Энергия гармонических колебаний осциллятора

Рассмотрим энергетические превращения, происходящие при гармонических колебаниях.

При м е х а н и ч е с к и х к о л е б а н и я х груза на пружине происходит периодическое превращение кинетической энергии груза

.

в потенциальную энергию деформированной пружины

.

Полная механическая энергия системы остается неизменной, так как система консервативна. В этом можно убедиться, сложив выражения

.

Следует отметить, что полная энергия системы совпадает как с максимальной кинетической энергией груза, когда он проходит положение равновесия, так и с максимальной потенциальной энергией в точках наибольшего отклонения от положения равновесия. Средние же значения кинетической <K> и потенциальной энергий за время, кратное периоду колебаний, одинаковы и равны в силу того, что

.

Сложение гармонических колебаний

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы ,когда она участвует в нескольких колебательных процессах одновременно.

Рассмотрим п о л о ж е н и е д в у х г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а н и й о д н о г о н а п р а в л е н и я. Пусть оба груза независимо друг от друга могут совершать гармонические колебания по закону

) и .

Если ,то результирующее колебание с помощью векторных диаграмм изображается вектором , изменяющимся с течением времени по длине и вращающимся с переменной угловой скоростью. Из этого следует, что результирующее колебание будет негармоническим.

Если , то параллелограмм ,построенный на векторах и (рис.8) , с течением времени не будет деформироваться, а значит ,длина вектора будет постоянна и результирующее колебание ,где

,

а .

В зависимости от разности начальных фаз складываемых колебаний одинаковой частоты, амплитуда А результирующих колебаний изменяется в пределах от

при

до при ,

где .

С л о ж е н и е д в у х в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы х г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а н и й одинаковой частоты.

Если грузик массой m может совершать гармонические колебания по оси х

,

а по оси у

,

то уравнение траектории результирующего колебания, полученного при исключении времени t будет иметь вид

.

Это уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно осей ОХ и ОУ. Грузик опишет его за время, равное периоду складываемых колебаний .

1. Если ,где , то оси эллипса совпадают с осями ОХ и ОУ , а размеры его полуосей будут равны и :

.

Если , то траектория грузика представляет собой окружность.

б) Если , эллипс вырождается в отрезок прямой (рис.10б).

.

В этом случае грузик будет совершать гармонические колебания с частотой и амплитудой вдоль прямой, составляющей с осью ОХ угол .

в) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами и ,

) , ,

где k и n - целые числа ,значения координат колеблющегося тела одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени, равные общему наименьшему кратному и - периодов колебаний вдоль осей ОХ и ОУ.

Поэтому траектория тела - замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу и вписываются в прямоугольник со сторонами и (рис.10в), как и в случаях а и б. Отношения частот и равно отношению чисел касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, параллельными соответственно осям ОХ и ОУ. На рис.10в показана фигура Лиссажу при значении отношения k :n=1 :2 и разности начальных фаз .