Література

1. Соколенко О.І. Вища математика. -К: Видавничий центр „Академія”,2002-431с.

2. Дюженкова Л.І, Носаль Т.В. Вища математика: Практикум. -К.: Вища школа, 1991-407с.: іл.

Тема 5: Задачі на максимум та мінімум.

1. Найбільше та найменше значення функцій на відрізку.

2. Задачі на максимум та мінімум.

Короткі теоретичні відомості

На практиці часто розглядаються задачі, пов’язані із знаходженням найбільшого чи найменшого значення з усіх тих значень, які функція приймає на деякому відрізку.

Нехай функція y=f(x), , неперервна на відрізку [a;b], диференційована в усіх точках цього відрізка та має на ньому скінчену кількість критичних точок першого роду; треба знайти її найбільшу та найменше значення на відрізку [a;b].

Якщо дана функція монотонна на [a;b] то найбільші та найменші значення досягаються на кінцях цього відрізку, а саме:

1. якщо функція зростаюча, то - найменше значення і - найбільше значення;

2. якщо функція - спадна, то - найбільше значення і - найменше значення.

Якщо функція не є монотонною то свого найбільшого значення на [a;b] вона досягає або в одній із точок максимуму, або на одному із кінців цього відрізку. Аналогічно найменшого значення на [a;b] функція досягає або в одній із точок мінімуму, або на одному з кінців відрізка [a;b]. Таким чином, щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [a;b], треба:

1. знайти критичні точки першого роду даної функції;

2. обчислити значення функції в усіх критичних точках, які належать інтервалу (a;b) та на кінцях відрізка [a;b];

3. із отриманих значень вибрати найбільше та найменше.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-2;3].

Знаходимо критичні точки даної функції: звідки x₁=-1, x₂=0, x₃=1.

Знаходимо: f(-2)=13, f(-1)=4, f(0)=5, f(1)=4, f(3)=68.

Отже, .

Задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функцій називаються також задачами на максимум та мінімум.

Задача №1.

Знайти число, яке додавши зі своїм квадратом, дає найменшу суму.

Позначимо шукане число через . Тоді треба знайти таке , при якому функція має мінімум. Знайдемо таке значення :

тобто при досягається мінімум. Отже, шукане число дорівнює .

Задача №2.

Який із прямокутників з периметром 2p має найбільшу площу?

Прямокутників із периметром 2p існує нескінченна множина. Наша задача-виділити із цієї множини прямокутник, площа якого буде найбільшою.

Якщо через х позначити довжину однієї з сторін прямокутника, то довжина другої сторони дорівнює р-х, а площа s такого прямокутника дорівнює x(p-x).

Знайдемо критичні точки функції Так як то - критична точка цієї функції. На функція S зростає, а на спадає. Отже, при площа S буде найбільшою.

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. В чому різниця між знаходженням максимуму та мінімуму функції та знаходженням її найбільшого та найменшого значення?

2. Як шукається найбільше та найменше значення функції на даному відрізку? знайти ці значення для функції на відрізку[-1;4].

3. Знайти додатне число х, щоб різниця х-х² була найбільшою.