1.5.Теплопроводность цилиндрической стенки (трубы)

Цилиндрические стенки встречаются часто, например, изолированный трубопровод представляет собой многослойную цилиндрическую стенку. Найдем тепловое сопротивление сначала однослойной трубы 1, разбив ее цилиндрическими поверхностями на бесконечно большое число слоев (рис. 1.8).

Количество тепла Q, проходящее через каждый слой, будет равно

Q = - λF(dt/dr) = -2πrλl(dt/dr)= - dt/dR, (1.31)

где тепловое сопротивление элементарного слоя

dR=dr/2πrλl. (1.32)

Общее тепловое сопротивление определим по формуле

, (1.33)

где l и d — соответственно длина и диаметр трубы, м.

Рис 1.8. Теплопроводность однородной цилиндрической

стенки

Для многослойной трубы (рис. 1.9), например, стальной, покрытой слоем тепловой изоляции, формула (1.33) видоизменяется следующим образом:

. (1.34)

Рис. 1.9. Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки

Количество тепла, проходящее через трубу в единицу времени

Q= q= (t_c1 –t_С2)/ R=2πλl∙((t_c1 -t_c2)/ln(d₂/d₁)), Вт. (1.35) (1-35)

Количество тепла, отнесенное к 1 м длины трубы

q= Q/l = 2πλ(Δt/ln(d₂/d₁)), Вт/м (1.36)

Количество тепла, отнесенное к 1 м² внешней поверхности трубы

q₁=Q/ πd₂1=2λΔt/d₂In(d₂/d₁), Вт/м². (1.37)

Температура внутри стенки для каждого слоя распределяется по логарифмической кривой, изображенной на рис. 1.9, в соответствии с формулой

t_x=t₁-(t_c1 -t_c2)/ln((d₂/d₁)∙In(d_x/d₁). (1.38) (1-38)

Экспериментальное определение коэффициента теплопроводности

Можно опытным путем определять значения коэффициента теплопроводности λ для изоляционных материалов при невысоких температурах (до 300°С), пользуясь прибором, изображенным на схеме (рис. 1.10). Исследуемый материал помещают на наружной поверхности трубы длиной 1,5 м (чтобы избежать слияния торцов).

Рис. 1.10. Схема опытной установки:

1-автотрансформатор; 2-ваттметр; 3-труба; 4-исследуемый материал; 5-электроический нагреватель; 6-тепловая изоляция; 7-12-термопары.

Внутри трубы 4 заложен электрический нагреватель, мощность которого измеряется ваттметром 2. Температуры материала измеряются термопарами 7—12, горячие спаи которых заложены на наружной и внутренней поверхностях материала. Коэффициент теплопроводности определяют по формуле

λ=Q(d₂/d₁)/2πl (t_c1 –t_c2), Вт/(м·град). (1.39)

1.6.Теплопроводность при нестационарном тепловом

режиме

Нагревание или охлаждение тел явление очень распространенное в производственных установках (например, нагревание стальных слитков в промышленных печах, охлаждение нагретых предметов на воздухе и т. д.).

При этом температурное поле тела изменяется во времени, что обусловливается изменением энтальпии тела и является при-

знаком нестационарного теплового режима.

При нагревании тела тепло, воспринимаемое внешней его поверхностью от окружающего пространства печи, постепенно проникает внутрь материала вследствие его теплопроводности и разности температур поверхности и внутренних слоев материала. Для простоты рассмотрим случай нагрева неограниченной пластины (рис. 1.11), когда плотность теплового потока движется только в направлении оси х (перпендикулярно к поверхности пластины).

Нестационарный процесс нагрева описывается уравнением Фурье (1.18). ∂t/∂τ =a(∂²t/∂x²), (1.40) (1-40)

где a - коэффициент температуропроводности, м²/с.

Если среда, окружающая тело, имеет температуру t_окp, то по формуле (1.20) можно написать уравнение

α(t_окр - t_noв)= -λ(∂t/∂x)_пов,

где α — коэффициент теплоотдачи от окружающей среды к поверхности тела.

Само собой разумеется, что на распределение температур в теле влияют толщина пластины s (при двустороннем нагреве удобно толщину пластины принимать за 2s) и начальная температура тела t_o. Следовательно, температура каждой точки тела описывается уравнением, имеющим вид

t= f (х,τ,а,λ,α,t_окр,t₀,s). (1.41)

Рис. 1.11. К расчетам двустороннего симметричного

прогрева плиты

Большое число переменных затрудняет аналитическое решение такого уравнения. Задача легче решается, когда размерные переменные объединяются в безразмерные комплексы (критерии). Если переменная выражается в долях от другой одноименной величины, принимаемой за характерную, то безразмерная величина, называемая симплексом, характеризует или то, насколько она отличается от максимальной (например, безразмерная температура θ=t/t_max ≤1), или во сколько раз она превышает величину, принятую в качестве калибра (например, безразмерная длина трубы L= 1/d кратна ее диаметру). Безразмерные комплексы или критерии подобия состоят из разноименных величин, объединение которых осуществляется строго по соответствующим правилам.