3.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Сведения из теории
Справедливости ради следует заметить, что очень редко ДУ сразу дается в симметрической форме с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения, которые можно привести к такому виду.
Пусть ДУ приведено
к симметрической форме
.
В нем можно разделить переменные, если
выражения
и
можно представить в виде произведения
двух сомножителей, каждое из которых
зависит или только от х
или только от у,
т.е.
,
.
Новый вид уравнения
.
Для разделения переменных нужно обе
части уравнения поделить (или умножить)
на те сомножители, которые «мешают».
Пример
17. Решить
уравнение
Решение. Сначала преобразуем уравнение так, чтобы символы и присутствовали по одному разу:
.
Теперь представим в виде произведений выражения перед и :
Разделим переменные:
Проинтегрируем:
Полученное уравнение
уже является общим решением дифференциального
уравнения или иначе общим интегралом.
В принципе можно считать уравнение
решенным. Однако, решение очень
громоздкое. Его можно упростить. Во всех
дальнейших преобразованиях нам
понадобится один искусственный прием
переобозначения константы С. Как
известно, константа С пробегает все
значения от
до
и неважно каким способом. Поэтому зададим
нужный нам способ изменения С. В данном
конкретном примере выгодно заменить С
на
,
где
.
В дальнейшем замену константы С на
другой вид будем обозначать символом
.
Для преобразований используем свойства
логарифмов.
.
Последнее уравнение является более компактной формой общего интеграла. На этом решение дифференциального уравнения можно закончить.
Ответ. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
.
Замечание. В примере 2 не сказано конкретно, что нужно найти – общий интеграл или общее решение. Если общий интеграл, то пример 2 решен до конца. Если же подразумевалось общее решение, то тогда из уравнения нужно выразить у через х явно.
.
Каждая из полученных функций является общим решением дифференциального уравнения.
Разберем, как
решать уравнение с разделяющимися
переменными, заданное не в симметрической
форме, а в виде
.
Первое, что нужно сделать – это перейти
к симметрической форме, заменив символ
на
дробь
.
Покажем это на конкретном примере.
Пример 18. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение. Перейдем к симметрической форме, используя равенство :
.
Разделим переменные:
Проинтегрируем полученное уравнение :
.
Последнее уравнение является общим интегралом дифференциального уравнения.
Ответ: Общий интеграл дифференциального уравнения .
. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Сведения из теории
Общий вид этих
уравнений следующий:
.
Поясним, почему это уравнение является
линейным относительно у
и у.
Обратите внимание, какие операции
производятся над ними в уравнении.
Переменная у
умножается на функцию, зависящую только
от х.
То же действие выполнено и с у.
Нет в уравнении ни у2,
ни уу
, никаких других функций от этих
переменных. Обе они входят только в
первой степени, т.е. линейно. Отсюда и
название уравнения.
Существует готовая
формула общего решения этого уравнения.
Но она слишком громоздка для математически
неподготовленного человека. Рассмотрим
метод Бернулли для решения линейного
уравнения. Он заключается в том, что
решение уравнения ищется в виде
произведения двух новых неизвестных
функций:
или короче
.
Для решения также понадобится заготовка
.
Далее, в исходное линейное уравнение
подставим вместо символа у
произведение
,
а вместо символа
заготовку
.
Получим дифференциальное уравнение
относительно новых неизвестных функций
и
.
Раскроем скобки:
.
Из левой части
этого уравнения возьмем два слагаемых:
одно обязательно с произведением
,
а второе с символом
и создадим из них новое дифференциальное
уравнение:
или
.
Вариант, когда
,
интереса не представляет, т.к. в этом
случае и функция
.
Поэтому получаем уравнение
.
Замечание.
Если
приглядеться, то левая часть этого
нового уравнения с точностью до
обозначения неизвестной функции
удивительно напоминает левую часть
исходного линейного дифференциального
уравнения. Это означает, что функция
-- не что иное, как частное решение
однородного линейного уравнения,
получающегося из неоднородного заменой
правой части
на ноль.
Все дальнейшие действия разберем на конкретном примере.
Пример
19. Найти
решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее заданному начальному
условию
.
Решение.
Для перехода к новому дифференциальному
уравнению заменим в исходном уравнении
символ у
на произведение uv,
а символ у
на сумму
.
Получим уравнение
(1)
Из подчеркнутых
слагаемых создаем новое уравнение
.
Сократим его на
.
Останется уравнение
.
А это дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными. Решим его.
.
Для нахождения нам нужна только одна конкретная функция , поэтому нужно выбрать только одно конкретное значение константы С, например, С = 0. Тогда
.
Вернемся в уравнение
(1). Функция
найдена нами так, что сумма подчеркнутых
слагаемых обращается в ноль, а значит,
из уравнения эти слагаемые исчезают.
При этом вместо буквы v
нужно подставить выражение
:
.
По ОДЗ исходного
дифференциального уравнения
,
а значит, на него все уравнение можно
сократить, после чего получится
.
Найдем
.
Заметим, что при
нахождении функции
константа С должна присутствовать
обязательно.
Теперь можно записать общее решение
исходного дифференциального уравнения
.
При каждом конкретном
значении С получается конкретная
функция, которая является решением
дифференциального уравнения. А поскольку
,
то получается, что данное дифференциальное
уравнение имеет бесконечно много
решений. На Рис. 1 изображены графики
пяти частных решений при
.
Рис. 1
Рис. 1
По условию задачи
нам нужно найти решение, удовлетворяющее
начальным данным
.
Геометрически это означает, что график
этого решения должен проходить через
точку
.
Чтобы найти это решение аналитически
(т.е. его формулу), нужно в формулу общего
решения подставить вместо буквы у
число (-3), а вместо буквы х
число 1. В результате получится одно
уравнение с одним неизвестным С. В нашем
примере это уравнение имеет вид:
.
Теперь нужно найденное значение С
подставить в формулу общего решения:
.
График этого решения на Рис. 2 нарисован жирной линией.
Ответ. Решение задачи Коши – это функция .