении движения ω_i , и пульсационную скорость ω_i ^‘. Пульсационная скорость все время изменяется по величине и направлению, но, если усреднить ее за довольно длительный отрезок времени, то она обращается в нуль. Отмечая усредненные скорости чертой сверху, получим

(2.1)

Профиль скоростей при турбулентном движении (рис. 2.1,б) имеет более выпрямленный вид, чем при ламинарном движении, т.е. характеризуется крутым градиентом скорости вблизи поверхности трубы. Отношение ω_max/ω_ср для всего сечения (а не для точки) равно 1,2 – 1,3.

Ламинарное движение переходит при определенных условиях в турбулентное, и наоборот.

При расчете теплообмена приходится иметь дело с рядом физических параметров жидкостей. Напомним некоторые из них.

Плотностью (объемной массой) называют массу вещества в единице объема ρ=M/V, кг/м³.

Сжимаемостью называют способность жидкости изменять свою плотность при изменении давления или температуры; она характеризуется коэффициентом объемного сжатия

β=1/ (t_ср +273) 1/град. Если плотность при движении жидкости или газа не изменяется, то жидкость называют несжимаемой.

Вязкостью называют свойство жидкости, вызывающее при ее движении силы внутреннего трения, оказывающие сопротивление относительному перемещению струй и частиц жидкости, движущихся с различными скоростями. Согласно закону Ньютона, сила трения (или напряжение внутреннего трения) между любыми соседними слоями вещества выражается уравнением

σ =μ(dω/dn) н/м², где μ – коэффициент динамической вязкости, н*с/м²; dω/dn – представляет собой градиент скорости, характеризующий интенсивность изменения скорости в направлении, перпендикулярном движению.

В расчетах чаще пользуются коэффициентом кинематической вязкости

ν = μ/ρ = μg/γ м²/с.

Значения ν, λ, Pr для воздуха и дымовых газов приведены в табл. 2.1.

Для ламинарного движения, учитывая, что в этом случае тепло распространяется только теплопроводностью, можно применить закон Фурье

q=-λ(dt/dy)_y=0=α(t_c–t_ж), (2.2)

где λ – коэффициент теплопроводности среды;

α – коэффициент теплоотдачи от стенки к среде (жидкости);

у – расстояние от стенки по нормали к поверхности трубы.

Тогда

. (2.2а)

Однако определить значение градиента температур (dt/dy)_y=0 трудно, так как для этого нужно рассчитать температурное поле в текущей среде. Сделать это можно путем вывода дифференциального уравнения, описывающего температурное поле текущей жидкости с последующей конкретизацией путем применения условий однозначности. Рассуждения в этом случае аналогичны выводу уравнения (1.17) для твердого тела. Выделяя в потоке жидкости элементарный параллелепипед, необходимо учесть не только перенос тепла теплопроводностью q_{теплопр} = -λ(dt/dy)_y=0, но и конвективным током при скорости жидкости вдоль оси ω_х

q_конв=ρω_хt. (2.3)

В этом уравнении произведение ρω_х называют массовой скоростью жидкости, кг/(м²с), и очень часто применяют в расчетах;

i = c_pΔt – энтальпия, Дж/кг.

В результате можно вывести дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле. Для случая, когда жидкость движется только вдоль оси (например в трубе), уравнение имеет вид

dt/dτ = ∂t / ∂τ + ω_х (∂t / ∂х). (2.4)

Если жидкость неподвижна (ω_х =0), то тепло передается только теплопроводностью, и мы получим уравнение (1.18).

Таблица 2.1