5.3. Экстремумы функции двух переменных

Сведения из теории

Напомним, что экстремумы бывают двух типов  максимумы и минимумы. Экстремумы характеризуют функцию локально, только в окрестности некоторой точки. Это вытекает из самого определения экстремума.

Определение. Говорят, что функция двух переменных имеет максимум (минимум) в точке , если существует окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство (соответственно для минимума ).

Доказано, что функция может принимать максимум или минимум только в тех точках, в которых и или эти частные производные не существуют. Известно также, что условие еще не гарантирует наличие экстремума в точке . Для этого еще должны выполняться так называемые достаточные условия экстремума. Они формулируются в виде теоремы.

Теорема (достаточные условия экстремума)

Пусть в точке частные производные или эти частные производные не существуют. Вычислим для этой точки три числа: . По ним вычислим выражение . Тогда:

1. если , то экстремум есть, при этом, если число , то минимум, а если , то максимум;

2. если , то экстремума нет;

3. если , для исследования функции на экстремум нужны дополнительные исследования с использованием частных производных более высокого порядка.

Пример 31. Исследовать на экстремумы функцию .

Решение.

Прежде всего, найдем точки, в которых частные производные и равны нулю: . Система имеет два решения и .

Далее найдем формулы частных производных 2-го порядка.

.

Сначала исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке экстремума нет.

Теперь исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке экстремум есть. Так как , то минимум. Вычислим его

.

Ответ. .

Задания для контрольной работы №2

Задача 1. Найти неопределенные и определенный интегралы.

1.1	а)	б)
	в)	г)
1.2	а)	б)
	в)	г)
1.3	а)	б) ;
	в)	г)
1.4	а)	б)
	в)	г)
1.5	а)	б)
	в)	г)
1.6	а)	б)
	в)	г)
1.7	а)	б)
	в) ;	г)
1.8	а)	б)
	в)	г)
1.9	а)	б)
	в)	г)
1.10	а)	б)
	в)	г)

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций.

2.1		2.6
2.2		2.7
2.3		2.8
2.4		2.9
2.5		2.10

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения 1-го порядка.

3.1	а)	б) ; ;
3.2	а) ;	б) ;
3.3	а) ;	б) ;
3.4	а) ;	б) ;
3.5	а) ;	б) ;
3.6	а) ;	б) ;
3.7	а) ;	б) ;
3.8	а) ;	б) ;
3.9	а) ;	б) ;
3.10	а) ;	б) ;

Задача 4. Решить дифференциальные уравнения 2-го и 3-го порядков.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

4.1	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.2	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.3	а) , , , ,
	б) ;	в)
4.4	а) ; ; ;
	б)	в)
4.5	а) , , , ,
	б)	в)
4.6	а) ; ; ;
	б)	в)
4.7	а) ; ; ;
		в)
4.8	а) , , , ,
	б)	в)
4.9	а) , , , ,
		в)
4.10	а) ; , , , .
	б)	в)

Задача 5. Исследовать на экстремум функцию.

5.1		5.6
5.2		5.7
5.3		5.8
5.4		5.9
5.5		5.10

Задача 6. Найти крутизну (угол в градусах) подъема функции в точке М₀ (х₀;у₀) в указанных направлениях:

1. параллельно оси ОХ;

2. параллельно оси ОУ;

3. параллельно биссектрисе первого координатного угла;

4. параллельно биссектрисе четвертого координатного угла;

5. в направлении градиента.

6.1	, М0 ( 5;1 )	6.6	, М0 ( -2 ; 1 )
6.2	, М0 (-2;3 )	6.7	, М0 ( 2 ; 0 )
6.3	, М0 ( 1;2 )	6.8	, М0 ( 4 ; -1 )
6.4	, М0 ( 4;2 )	6.9	, М0 ( -2 ; 3 )
6.5	, М0 ( 1;1 )	6.10	, М0 ( 6 ; -2 )

Задача 7. Решить задачи, используя правила и формулы комбинаторики.

1. В автомашине 5 мест. Сколькими способами 5 человек могут разместиться в этой машине, если водительское место могут занять трое из них?

2. В комнате имеется 6 лампочек, каждая со своим выключателем. Сколькими способами можно освещать комнату?

3. Сколько сигналов можно поднять, имея 4 флага разных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее, чем из двух флагов?

4. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи могут повторяться?

5. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была чётной?

6. Учащемуся необходимо сдать 4 экза­мена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

7. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

8. В депо три локомотива и 7 вагонов. Сколько всего вариантов поезда из 1 локомотива и 5 вагонов можно составить, если локомотив может находиться как в начале, так и в конце поезда?

9. На собрании присутствуют 120 человек. Сколькими спо­собами может быть избран президиум собрания в составе пред­седателя, секретаря и семи других членов президиума?

10. Бригада состоит из 7 мужчин и 5 женщин. Сколькими способами эта бригада может избрать делегацию в составе пя­ти человек, среди которых: а) две женщины; б) не более двух женщин?

Задача 8. Решить задачи, используя правила вычисления вероятностей.

1. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы обе равны по 0.9, а на третий – 0.8. Найдите вероятность того, что студент ответит хотя бы на два вопроса

2. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0.8. Вероятность того, что цель не поражена после произведения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0.08 . Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

3. Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена: а) четыре раза; б) три раза; в) не менее трех раз.

4. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба стрелка попали в мишень равна 0.54, а вероятность того, что оба промахнулись –0.04 . Какова вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле?.

5. Вероятность попадания в цель для некоторого стрелка при одном выстреле равна 0.7. Стрельба оценивается положительно, если для поражения цели потребовалось не более трех патронов. Какова вероятность того, что стрелок получил положительную оценку?

6. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.95, а на втором – 0.97. Наудачу взяты 2 детали от первого и 3 детали от второго станка. Какова вероятность того, что все детали стандартные?

7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого орудия равна 0.9. Какова вероятность попадания в цель при одном выстреле для второго орудия , если известно, что вероятность только одного попадания в цель после одного залпа двух орудий равна 0.26?

8. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при двух выстрелах равна 0.96. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?

9. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы. Какова вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшены две бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0.3 и 0.4?

10. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы обе равны по 0.9, а на третий – 0.8. Найдите вероятность того, что студент ответит хотя бы на два вопроса.

Задача 9. Решить задачи, используя формулу полной вероятности и формулу Байеса.

1. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0.7; 0.2; 0.1 . Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты в кассе будут распроданы, равна для первой кассы 0.1 , для второй – 0.5 , для третьей – 0.5 . Пассажир пришел за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

2. Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс А (мало рискует), класс В (рискует средне), класс С (рискует сильно). Компания предполагает, что из всех водителей, застрахованных у неё, 30% принадлежат классу А, 50% –классу В, 20% – классу С.Вероятность того, что в течение года водитель класса А попадет хотя бы в одну автокатастрофу, равна 0.01; для водителя класса В эта вероятность равна 0.03, а для водителя класса С – 0.1 . Мистер Джонс страхует свою машину у этой компании и в течение года попадает в автокатастрофу. Какова вероятность того, что он относится к классу А?

3. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета составляет 80% всего времени полета, условия перегрузки – 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0.1, в условиях перегрузки – 0.4 . Найти вероятность того, что прибор не откажет в течение всего полета.

4. Из первой урны, содержащей 10 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают два шара и перекладывают во вторую урну, содержащую 3 белых и 10 черных шаров. Из второй урны наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных из второй урны шаров один белый и один черный.

5. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое подготовлены на отлично, четверо – хорошо, двое – посредственно и один – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: отлично плохо.

6. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.2 –только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то прибор регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0.7; если только помеха – то с вероятностью 0.3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

7. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживается дефект (если он есть) и существует ненулевая вероятность 0.03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным?

8. Работник ПЗ-23, живущий в заречной части города, с вероятностью 0.9 едет на автобусе № 16 и с вероятностью 0.1 едет с пересадками на троллейбусе. Если он едет на автобусе, то поспевает к началу смены с вероятностью 0.95; а если он добирается на троллейбусе, то успевает в срок с вероятностью 0.7. Работник на смену опоздал. Найти вероятность того, что он добирался с пересадками на троллейбусе.

9. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше производитель­ности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отлич­ного качества, а второй - 84% деталей отличного качества. Наугад взятая с конвейе­ра деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь из­готовлена первым автоматом.

10. Известно, что в среднем на каждую тысячу жителей приходится 9 человек больных гастритом. С помощью новой методики обследуют 1000 человек. Методика хороша, но не идеальна, т.к. у действительно больного человека диагноз подтверждается с вероятностью 0.9, а здоровый человек с вероятностью 0.01 может быть признан больным. В результате обследования один человек был признан больным. Какова вероятность, что диагноз не ошибочный?

Задача 10. Решить задачи, используя формулу Бернулли.

1. Два стрелка стреляют по одной мишени залпом. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.8, а для второго равна 0.6. Найти наивероятнейшее число залпов, в которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов и соответствующую ему вероятность.

2. Производится 5 выстрелов в мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна ¾. Найти вероятность того, что в мишени будет не менее трех, но и не более четырех пробоин. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую ему вероятностью

3. В каждой из восьми урн имеется 10 белых и 5 черных шаров. Из каждой, урны вынули по одному шару. Что вероят­нее: появление двух черных и шести белых или трех черных и пяти белых шаров?

4. Производится 8 выстрелов по цели, в каждой из кото­рых вероятность попадания в цель равна 0,1. Для разрушения цели требуется хотя бы два попадания. Найти вероятность того, что цели будет разрушена.

5. Вероятность изготовления первосортной детали на некото­ром станке равна 0,75. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы наивероятнейшее число первосортных деталей было равно 21? Какова вероятность того, что из 5 изготовленных деталей 3 первосортные?

6. По цели производится 5 залпов по две ракеты в каждом. Вероятность попадания в цель при каждом залпе первой ракетой равна 0.8; второй – 0.9. Залп считается удачным, если в нем хотя бы одно попадание. Найти вероятность того, что будет зачтено : а) четыре залпа; б) не менее четырех залпов; в) наивероятнейшее число залпов.

7. 40% шестерен, лежащих в ящике, изготовлены на заводе № 1, остальные изготовлены на заводе № 2. Из ящика взяли наудачу 7 шесте­рен. Какова вероятность того, что среди них окажутся изготов­ленными заводом № 1: а) две; б) менее трех; в) более двух?

8. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0 8 Найдите вероятность того, что к обеденному перерыву: а) перегреются 4 мотора; б) перегреются все моторы; в) наивероятнейшее число моторов и соответствующую ему вероятность.

9. Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пя­ти экзаменов равна 0,7. Найти вероятность успешной сдачи: а) трех экзаменов; б) двух экзаменов; в) наивероятнейшего числа экзаме­нов и соответствующую ему вероятность.

10. Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем 4 % бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых на контроль пяти деталей: а) две бракованные; б) хотя бы одна бракованная; в) наивероятнейшее число бракованных.

43