§4. Дифференциальные уравнения 2 – го и 3 – го порядков

Сведения из теории

Рассмотрим дифференциальные уравнения более высоких порядков. Они получаются тогда, когда к зависимости от предъявляется больше требований. Общий вид уравнений 2 – го порядка . Общий вид уравнений 3 – го порядка .

1. Дифференциального уравнения 2 – го и 3 – го порядков, допускающие понижение порядка.

Дифференциальных уравнений 2 – го и 3 – го порядков много и решаются все они по-разному. Сейчас мы рассмотрим те из них, порядок которых можно понизить до первого.

Пример 20. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

; ; ; ; .

Решение . Очевидно, что . Сделаем замену . Тогда исходное дифференциальное уравнение 3 – го порядка относительно неизвестной функции примет вид - дифференциальное уравнение 1 – го порядка относительно неизвестной функции . Это и есть понижение порядка уравнения до первого. Решить его – это значит найти все функции , производные которых равны . А это значит найти неопределенный интеграл .

, где .

Начнем решать задачу Коши, вспомнив, что :

. Тогда .

Учитывая, что , опять сделаем замену: (можно даже не придумывать новую букву для замены). После замены получим новое дифференциальное уравнение 1 – го порядка: . Найдем его общее решение:

, где .

Продолжим решать задачу Коши, вернувшись от к :

.

Получим , следовательно, . Третье интегрирование даст нам окончательное решение:

, где .

Закончим решение задачи Коши:

.

Наконец окончательное решение задачи Коши примет вид:

.

Вычислим на калькуляторе: .

Замечание. Возможно, схема решения станет более очевидной, если оформить ее короче.

,

 



,

 



,

  .

Итак, функция, являющаяся решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяющая указанным начальным данным найдена. Осталось найти её значение при х₀ = .

Ответ: Решение задачи Коши – функция .

2. . Линейные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью двух типов

Сведения из теории

Общий вид таких уравнений:

,

где - независимая переменная, - неизвестная функция от переменной , - какая-то конкретная функция от , -- числа. Если функция , то уравнение называется однородным, а если , то неоднородным. Для решения прикладных задач важны два специальных типа правой части .

Первый тип: , где - конкретный многочлен степени n . Многочлен может быть как полным (содержать все степени от n до 0), так и неполным (обязательно содержать , а остальные степени могут отсутствовать).

Второй тип: . Очевидно, что в общем виде он выглядит страшновато. Мы рассмотрим только его простой частный случай, а именно: , где А и В – конкретные числа, а параметр имеет какое-то конкретное числовое значение.

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения такова:

.

Поясним: - это общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному. Однородное дифференциальное уравнение получается из неоднородного заменой правой части на ноль. Далее, - это какое-то одно частное решение исходного неоднородного уравнения.