3. Нахождение общего решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим метод нахождения , т.е. общего решения однородного линейного уравнения . Сначала для него строится так называемое характеристическое уравнение. Это обычное квадратное уравнение с неизвестной : (можно использовать любую другую букву). Не случайно, что его коэффициенты совпадают с коэффициентами однородного линейного уравнения.

Как известно, любое квадратное уравнение имеет три варианта решения. Для каждого варианта своя формула для построения общего решения .

Вариант 1.  два разных корня , которые находятся по формуле . Общее решение имеет вид:

, где .

Вариант 2.  два одинаковых корня по формуле .

Общее решение имеет вид:

, где

Вариант 3.  действительных корней нет, но есть два комплексно-сопряженных корня, которые находятся по формуле =

Напомним, что . Символ - это так называемая мнимая единица со свойством . Хотя корней два, для построения используем только один комплексный корень. Как правило, используется тот, у которого коэффициент при мнимой единице положительный, т.е.

. Обозначим для краткости записи . Тогда

, где .

Пример 21. Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Строим характеристическое уравнение . Находим его корни , . Тогда .

Ответ. Общее решение однородного уравнения .

Пример22. Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Строим характеристическое уравнение . Находим его корни , . Тогда .

Ответ. Общее решение однородного уравнения .

Пример 23. Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Строим характеристическое уравнение . Находим его корни: . Для построения используем только корень . Тогда

или .

Ответ: Общее решение однородного уравнения

.

3. Нахождение частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной частью 1 – го типа

Сведения из теории

Вернемся к неоднородным линейным уравнениям . Рассмотрим метод нахождения какого-нибудь одного частного решения . Основная идея – структура должна почти повторять структуру правой части .

Вначале рассмотрим решение дифференциального уравнения с правой частью первого типа, т.е. .

Анализ правой части первого типа исходного неоднородного линейного уравнения состоит в том, чтобы, во-первых, зафиксировать значение параметра и установить, совпадает ли оно по значению с корнями характеристического уравнения и сколько раз, а во-вторых , определить степень многочлена n. После этого анализа строится по формуле

,

где просто переписывается из правой части , -многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами и обязательно полный. Формула содержит новый сомножитель , где показатель равен числу совпадений параметра с корнями характеристического уравнения. Подробнее: , если совпадений нет вовсе, , если совпадает только с одним корнем характеристического уравнения , , если совпадает с двумя корнями характеристического уравнения (возможно только тогда, когда ).

Пример 24. Найти общее решение уравнения .

Решение. Во-первых, по данному неоднородному уравнению построим новое однородное, заменив правую часть на ноль:

.

Найдем его общее решение. Начнем с построения характеристического уравнения . Его корни , . Тогда общее решение однородного уравнения примет вид: .

Теперь вернемся к исходному неоднородному уравнению и найдем его частное решение . Для этого сначала проведем анализ правой части :

1. параметр , не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, а значит степень , следовательно ;

2. - многочлен первой степени, неполный.

На основании этого анализа получаем, что с точностью до неизвестных коэффициентов будет иметь вид: . По условию, является решением неоднородного уравнения, а это значит, что, если в это уравнение подставить вместо их выражения через независимую переменную , то дифференциальное уравнение превратится в обычное алгебраическое тождественное равенство двух выражений. Предварительно вычислим:

.

Подставим полученные выражения в неоднородное уравнение:

.

Сократим обе части уравнения на :

.

Приведем подобные члены и получим тождество: .

Два многочлена по степеням тождественно равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях . Следовательно, , а , т. к. справа от знака тождества постоянного слагаемого нет вообще. Окончательно получаем: - формула одного конкретного частного решения исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения . Тогда все решения этого уравнения задаются формулой:

.

Ответ: Общее решение неоднородного уравнения

.

Пример 25. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения .

Решение. Переходим к однородному уравнению: . Запишем для него характеристическое уравнение и решим его: , . Получаем формулу общего решения однородного уравнения :

.

Возвращаемся к исходному неоднородному уравнению: . Проводим анализ его правой части :

1. параметр , совпадает с одним корнем характеристического уравнения , а значит степень , следовательно ;

2. - многочлен первой степени, неполный.

На основании этого анализа получаем, что будет иметь вид: . Предварительно вычислим: и . Вычисления будут проще, если в формуле сделать только два сомножителя, внеся в скобки, т.е. .

Тогда

Подставим найденные выражения для в исходное неоднородное дифференциальное уравнение :

Сократим все уравнение на :

Приведем подобные: .

Два многочлена по степеням тождественно равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях . Следовательно, , а . Окончательно получаем: - формула одного конкретного частного решения исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения. Все решения этого уравнения получаются алгебраическим суммированием и , т.е. .

Ответ: .

Пример 26. Найти общее решение уравнения .

Решение. Переходим к однородному: . Строим характеристическое уравнение . Его корни , . Находим

.

Возвращаемся к исходному неоднородному уравнению: . Проводим анализ его правой части :

1. параметр , совпадает с обоими корнями характеристического уравнения и , а значит степень , следовательно ;

2. - многочлен нулевой степени.

На основании этого анализа получаем, что будет иметь вид: . Предварительно вычислим:

.

Подставим заготовки в уравнение и получим тождество:

Поделим обе части тождества на и приведем подобные: .

Тогда .

Окончательно получаем: - общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Ответ: .