Условие прочности по касательным напряжениям:

.

Задача 3.1. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 7) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: F = 10 кН, ℓ = 3 м.

Построить: эпюру эпюру .

Решение.

1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I.

2. Применяем метод сечений на силовом участке:

I участок: ,

при

Рис. 7

при

3. Строим по результатам расчета эпюры

Вывод: опасное сечение – сечение А, где

Задача 3.2. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 8) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: М = 15 кН·м, ℓ = 1 м.

Построить: эпюры

Рис. 8

Решение.

1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I.

2. Применяем метод сечений на силовом участке:

I участок: ,

3. По результатам расчета строим эпюры

Вывод: все сечения балки равноопасны.

Задача 3.3. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 9) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано:

Построить: эпюры

Рис. 9

Решение.

1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I, II.

2. Применяем метод сечений на каждом силовом участке:

I участок: ,

, (уравнение прямой, не проходящей через начало координат),

при

при

II участок: ,

,

, (уравнение прямой не проходящей через

начало координат).

при

при

3. Строим по результатам расчета эпюры

Вывод: опасное сечение – сечение В, где

Задача 3.4. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 10) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: F = 30 кН, а = 1 м, b = 2 .

Построить: эпюры

Решение.

1. Определим реакции опор:

Проверка:

Вывод: реакции опор определены верно.

Рис. 10

2. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I, II.

3. Применяем метод сечений на каждом рассматриваемом участке:

I участок: ,

при ,

при ;

II участок: ,

при

при

4. Строим по результатам расчета эпюры

Вывод: опасное сечение – сечение А, где

Задача 3.5. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 11) построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: q = 5 кН/м, ℓ = 4 м.

Построить: эпюры и .

Решение.

1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I.

2. Применяем метод сечений на силовом участке:

I участок: ,

– уравнение прямой, проходящей через начало координат,

при ,

при ,

– уравнение параболы,

Рис. 11

– уравнение параболы,

при

при .

Параболу можно построить по трем точкам, если одна из этих точек – вершина параболы. Возможен частный случай: параболу можно построить по двум точкам, если положение вершины совпадает с правой или левой границей параболы (начало или конец участка балки с распределенной нагрузкой).

Исследуем уравнение момента на экстремум (максимум, минимум). Для этого возьмем производную от выражения :

и приравняем ее к нулю,

.

Подставив в уравнение момента, получим .

То есть вершина параболы расположена в начале силового участка (0, 0).

3. Строим по результатам расчета эпюры и .

Вывод: опасное сечение – сечение А, где .

Задача 3.6. Для заданной схемы нагружения балки (рис. 12) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: q = 4 кН/м, а = 2 м, b = 1 м.

Построить: эпюры и .

Решение.

1. Разбиваем расчетную схему на силовые участки: I, II.

2. Применяем метод сечений (правило РОЗУ) на каждом силовом участке:

I участок: ,

– уравнение прямой, проходящей через начало координат,

при ;

при ;

Рис. 12

– уравнение параболы,

при

при .

Параболу можно построить по трем точкам, если одна из этих точек – вершина параболы. Возможен частный случай: параболу можно построить по двум точкам, если положение вершины совпадает с правой или левой границей параболы (начало или конец участка балки с распределенной нагрузкой).

Исследуем уравнение момента на экстремум (максимум, минимум). Для этого возьмем производную от выражения :

и приравняем ее к нулю.

.

Подставив в уравнение момента, получим

.

То есть вершина параболы расположена в начале силового участка (0, 0).

II участок: ,

.

– уравнение прямой, не проходящей через начало

координат;

при

при

3. Строим по результатам расчета эпюры и .

Вывод: опасное сечение – сечение А, где .