1.7. О подобии физических процессов

Теория подобия физических процессов получила развитие в России благодаря выдающимся работам отечественных, ученых М. В. Кирпичева, А. А. Гухмана, М. А. Михеева и др. Каждый физический процесс может быть описан уравнениями математической физики. Анализ этих уравнений (чаще всего дифференциальных) позволяет установить, какие факторы влияют на искомую величину, т.е. отыскать общий вид уравнений. Примером такой функциональной связи является уравнение (1.41).

Впервые понятие о подобии дается в геометрии. В случае подобия многоугольников (рис. 1.12), каждая сторона одного многоугольника больше сходственной стороны другого многоугольника в определенное число раз. Это число называют масштабом. Стороны измеряют линейными мерами. В подобии многоугольников можно убедиться и другим способом. Поместим один многоугольник в другой и будем их равномерно деформи­ровать. Если при этом фигуры полностью совпадут одна с другой, то они подобны. Можно использовать следующий прием для деформации. Разделим стороны каждого многоугольника на одну из сходственных сторон, т. е. выразим размер сторон в долях от стороны, выбранной в качестве масштаба. Тогда безразмерные стороны каждого многоугольника будут: для первого 1,а',b',c′,d'… и для второго

1, а",b″,c″,d″…Если при совмещении многоугольников с безразмерными сторонами они совпадут, то многоугольники подобны и тогда а'= а"; b'=b″, c′= c″ и т. д., т. е. безразмерные сходственные стороны подобных многоугольников равны.

Может быть подобие и физических процессов. Возьмем, например, явление теплопроводности через однородную плоскую стенку при стационарном процессе. Подобных стенок может быть множество: стенки зданий, стенки паровых котлов, печей и т. д. Материал их различен, различна толщина δ, различен температурный перепад в стенке Δt=t₁-t₂. Но теплопроводность всех стенок подчиняется одному и тому же закону Фурье

q=-λ(Δt/δ).

Рис. 1.12. Геометрическое подобие многоугольников

Следовательно, природа явлений одна и таже, т. е. качественно они одинаковы.

Распределение температур (температурное поле) во всех стенках будет следовать закону прямой линии. Для любой точки

(1.42)

или

. (1.43)

Величина θ_х представляет собой безразмерную температуру для любой точки. При х=0, θ_х=1, а при х=δ, θ_х=0. Безразмерное температурное поле θ_х=f (x/δ) одинаково для всех однородных плоских стенок и изображается одной и той же прямой (рис. 1.13).

Из этого вытекает, что процессы теплопроводности для всех однородных плоских стенок при стационарном тепловом режиме будут подобны друг другу.

Рассмотренные процессы образуют группу, состоящую из бесчисленного множества подобных единичных процессов. Группы объединяются в классы.

Например, распространение тепла теплопроводностью в плоской стенке здания и в стальном слитке, нагреваемом в печи перед прокаткой, — явления одного класса, в этом классе могут быть не две, а бесчисленное множество конкретных групп.

Рис. 1.13. Подобие температурных полей в двух однородных плоских стенках:

а— первая стенка; б — вторая стенка;

в - приведенное температурное поле θ_х=f (x/δ)

В нашем примере из класса выделяются две группы явлений: первая - распространение тепла теплопроводностью в плоской стенке при установившемся тепловом режиме и вторая - нагрев тел при неустановившемся тепловом режиме. В группу, как можно понять из предыдущего, объединяют процессы, на которые можно распространить результаты единичного процесса. Чтобы выделить группу подобных явлений или процессов, необходимо к математическим (чаше всего дифференциальным) уравнениям присоединить условия однозначности, которые конкретизируют геометрическую форму и размеры устройства, физические свойства среды или тела, начальное состояние тел, особенности протекания процесса на границах тела (граничные условия) и особенности протекания процесса во времени. Например, процесс распространения тепла при нестационарном тепловом режиме и температурное поле зависят от времени: в одном случае слитки нагреваются быстро, в другом - медленно.

Безразмерные комплексы находятся разными способами: методом масштабных преобразований, путем анализа размерностей и др.

Мы воспользуемся тем, что индикатор размерности критерия равен единице (поскольку все размерности входящих в критерий величин в числителе и знаменателе сократились). Знаки дифференцирования, относящиеся к отдельным величинам, можно опустить, сохранив сами размерные величины.

Из уравнения (1.20) имеем

. (1.44)

Поскольку размерность градиента ∂t/∂x та же, что и отношения t/x, т.е. [tl^-1], то, отбрасывая знаки дифференцирования и заменяя х на характерный размер 1, найдем

,

откуда

αl/λ=1. (1.45) Если индикатор комплекса величин равен единице, то это значит, что комплекс безразмерный.

Безразмерный комплекс Bi = αl/λ называют критерием Био и очень часто применяют в теории нестационарной теплопроводности. Его физический смысл виден из формулы Bi = l/λ:1/α, представляющей соотношение между внутренним l/λ и внешним 1/α тепловыми сопротивлениями.

С другой стороны, имея в виду, что индикатором уравнения (1.18) служит [t/τ] = [at/l² 0], получим [а τ /l²] = 1, т.е. опять имеем дело с безразмерным комплексом. Комплекс Fo = α τ /l² называется критерием Фурье.

Критерий Био тем меньше, чем тоньше тело и чем меньше коэффициент теплоотдачи α и больше коэффициент теплопроводности λ. Малым значениям Bi<0,1 - 0,25 соответствуют термически тонкие изделия (а не только геометрически тонкие), у которых все точки имеют практически одинаковую температуру; процесс нагрева (охлаждения) таких изделий называют квазистационарным.

При Bi>0,5 изделия будут термически массивными и температура поверхности тела будет отличаться от температуры его середины на величину Δt. При значениях 0,l<Bi<100 интенсивность нагрева (охлаждения) определяется не только внутренним, но и внешним термическим сопротивлением.

В случае нагрева термически тонкого изделия, имеющего поверхность F, при α=const можно написать следующее уравнение теплового баланса за время dτ.

αF(t_окр-t)dτ=Mcdt, (1.46)

где α— коэффициент теплоотдачи от окружающей среды к телу, Вт/(м²град);

t_окр и t — температуры соответственно окружающей среды и тела, °С;

М — масса тела, кг;

с — его удельная теплоемкость, Дж/(кг·град).

Определим время нагрева т путем интегрирования

, (1.47)

где t' и t" - - начальное и конечное значения температуры тела.

Закономерность изменения температуры тела описывается уравнением

(1.48)