Решение

1. Экономико-математическая модель исходной задачи.

Пусть X_i - объем выпускаемой продукции в филиале i. Целе­вая функция задачи имеет вид: f(X) = 83X_l + 89Х₂ + 95Х₃ + 98Х₄ → min.

Ограничения: Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ ≥ 300 (тыс. шт.),

120Х₁ + 80Х₂ + 50Х₃ + 40X₄ ≤ 18 (млн. руб.),

Х_1,2,3,4 ≥ 0.

В табличном виде их можно записать следующим образом:

	83	89	95	98
Y1	1	1	1	1	300 000
Y2	120	80	50	40	18 000 000

2. Экономико-математическая модель двойственной задачи.

Пусть Y₁ - двойственная оценка выпускаемой продукции, ко­торая может быть ценой изделия; Y₂ - двойственная оценка капитальных вложений, которая может быть представлена как коэффициент эффективности капитальных вложений. Тогда

g(Y)=300000Y₁ + 18000000Y₂ → max,

1∙Y₁ + 120∙Y₂ ≤ 83,

1∙Y₁ + 80∙Y₂ ≤ 89,

1∙Y₁ + 50∙Y₂ ≤ 95,

1∙Y₁ + 40∙Y₂ ≤ 98.

3. Для определения оптимального плана двойственной задачи вос­пользуемся соотношениями второй теоремы двойственности.

Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная оценка равна нулю,

т.е. если , то Y_i = 0, i = 1, ..., m.

Подставляя значения вектора Х в ограничения исходной за­дачи, получим:

0 + 100000 + 200000 + 0 = 300 000,

120∙0 + 80∙100 000 + 50∙200 000 + 4∙0 = 18 000000.

Двойственные оценки Y₁ и Y₂ могут принимать любые значения. Если какая-либо переменная исходной задачи входит в опти­мальный план, то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как строгое равенство: если X_j > 0, то .

В нашей задаче Х₂ = 100 000 > 0 и Х₃ = 200000 > 0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в уравнения, решая которые найдем Y₁ и Y₂:

1∙Y₁ + 50∙Y₂ = 95, Y₁ = 105 - средняя цена изделия,

1∙Y₁+80∙Y₂ = 89, Y₂ = -0,2- двойственная оценка капи­тальных вложений.

Тогда 105 = 95 + 50∙0,2 = 105, 105 = 89 + 80∙0,2 = 105.

Во втором и в третьем филиалах выпускать новые изделия це­лесообразно, так как затраты на его освоение и выпуск не превышают цену изделия. Проверим выполнение первой теоремы двойственности:

g(Y) = 300000∙Y₁ + 18000000∙Y₂ = 300000∙105 + 18000000∙(-0,2) = 279000000,

f(Х) = 83∙X₁ + 89∙Х₂ + 95∙Х₃ + 98∙Х₄ = 83∙0 + 89∙100000 + 95∙200000 + 98∙0 = 279000000

Полученные оптимальные планы говорят о том, что в первом и четвертом филиалах размещать заказы по выпуску новых изде­лий невыгодно (Х₁ = 0 и Х₄ = 0), так как затраты на производство единицы изделия в этих филиалах больше цены изделия:

Y₁ = 105; Y₂ = -0,2;

1∙Y₁ + 120∙Y₂ = 83; 105 + 120∙(-0,2) ≤ 83; 105 ≤ 83 + 24 = 107;

1∙Y₁ + 40∙Y₂ ≤ 98; 105 + 40∙(-0,2) ≤ 98; 105 ≤ 98 + 8 = 106.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.1. Решите следующую задачу ЛП графическим спо­собом:

f(Х) = - 2Хl - Х2 → min (mах),

2X_l + 4Х₂ ≤ 16,

2X_l + 4Х₂ ≤ 16,

-4Х_l + 2Х₂ ≤ 8,

Х_l + 3Х₂ ≥ 9,

6Х_l + 5Х₂ = 30, X_l,X₂ ≥ 0.

Задача 1.2. Решите графическим способом задачу ЛП, связан­ную с распределением ресурсов: f(Х) = 2Хl + 4Х2 → mах (прибыль), при ограничениях:

Х₁ + 2Х₂ ≤ 5 (ресурс 1),

Х₁ + Х₂ ≤ 4 (ресурс 2),

X₁ ≥ 0, Х₂ ≥ 0.

1. Определите статус каждого ресурса (дефицитный, недефицитный).

2. Найдите максимальный интервал изменения запасов ресурса 1, в пределах которого текущее решение остается допустимым.

3. Выполните задание пункта 2 применительно к ресурсу 2.

4. Для пунктов 2 и 3 определите соответствующее изменение оптимальных значений целевой функции.

5. Найдите максимальный интервал изменения удельной прибы­ли для переменной Х₁, в пределах которого полученное решение остается оптимальным.

6. Выполните задание пункта 5 применительно к переменной Х₂.

Задача 1.3. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. руб., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. руб. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В - 10%. Какую максимальную прибыль можно полу­чить в первый год?

Задача 1.4. Фирма производит два популярных безалкоголь­ных напитка - «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю произведенную продукцию, однако объем производства ограни­чен количеством основного ингредиента и производственной мощ­ностью оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» ­0,04 час. Расход специального ингредиента составляет 0,01 и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 час времени работы обору­дования и 16кг специального ингредиента. Доход фирмы состав­ляет 0,10 руб. за 1 л «Лимонада» и 0,30 руб. за 1 л «Тоника». Сколь­ко продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневного дохода?